Harika bir soru! Merhaba sevgili öğrencilerim, ben sizin 8. Sınıf Matematik öğretmeninizim. Şimdi birlikte bu görseldeki soruyu adım adım, keyifli bir şekilde çözeceğiz. Hazırsanız, başlayalım!
Soru: Nevzat Öğretmen, öğrencilerine İstanbul’daki tarihî yapıları tanıtmak istiyor. Bu yapılardan bazılarının görsellerini alanı 340 cm² olan dikdörtgen biçimindeki kartlara yapıştırıyor. Kartların kenar uzunlukları, “cm” biriminde doğal sayılar olduğuna göre Nevzat Öğretmen’in farklı kenar uzunluklarına sahip kaç farklı kart oluşturabileceği bulunurken nasıl bir yol izlenebilir? Açıklayınız.
Çözüm:
Sevgili arkadaşlar, bu soruyu çözmek için aslında bizden ne istendiğini çok iyi anlamamız gerekiyor. Bize alanı 340 cm² olan bir dikdörtgen karttan bahsediliyor ve bu kartın kenar uzunluklarının birer doğal sayı olduğu söyleniyor.
Peki, bir dikdörtgenin alanını nasıl buluyorduk? Tabii ki kısa kenar ile uzun kenarı çarparak!
Alan = Kısa Kenar × Uzun Kenar
Demek ki bizden istenen şey, çarpımları 340 eden doğal sayı çiftlerini bulmak. Bir sayının çarpanları, o sayıyı kalansız bölen sayılardır. Yani sorunun özü, “340 sayısının pozitif tam sayı çarpanları nelerdir?” sorusuna cevap bulmaktan geçiyor. Bulduğumuz her çarpan çifti, bize farklı ölçülerde bir kart verecektir.
Hadi adımlarla ilerleyelim:
Adım 1: 340 sayısının çarpanlarını bulalım.
Bir sayının çarpanlarını bulurken en kolay yol, 1’den başlayarak sırayla denemektir. Bir sayıyı bulduğumuzda, onun eşini de bulmuş oluruz.
- 1 her sayının çarpanıdır. 1 ile kaçı çarparsak 340 eder? Tabii ki 340’ı.
1 × 340 = 340 -
340 çift bir sayı olduğu için 2‘ye tam bölünür.
2 × 170 = 340 - 340’ın rakamları toplamı (3+4+0=7) 3’ün katı olmadığı için 3’e bölünmez.
-
340’ın son iki basamağı “40”, 4’e bölündüğü için 4‘e tam bölünür.
4 × 85 = 340 -
Sonu 0 ile bittiği için 5‘e tam bölünür.
5 × 68 = 340 - Sayı 2’ye bölünüp 3’e bölünmediği için 6’ya bölünmez.
- 7, 8, 9 gibi sayılara tam bölünmez.
-
Sonu 0 ile bittiği için 10‘a tam bölünür.
10 × 34 = 340 -
Sayıyı kontrol etmeye devam ettiğimizde bir sonraki çarpanın 17 olduğunu görürüz.
17 × 20 = 340
Bundan sonraki çarpan 20 olacak ama onu zaten 17’nin çifti olarak bulmuştuk. Demek ki tüm çarpan çiftlerini bulduk!
Adım 2: Olası kartların kenar uzunluklarını listeleyelim.
Bulduğumuz her bir çarpan çifti, aslında oluşturulabilecek farklı bir kartın kenar uzunluklarıdır.
- 1 cm × 340 cm
- 2 cm × 170 cm
- 4 cm × 85 cm
- 5 cm × 68 cm
- 10 cm × 34 cm
- 17 cm × 20 cm
Adım 3: Kaç farklı kart oluşturulabildiğini sayalım.
Yukarıdaki listeye baktığımızda, tam 6 tane farklı kenar uzunluğu çifti olduğunu görüyoruz. Bu da demek oluyor ki Nevzat Öğretmen 6 farklı boyutta kart oluşturabilir.
Sonuç:
Nevzat Öğretmen, alanı 340 cm² olan toplam 6 farklı kart oluşturabilir.
Bu sonuca ulaşmak için izlenmesi gereken yol ise, dikdörtgenin alanı olan 340 sayısının pozitif tam sayı çarpanlarını (bölenlerini) bulmaktır. Bulunan her bir çarpan çifti, farklı ölçülerde bir kartı temsil eder.
Umarım anlaşılmıştır. Çarpanlar konusu matematiğin temel taşlarından biridir ve çok eğlencelidir! Başarılar dilerim!