8. Sınıf Matematik Ders Kitabı Cevapları Sonuç Yayınları Sayfa 95
Merhaba sevgili öğrencilerim,
Bugün sizlerle birlikte bu alıştırmaları adım adım çözeceğiz. Rasyonel ve irrasyonel sayılarla ilgili bilgilerimizi tazeleyerek, kareköklü ifadelerde işlemler yapacağız. Hazırsanız, haydi başlayalım!
1. Aşağıdakilerden irrasyonel sayı olanların yanlarındaki kutucuklara ✓ işareti koyunuz.
Arkadaşlar, bu soruyu çözmeden önce kısaca hatırlayalım:
- Rasyonel Sayılar (Q): İki tam sayının oranı şeklinde (a/b, b≠0) yazılabilen sayılardır. Virgülden sonrası belli bir kurala göre tekrar eden (devirli) veya sonu gelen (sonlu) ondalık sayılar rasyoneldir. Tam kare sayıların karekökleri de rasyoneldir.
- İrrasyonel Sayılar (I): İki tam sayının oranı şeklinde yazılamayan sayılardır. Virgülden sonrası düzensiz bir şekilde sonsuza kadar devam eder. En bilinen örneği π (pi) sayısıdır. Tam kare olmayan sayıların karekökleri de irrasyoneldir.
Şimdi şıklara bu gözle bakalım:
a) 17,2133121593…
Virgülden sonraki kısım herhangi bir kurala göre tekrar etmeden (devretmeden) sonsuza kadar gidiyor gibi görünüyor. Bu yüzden bu bir irrasyonel sayıdır. Kutucuğu işaretliyoruz. [✓]
b) 81,18
Bu sayının ondalık kısmı 18’de bitiyor. Sonu belli olan ondalık sayılar rasyoneldir. (8118/100 olarak yazılabilir). Bu yüzden bu bir rasyonel sayıdır. Kutucuğu boş bırakıyoruz. [ ]
c) 7,36
Aynı şekilde, bu sayının da ondalık kısmı 36’da bitiyor. Bu da bir rasyonel sayıdır. (736/100 olarak yazılabilir). Kutucuğu boş bırakıyoruz. [ ]
ç) π
Pi (π) sayısı, en meşhur irrasyonel sayıdır. Değeri yaklaşık 3,14 olsa da virgülden sonrası düzensiz bir şekilde sonsuza dek devam eder. Bu yüzden bu bir irrasyonel sayıdır. Kutucuğu işaretliyoruz. [✓]
d) 1286,222222…
Bu sayıda virgülden sonra 2 rakamı sürekli tekrar ediyor. Bu tür sayılara “devirli ondalık sayılar” diyoruz ve hepsi kesir olarak yazılabildiği için rasyonel sayılardır. Kutucuğu boş bırakıyoruz. [ ]
e) √1
Karekök 1’in değeri 1’dir. 1 bir tam sayıdır ve her tam sayı aynı zamanda bir rasyonel sayıdır. Kutucuğu boş bırakıyoruz. [ ]
f) √307
307 sayısı bir tam kare sayı değildir. Yani hiçbir tam sayının karesi 307 etmez. Bu yüzden kök dışına tam olarak çıkamaz ve değeri virgülden sonra düzensiz bir şekilde sonsuza dek devam eder. Bu bir irrasyonel sayıdır. Kutucuğu işaretliyoruz. [✓]
g) √196
196 sayısı 14’ün karesidir (14×14=196). Dolayısıyla √196 = 14’tür. 14 bir tam sayı olduğu için aynı zamanda rasyonel bir sayıdır. Kutucuğu boş bırakıyoruz. [ ]
2. Kareli alana üç adet rasyonel, dört adet irrasyonel sayı yazınız. Sayıları yazarken nelere dikkat ettiğinizi açıklayınız.
Elbette, hemen yazalım ve açıklayalım.
Rasyonel Sayı Örneklerim:
- -5: Bu bir tam sayıdır. Bütün tam sayılar paydası 1 olan bir kesir olarak yazılabildiği için (-5/1) rasyoneldir.
- 3/4: Bu sayı zaten kesir şeklinde yazılmış, tanıma doğrudan uyuyor. Bu yüzden rasyoneldir.
- 1,25: Bu sayının ondalık kısmı bellidir, yani sonludur. 125/100 olarak yazılabildiği için rasyoneldir.
İrrasyonel Sayı Örneklerim:
- √10: 10 sayısı bir tam kare sayı değildir. Bu yüzden kök dışına tam çıkamaz ve irrasyoneldir.
- √48: 48 sayısı da bir tam kare sayı değildir. Kök dışına 4√3 olarak çıksa da içinde köklü ifade kaldığı için irrasyoneldir.
- π: Zaten bildiğimiz gibi, pi sayısı irrasyonel sayıların en ünlüsüdür.
- 5,121121112…: Bu sayıda virgülden sonra bir düzen var gibi görünüyor ama bu düzen bir “tekrar” (devir) değildir. 1’den sonraki 2 sayısı her seferinde bir artıyor. Bu tür sayılar da irrasyoneldir.
Kısacası, rasyonel sayıları seçerken a/b şeklinde yazılabileceklerine (tam sayı, kesir, sonlu ondalık, devirli ondalık) dikkat ettim. İrrasyonel sayıları seçerken ise kök dışına tam çıkamayan veya virgülden sonrası düzensiz ve sonsuz olan sayılar olmasına dikkat ettim.
3. Aşağıdaki işlemleri yapınız. İşlem sonuçlarının ait olduğu sayı kümelerini belirleyiniz.
Şimdi de kareköklü ifadelerle işlemler yapalım. Unutmayın, kök içleri aynı olan ifadeleri toplayıp çıkarabiliriz, tıpkı elmalarla elmaları topladığımız gibi.
a) 7⋅(√243 – √75) – 28√3 =
Adım 1: Önce parantez içindeki köklü ifadeleri a√b şeklinde yazalım. Bunun için kökün içindeki sayıyı bir tam kare sayı ile başka bir sayının çarpımı olarak düşünmeliyiz.
- √243 = √(81 ⋅ 3) = √81 ⋅ √3 = 9√3
- √75 = √(25 ⋅ 3) = √25 ⋅ √3 = 5√3
Adım 2: Bulduğumuz bu değerleri işlemde yerlerine yazalım.
7⋅(9√3 – 5√3) – 28√3 =Adım 3: Parantez içindeki çıkarma işlemini yapalım. Kök içleri aynı (ikisi de √3) olduğu için katsayıları çıkarabiliriz (9 – 5 = 4).
7⋅(4√3) – 28√3 =Adım 4: Çarpma işlemini yapalım.
28√3 – 28√3 =Adım 5: Son olarak çıkarma işlemini yapalım.
28√3 – 28√3 = 0Sonuç: İşlemin sonucu 0‘dır.
Sıfır (0) sayısı bir Doğal Sayı (N), bir Tam Sayı (Z) ve aynı zamanda bir Rasyonel Sayı (Q)‘dır.
b) √2⋅(3√2 – √12) =
Adım 1: Yine önce parantez içindeki √12’yi a√b şeklinde yazalım.
- √12 = √(4 ⋅ 3) = √4 ⋅ √3 = 2√3
Adım 2: Bu değeri işlemde yerine koyalım.
√2⋅(3√2 – 2√3) =Adım 3: Şimdi parantezin dışındaki √2’yi içeriye dağıtalım. Yani √2 ile hem 3√2’yi hem de -2√3’ü çarpacağız.
(√2 ⋅ 3√2) – (√2 ⋅ 2√3) =Adım 4: Çarpma işlemlerini yapalım. Unutmayın, √a ⋅ √a = a ve √a ⋅ √b = √ab’dir.
(3 ⋅ √2⋅√2) – (2 ⋅ √2⋅√3) =
(3 ⋅ 2) – (2 ⋅ √6) =
6 – 2√6Sonuç: İşlemin sonucu 6 – 2√6‘dır.
Bu ifadede √6 irrasyonel bir sayıdır (çünkü 6 tam kare değil). Rasyonel bir sayı (6) ile irrasyonel bir ifadenin (2√6) farkı her zaman İrrasyonel Sayı (I)‘dır. Bu sayı aynı zamanda bir Gerçek (Reel) Sayı (R)‘dır.
Umarım çözümler anlaşılır olmuştur. Anlamadığınız bir yer olursa çekinmeden sorun. Başarılar dilerim!