Merhaba sevgili öğrencilerim,
Umarım hepiniz iyisinizdir. Bana gönderdiğiniz görseldeki matematik sorularını bir öğretmeniniz olarak sizler için adım adım, tane tane çözeceğim. Kareköklü sayılar ve geometri konularını birleştiren bu güzel soruları dikkatle takip edin. Haydi başlayalım!
20. Soru: Bir kenar uzunluğu a birim olan bir karenin köşegen uzunluğu a√2 birimdir.
Kayra, kare şeklindeki üç kartonu aşağıdaki gibi yan yana koyuyor.
- 3. kartonun kenar uzunluğu, 2. kartonun kenar uzunluğunun √3 katı;
- 2. kartonun kenar uzunluğu, 1. kartonun kenar uzunluğunun √3 katıdır.
1. kartonun köşegen uzunluğu 18 cm olduğuna göre 3. kartonun köşegen uzunluğu kaç santimetredir?
A) 24
B) 36√2
C) 48√2
D) 54
Çözüm:
Bu soruyu çözmek için bize verilen ipuçlarını sırasıyla kullanacağız. Unutmayın, bu tür sorularda adım adım ilerlemek çok önemlidir.
Adım 1: 1. Kartonun Kenar Uzunluğunu Bulalım
Soruda bize bir karenin kenarı ‘a’ ise köşegeninin ‘a√2’ olduğu bilgisi verilmiş. 1. kartonun köşegen uzunluğu 18 cm olarak verilmiş. O zaman formülü kullanarak 1. kartonun bir kenar uzunluğunu (a₁) bulabiliriz.
a₁√2 = 18
Burada a₁’i yalnız bırakmak için her iki tarafı da √2’ye böleriz.
a₁ = 18 / √2
Paydada köklü ifade bırakmayı sevmeyiz, bu yüzden ifadeyi √2 ile genişletelim (payı ve paydayı √2 ile çarpalım).
a₁ = (18 * √2) / (√2 * √2) = 18√2 / 2 = 9√2 cm
Harika! 1. kartonun bir kenarını bulduk.
Adım 2: 2. Kartonun Kenar Uzunluğunu Bulalım
Soruda “2. kartonun kenar uzunluğu, 1. kartonun kenar uzunluğunun √3 katıdır.” deniyor. 1. kartonun kenarını 9√2 cm bulmuştuk. O zaman 2. kartonun kenarını (a₂) bulmak için bu değeri √3 ile çarparız.
a₂ = (9√2) * √3
Kareköklü sayılarda çarpma kuralını hatırlayalım: √x * √y = √(x*y).
a₂ = 9 * √(2*3) = 9√6 cm
İkinci kartonun da kenarını bulduk, çok iyi gidiyoruz!
Adım 3: 3. Kartonun Kenar Uzunluğunu Bulalım
Sırada 3. karton var. Onun için de “3. kartonun kenar uzunluğu, 2. kartonun kenar uzunluğunun √3 katı” bilgisi verilmiş. 2. kartonun kenarını 9√6 cm bulmuştuk. Şimdi bu değeri √3 ile çarpacağız.
a₃ = (9√6) * √3 = 9 * √(6*3) = 9√18
Şimdi √18’i a√b şeklinde yazarak sadeleştirelim. 18 = 9 * 2 olduğundan, √18 = √(9*2) = 3√2 olur.
a₃ = 9 * (3√2) = 27√2 cm
Neredeyse bitti! 3. kartonun da bir kenarını bulduk.
Adım 4: 3. Kartonun Köşegen Uzunluğunu Bulalım
Sorunun en başında verilen kuralı tekrar kullanma zamanı: köşegen = kenar * √2. 3. kartonun kenarını 27√2 cm bulmuştuk. O zaman köşegenini bulmak için bu değeri √2 ile çarpacağız.
Köşegen₃ = (27√2) * √2
Bildiğiniz gibi √2 * √2 = 2’dir.
Köşegen₃ = 27 * 2 = 54 cm
Sonuç olarak, 3. kartonun köşegen uzunluğu 54 cm’dir.
Doğru Cevap: D) 54
21. Soru: Alanı 105 m² olan kare şeklindeki aşağıda verilen oyun parkının çevresine 3 sıra tel çekilecektir.
Telin metre fiyatının satın alınacak miktara göre değişimi aşağıda gösterilmiştir.
- 70 m den az: 140 TL
- 70 m – 109 m: 135 TL
- 110 m – 149 m: 120 TL
- 150 m den fazla: 110 TL
Buna göre bu iş için kullanılacak telin metresi kaç TL olur?
A) 110
B) 120
C) 135
D) 140
Çözüm:
Bu soruda da yine adım adım ilerleyeceğiz. Önce ne kadar tele ihtiyacımız olduğunu bulacağız, sonra da tablodan metre fiyatını belirleyeceğiz.
Adım 1: Parkın Bir Kenar Uzunluğunu Bulalım
Oyun parkı kare şeklinde ve alanı 105 m². Karenin alanı, bir kenarının kendisiyle çarpımına (yani karesine) eşittir. O zaman bir kenar uzunluğunu (a) bulmak için alanın karekökünü alırız.
a² = 105
a = √105 m
√105 tam bir sayı değil ama sorun değil, şimdilik böyle bırakalım.
Adım 2: Parkın Çevresini Bulalım
Karenin çevresi, bir kenar uzunluğunun 4 ile çarpılmasıyla bulunur.
Çevre = 4 * a = 4√105 m
Bu, parkın etrafını bir kez dönmek için gereken tel miktarıdır.
Adım 3: Toplam Gerekli Tel Miktarını Bulalım
Soruda parkın çevresine 3 sıra tel çekileceği söyleniyor. O zaman bulduğumuz çevre uzunluğunu 3 ile çarpmalıyız.
Toplam Tel = 3 * Çevre = 3 * (4√105) = 12√105 m
Adım 4: Tel Miktarının Yaklaşık Değerini Bulalım
Fiyat tablosunu kullanabilmek için 12√105 metrenin yaklaşık olarak kaç metre olduğunu bulmalıyız. Bunun için önce √105’in hangi iki tam sayı arasında olduğunu bulalım.
10² = 100
11² = 121
Gördüğünüz gibi 105 sayısı, 100 ile 121 arasındadır. Bu durumda √105 sayısı da 10 ile 11 arasında bir sayıdır. (10’a daha yakındır, yaklaşık 10,2 gibi)
Şimdi toplam tel miktarının yaklaşık değerini hesaplayalım. √105 yerine önce 10, sonra 11 koyarak bir aralık bulalım.
Eğer √105 ≈ 10 olsaydı: 12 * 10 = 120 m
Eğer √105 ≈ 11 olsaydı: 12 * 11 = 132 m
Demek ki bizim ihtiyacımız olan toplam tel miktarı 120 m ile 132 m arasında bir uzunluktadır.
Adım 5: Tablodan Metre Fiyatını Bulalım
Bulduğumuz 120-132 metre aralığı, fiyat tablosundaki hangi aralığa uyuyor? Birlikte bakalım:
110 m – 149 m aralığına tam olarak uyuyor.
Bu aralıktaki telin metre fiyatı ise 120 TL‘dir.
Soru bizden toplam maliyeti değil, “kullanılacak telin metresi kaç TL olur?” diye soruyor. Bu yüzden cevabımız doğrudan tablodan okuduğumuz değerdir.
Sonuç olarak, bu iş için kullanılacak telin metresi 120 TL olur.
Doğru Cevap: B) 120
Umarım çözümler anlaşılır olmuştur. Anlamadığınız bir yer olursa çekinmeden sorun. Başarılar dilerim!