8. Sınıf Matematik Ders Kitabı Cevapları Koza Yayınları Sayfa 115

Merhaba sevgili öğrencim. Seninle birlikte bu sayfadaki matematik sorularını, özdeşlikler konusunu pekiştirerek adım adım çözelim. Matematik aslında bir bulmaca gibidir, kuralları bildiğinde çözmesi çok keyiflidir. Haydi başlayalım!

4. Soru: Bir özdeşlikte a² – b² = 120 ve a + b = 30 olduğuna göre (a – b)’nin değerini bulunuz.

Bu soruda “İki Kare Farkı” özdeşliğini kullanmamız gerekiyor. Bu özdeşliği hatırlayalım:

a² – b² = (a – b) . (a + b)

Adım 1: Bize verilen sayıları formülde yerine koyalım.

• a² – b² yerine 120 yazalım.
• a + b yerine 30 yazalım.

120 = (a – b) . 30

Adım 2: (a – b)’yi bulmak için, hangi sayıyı 30 ile çarparsak 120 eder diye düşünmeliyiz. Bunun için 120’yi 30’a böleriz.

a – b = 120 / 30

Sonuç: a – b = 4

5. Soru: Bir özdeşlikte a – b = 5 ve a² + b² = 85 olduğuna göre a . b’nin değerini bulunuz.

Burada “Tam Kare” özdeşliğini, yani farkın karesi formülünü kullanacağız.

(a – b)² = a² – 2ab + b²

Adım 1: Bildiğimiz değerleri formülde yerine yerleştirelim.

• (a – b) yerine 5 yazalım -> 5²
• a² + b² yerine 85 yazalım (Formüldeki a² ve b² yan yana düşünülebilir).

5² = (a² + b²) – 2ab

25 = 85 – 2ab

Adım 2: Şimdi 2ab’yi bulalım. 85’ten hangi sayıyı çıkarırsak 25 kalır?

2ab = 85 – 25

2ab = 60

Adım 3: 2 tane (a . b) 60 ediyorsa, 1 tanesini bulmak için 60’ı 2’ye böleriz.

Sonuç: a . b = 30

6. Soru: Dikdörtgensel bölge biçimindeki bir parkın eni 74 m, boyu 86 m’dir. Bu parkın alanını a² – b² özdeşliğinden yararlanarak bulunuz.

Normalde alan için 74 ile 86’yı çarparız. Ancak soru bizden özdeşlik kullanmamızı istiyor. Bunun için iki sayının tam ortasındaki sayıyı bulmalıyız.

Adım 1: 74 ve 86’nın ortalamasını bulalım.

(74 + 86) / 2 = 160 / 2 = 80

Adım 2: Şimdi kenar uzunluklarını 80’e göre yazalım.

• Boy: 86 = (80 + 6)
• En: 74 = (80 – 6)

Adım 3: Alan = (80 + 6) . (80 – 6) işlemi iki kare farkı özdeşliğine dönüşür.

Alan = 80² – 6²

Adım 4: Kareleri hesaplayıp çıkarma işlemini yapalım.

80² = 6400

6² = 36

Alan = 6400 – 36

Sonuç: 6364 m²

7. Soru: Karesel bölge biçiminde ve bir kenarının uzunluğu 96 m olan arsanın içinde bir kenarının uzunluğu 76 m olan karesel bölgeye konut yapılıyor. Geriye kalan alan ise bahçe olarak düzenleniyor. Bahçe için ayrılan kısmın alanını a² – b² özdeşliğinden yararlanarak bulunuz.

Bahçe alanı = (Büyük Karenin Alanı) – (Küçük Karenin Alanı) demektir.

Adım 1: Alanları üslü olarak yazalım.

Bahçe Alanı = 96² – 76²

Adım 2: Bu ifade iki kare farkı özdeşliğidir: a² – b² = (a – b) . (a + b)

Bahçe Alanı = (96 – 76) . (96 + 76)

Adım 3: Parantez içindeki işlemleri yapalım.

• 96 – 76 = 20
• 96 + 76 = 172

Adım 4: Şimdi çarpma işlemini yapalım: 20 . 172

172 ile 2’yi çarpıp sonuna 0 ekleyebiliriz.

172 . 2 = 344

Sonuç: 3440 m²

8. Soru: Bir özdeşlikte, a + b = 22 ve 2ab = 210 olduğuna göre (a² + b²)’nin değerini bulunuz.

Burada “Tam Kare Toplamı” özdeşliğini kullanacağız.

(a + b)² = a² + 2ab + b²

Adım 1: Verilenleri formülde yerine yazalım.

• (a + b) yerine 22 yazalım -> 22²
• 2ab yerine 210 yazalım.

22² = (a² + b²) + 210

Adım 2: 22’nin karesini hesaplayalım. (22 . 22)

22 . 22 = 484

Adım 3: Denklemi çözelim.

484 = (a² + b²) + 210

a² + b² değerini bulmak için 484’ten 210’u çıkarırız.

484 – 210 = 274

Sonuç: a² + b² = 274

9. Soru: (Ax – 5)² = 64x² – Bx + 25 eşitliği bir özdeşliktir. Buna göre A ve B yerine gelecek sayıları bulunuz.

Eşitliğin sol tarafındaki ifadenin karesini alıp sağ tarafla karşılaştırmalıyız.

Adım 1: (Ax – 5)² ifadesini açalım. (Birincinin karesi – Birinci ile ikincinin çarpımının iki katı + İkincinin karesi)

(Ax)² – 2 . (Ax) . 5 + 5²

A²x² – 10Ax + 25

Adım 2: Bulduğumuz ifadeyi sorudaki eşitlikle karşılaştıralım.

Bulduğumuz: A²x² – 10Ax + 25

Sorudaki: 64x² – Bx + 25

Adım 3: Terimleri eşleştirelim.

• x²‘li terimler: A² = 64 ise, hangi sayının karesi 64’tür? A = 8
• x’li terimler: 10A = B (İşaretler ikisinde de eksi olduğu için direkt sayıları eşitleriz).

Adım 4: A’yı 8 bulmuştuk, yerine yazarak B’yi bulalım.

B = 10 . 8

B = 80

Sonuç: A = 8, B = 80

10. Soru: Bir havuzun dikdörtgen biçimindeki tabanının alanı 144 m², bu tabanın kısa ve uzun kenarlarının uzunluklarının kareleri toplamı 337 m²dir. Bu havuzun tabanının çevresinin uzunluğu kaç metredir?

Havuzun kenarlarına a ve b diyelim.

• Alan = a . b = 144
• Kareleri toplamı = a² + b² = 337
• Bizden istenen Çevre = 2 . (a + b)

Adım 1: Çevreyi bulmak için önce (a + b)’yi bulmalıyız. Tam kare özdeşliğini kullanalım.

(a + b)² = a² + b² + 2ab

Adım 2: Bildiklerimizi yerine yazalım.

(a + b)² = 337 + 2 . (144)

(a + b)² = 337 + 288

(a + b)² = 625

Adım 3: Hangi sayının karesi 625 eder? 25’in karesidir.

a + b = 25

Adım 4: Çevre formülünde yerine yazalım.

Çevre = 2 . (a + b)

Çevre = 2 . 25

Sonuç: 50 metredir.

11. Soru: Bir salonun dikdörtgen biçimindeki tabanının boy ve en uzunluklarının farkı 1 m’dir. Bu salonun boyunun ve eninin karelerinin farkı 11 m² olduğuna göre salonun en ve boy uzunluklarını bulunuz.

Kenarlara x (uzun kenar) ve y (kısa kenar) diyelim.

• Kenarların farkı: x – y = 1
• Karelerin farkı: x² – y² = 11

Adım 1: İki kare farkı özdeşliğini açalım.

x² – y² = (x – y) . (x + y)

Adım 2: Bildiğimiz sayıları yerine koyalım.

11 = 1 . (x + y)

Buradan anlıyoruz ki, x + y = 11 olmalıdır.

Adım 3: Şimdi elimizde iki bilgi var:

• Farkları 1 (x – y = 1)
• Toplamları 11 (x + y = 11)

Hangi iki sayıyı toplarsak 11, çıkarırsak 1 yapar?

Bunu bulmak için taraf tarafa toplama yapabiliriz:

x + y = 11

x – y = 1

Toplarsak: 2x = 12 olur. Buradan x = 6 (Boy)

Toplamları 11 olduğu için; 6 + y = 11 ise y = 5 (En)

Sonuç: Boyu 6 metre, Eni 5 metredir.