Merhaba sevgili 8. sınıf öğrencim! Bu matematik alıştırmalarını birlikte adım adım çözelim. Her soruyu dikkatlice inceleyip, anlaşılır bir dille açıklayacağım. Hazırsan başlayalım!
1. Yandaki KLM dik üçgeninde |KL| = 6 cm, |LM| = 6√3 cm’dir. Buna göre KLM dik üçgeninin alanı kaç cm² dir?
Bu soruda bize bir dik üçgen verilmiş ve bu üçgenin iki dik kenarının uzunlukları verilmiş. Dik üçgenin alanını bulmak için dik kenarlarını kullanırız. Üçgenin alan formülü: (Taban * Yükseklik) / 2 şeklindedir. Dik üçgenlerde dik kenarlar birbirinin tabanı ve yüksekliği olarak kabul edilir.
Adım 1: Verilen dik kenar uzunluklarını belirleyelim.
|KL| = 6 cm
|LM| = 6√3 cm
Adım 2: Üçgenin alan formülünü uygulayalım.
Alan = (|KL| * |LM|) / 2
Adım 3: Değerleri yerine koyarak hesaplayalım.
Alan = (6 cm * 6√3 cm) / 2
Alan = (36√3 cm²) / 2
Alan = 18√3 cm²
Sonuç:
KLM dik üçgeninin alanı 18√3 cm²‘dir.
2. Aşağıdaki çarpma işlemlerini yapınız.
Bu bölümde kareköklü ifadelerle çarpma işlemleri yapacağız. Kareköklü sayılarda çarpma yaparken, katsayılar kendi aralarında, karekök içindeki sayılar da kendi aralarında çarpılır. Eğer karekök içindeki sayılar tam kare çarpanlara ayrılıyorsa, bu çarpanları dışarı çıkararak işlemi kolaylaştırabiliriz.
a) 3√5 ⋅ 5√7 ⋅ √35 = ?
Adım 1: Katsayıları kendi aralarında çarpalım.
3 ⋅ 5 = 15
Adım 2: Karekök içindeki sayıları kendi aralarında çarpalım.
√5 ⋅ √7 ⋅ √35 = √(5 ⋅ 7 ⋅ 35)
√5 ⋅ √7 ⋅ √35 = √(35 ⋅ 35)
√5 ⋅ √7 ⋅ √35 = √35²
Adım 3: Karekök dışına çıkaralım.
√35² = 35
Adım 4: Katsayı ile karekökten çıkan sayıyı çarpalım.
15 ⋅ 35 = ?
35
x 15
—-
175 (35 * 5)
350 (35 * 10)
—-
525
Sonuç:
3√5 ⋅ 5√7 ⋅ √35 = 525
b) √50 ⋅ √20 = ?
Adım 1: Karekök içindeki sayıları tam kare çarpanlarına ayırarak dışarı çıkaralım.
√50 = √(25 ⋅ 2) = √25 ⋅ √2 = 5√2
√20 = √(4 ⋅ 5) = √4 ⋅ √5 = 2√5
Adım 2: Elde ettiğimiz ifadeleri çarpalım.
5√2 ⋅ 2√5 = (5 ⋅ 2) ⋅ (√2 ⋅ √5)
5√2 ⋅ 2√5 = 10 ⋅ √10
Sonuç:
√50 ⋅ √20 = 10√10
c) √80 ⋅ 3/5 ⋅ √5 = ?
Adım 1: √80’i tam kare çarpanlarına ayırarak dışarı çıkaralım.
√80 = √(16 ⋅ 5) = √16 ⋅ √5 = 4√5
Adım 2: İşlemi yeniden yazalım.
4√5 ⋅ 3/5 ⋅ √5 = ?
Adım 3: Katsayıları ve karekök içindeki sayıları çarpalım.
(4 ⋅ 3/5 ⋅ 1) ⋅ (√5 ⋅ √5) = ?
Katsayıların çarpımı:
4 ⋅ 3/5 = 12/5
Kareköklü ifadelerin çarpımı:
√5 ⋅ √5 = √25 = 5
Adım 4: Katsayı çarpımını ve karekökten çıkan sayıyı çarpalım.
12/5 ⋅ 5 = 12
Sonuç:
√80 ⋅ 3/5 ⋅ √5 = 12
d) 3√7 ⋅ √343 = ?
Adım 1: √343’ü tam kare çarpanlarına ayırarak dışarı çıkarmaya çalışalım. 343 sayısı 7’nin küpüdür. Yani 343 = 7 ⋅ 49.
√343 = √(49 ⋅ 7) = √49 ⋅ √7 = 7√7
Adım 2: İşlemi yeniden yazalım.
3√7 ⋅ 7√7 = ?
Adım 3: Katsayıları ve karekök içindeki sayıları çarpalım.
(3 ⋅ 7) ⋅ (√7 ⋅ √7) = ?
Katsayıların çarpımı:
3 ⋅ 7 = 21
Kareköklü ifadelerin çarpımı:
√7 ⋅ √7 = √49 = 7
Adım 4: Elde ettiğimiz sayıları çarpalım.
21 ⋅ 7 = 147
Sonuç:
3√7 ⋅ √343 = 147
e) √3 ⋅ 3/7 ⋅ √27 = ?
Adım 1: √27’yi tam kare çarpanlarına ayırarak dışarı çıkaralım.
√27 = √(9 ⋅ 3) = √9 ⋅ √3 = 3√3
Adım 2: İşlemi yeniden yazalım.
√3 ⋅ 3/7 ⋅ 3√3 = ?
Adım 3: Katsayıları ve karekök içindeki sayıları çarpalım.
(1 ⋅ 3/7 ⋅ 3) ⋅ (√3 ⋅ √3) = ?
Katsayıların çarpımı:
3/7 ⋅ 3 = 9/7
Kareköklü ifadelerin çarpımı:
√3 ⋅ √3 = √9 = 3
Adım 4: Elde ettiğimiz sayıları çarpalım.
9/7 ⋅ 3 = 27/7
Sonuç:
√3 ⋅ 3/7 ⋅ √27 = 27/7
3. Yandaki şemada belirtilen işlemleri yaparak renkli kutucuklara cevapları yazınız.
Bu soruda bir işlem şeması verilmiş ve bu şemadaki adımları takip ederek sonuçları bulmamız isteniyor. Şemada yukarıdan aşağıya doğru işlemler yapılıyor.
Adım 1: İlk kutucuktaki işlem: 15 ÷ 3√6 = ?
Bu işlemi yapabilmek için paydayı rasyonel hale getirmemiz gerekiyor. 3√6’yı √6 ile çarparsak, kök gidecektir. Payı ve paydayı √6 ile çarpalım.
15 ⋅ √6 / (3√6 ⋅ √6) = 15√6 / (3 ⋅ 6) = 15√6 / 18
Şimdi bu kesri sadeleştirelim. Hem payı hem de paydayı 3’e bölebiliriz.
15√6 / 18 = 5√6 / 6
Bu sonuç ilk sarı kutucuğa yazılacak.
Adım 2: İkinci kutucuktaki işlem: (5√6 / 6) ⋅ √200 = ?
Önce √200’ü sadeleştirelim.
√200 = √(100 ⋅ 2) = √100 ⋅ √2 = 10√2
Şimdi işlemi yeniden yazalım:
(5√6 / 6) ⋅ 10√2 = ?
Katsayıları çarpalım:
5/6 ⋅ 10 = 50/6 = 25/3
Kareköklü ifadeleri çarpalım:
√6 ⋅ √2 = √12
Şimdi √12’yi sadeleştirelim:
√12 = √(4 ⋅ 3) = √4 ⋅ √3 = 2√3
Şimdi elde ettiğimiz tüm parçaları birleştirelim:
(25/3) ⋅ 2√3 = (25 ⋅ 2√3) / 3 = 50√3 / 3
Bu sonuç pembe kutucuğa yazılacak.
Sonuç:
İşlem şemasındaki renkli kutucuklara yazılacak cevaplar şunlardır:
Sarı kutucuk: 5√6 / 6
Pembe kutucuk: 50√3 / 3
4. Aşağıdaki işlemleri yapınız.
Bu bölümde de kareköklü ifadelerle bölme ve çarpma işlemleri yapacağız.
a) 6√2 ⋅ √48 / 8√6 = ?
Adım 1: Paydaki √48’i sadeleştirelim.
√48 = √(16 ⋅ 3) = √16 ⋅ √3 = 4√3
Adım 2: Paydaki işlemi yeniden yazalım.
6√2 ⋅ 4√3 = (6 ⋅ 4) ⋅ (√2 ⋅ √3) = 24√6
Adım 3: Şimdi kesri oluşturalım ve işlemi yapalım.
24√6 / 8√6 = ?
Katsayıları bölelim: 24 / 8 = 3
Kareköklü ifadeleri bölelim: √6 / √6 = 1
Adım 4: Sonucu bulalım.
3 ⋅ 1 = 3
Sonuç:
6√2 ⋅ √48 / 8√6 = 3
b) √70 ⋅ √14 / √5 = ?
Adım 1: Paydaki kareköklü ifadeleri çarpalım.
√70 ⋅ √14 = √(70 ⋅ 14) = √980
Adım 2: Şimdi kesri oluşturalım ve işlemi yapalım.
√980 / √5 = ?
Bu işlemi, karekökleri tek bir kök altında birleştirerek de yapabiliriz:
√(980 / 5) = ?
Adım 3: Bölme işlemini yapalım.
980 / 5 = 196
Adım 4: Karekökünü alalım.
√196 = 14
Sonuç:
√70 ⋅ √14 / √5 = 14
c) 6√2 / 3√6 : √3 = ?
Bu işlemde hem bölme hem de çarpma işlemi var. İşlemleri sırasıyla yapalım. Önce parantez içindeki bölme işlemini yapalım.
Adım 1: 6√2 / 3√6 işlemini yapalım.
Katsayıları bölelim: 6 / 3 = 2
Kareköklü ifadeleri bölelim: √2 / √6 = √(2/6) = √(1/3)
Şimdi bu ifadeyi sadeleştirelim:
√(1/3) = √1 / √3 = 1/√3
Şimdi bu sonucu paydayı rasyonel hale getirerek yazalım:
1/√3 ⋅ √3/√3 = √3 / 3
Adım 2: Şimdi elde ettiğimiz sonucu √3’e bölelim.
(√3 / 3) : √3 = ?
Bölme işlemini çarpma işlemine çevirelim. √3’ün çarpmaya göre tersi 1/√3’tür.
(√3 / 3) ⋅ (1/√3) = ?
Adım 3: Çarpma işlemini yapalım.
√3 / (3 ⋅ √3) = ?
Pay ve paydadaki √3’ler sadeleşir.
1 / 3
Sonuç:
6√2 / 3√6 : √3 = 1/3
d) √18 ⋅ √27 ⋅ √72 / √300 = ?
Adım 1: Paydaki kareköklü ifadeleri sadeleştirelim.
√18 = √(9 ⋅ 2) = 3√2
√27 = √(9 ⋅ 3) = 3√3
√72 = √(36 ⋅ 2) = 6√2
Adım 2: Paydaki sadeleşmiş ifadeleri çarpalım.
(3√2) ⋅ (3√3) ⋅ (6√2) = ?
Katsayıları çarpalım: 3 ⋅ 3 ⋅ 6 = 54
Kareköklü ifadeleri çarpalım: √2 ⋅ √3 ⋅ √2 = √(2 ⋅ 3 ⋅ 2) = √12
Adım 3: √12’yi sadeleştirelim.
√12 = √(4 ⋅ 3) = 2√3
Adım 4: Paydaki çarpımın sonucunu bulalım.
54 ⋅ 2√3 = 108√3
Adım 5: Paydadaki √300’ü sadeleştirelim.
√300 = √(100 ⋅ 3) = 10√3
Adım 6: Şimdi kesri oluşturalım ve işlemi yapalım.
108√3 / 10√3 = ?
Pay ve paydadaki √3’ler sadeleşir.
108 / 10
Adım 7: Kesri sadeleştirelim. Hem payı hem de paydayı 2’ye bölebiliriz.
108 / 10 = 54 / 5
Sonuç:
√18 ⋅ √27 ⋅ √72 / √300 = 54/5
e) 12√18 / 8√3 = ?
Adım 1: Paydaki √18’i sadeleştirelim.
√18 = √(9 ⋅ 2) = 3√2
Adım 2: Paydaki ifadeyi yeniden yazalım.
12 ⋅ 3√2 = 36√2
Adım 3: Şimdi kesri oluşturalım ve işlemi yapalım.
36√2 / 8√3 = ?
Katsayıları sadeleştirelim: 36/8 = 9/2
Kareköklü ifadeleri sadeleştirelim: √2 / √3 = √(2/3)
Adım 4: Elde ettiğimiz ifadeleri birleştirelim.
(9/2) ⋅ √(2/3) = ?
Bu ifadeyi daha sade hale getirmek için paydayı rasyonel hale getirebiliriz.
9√2 / (2√3)
Payı ve paydayı √3 ile çarpalım:
(9√2 ⋅ √3) / (2√3 ⋅ √3) = ?
Pay: 9 ⋅ √(2 ⋅ 3) = 9√6
Payda: 2 ⋅ 3 = 6
Adım 5: Kesri oluşturalım ve sadeleştirelim.
9√6 / 6
Hem payı hem de paydayı 3’e bölebiliriz.
9√6 / 6 = 3√6 / 2
Sonuç:
12√18 / 8√3 = 3√6 / 2
Umarım bu açıklamalar her şeyi netleştirmiştir. Anlamadığın bir yer olursa çekinmeden sorabilirsin! Başarılar dilerim!