Merhaba sevgili öğrencilerim! Matematik dersimizin bu bölümünde cebirsel ifadelerle ilgili harika sorular çözeceğiz. Hazırsanız başlayalım!
2. Aşağıdaki ifadeleri çarpanlarına ayırınız.
Bu soruda bizden verilen cebirsel ifadeleri çarpanlarına ayırmamız isteniyor. Yani, bu ifadeleri çarpım durumunda yazmamız gerekiyor.
a) $4x + 8y$
Bu ifadede her iki terimde de ortak olan bir çarpan var mı diye bakıyoruz. 4 ve 8’in ortak böleni 4’tür. Ayrıca her iki terimde de ‘x’ veya ‘y’ gibi bir harf ortak değil.
Adım 1: Ortak çarpanı parantezin dışına alalım. Her iki terimde de 4 ortak çarpanıdır.
Adım 2: Parantezin içine, her terimi ortak çarpana böldüğümüzde kalanları yazalım.
- $4x / 4 = x$
- $8y / 4 = 2y$
Sonuç: $4(x + 2y)$
b) $5a – 20b$
Burada da ortak çarpanı bulmamız gerekiyor. 5 ve 20’nin ortak böleni 5’tir. Harf olarak ortak bir çarpan yok.
Adım 1: Ortak çarpan olan 5’i parantezin dışına alalım.
Adım 2: Parantezin içine her terimi 5’e böldüğümüzde kalanları yazalım.
- $5a / 5 = a$
- $20b / 5 = 4b$
Sonuç: $5(a – 4b)$
c) $4x^2 – 12x$
Şimdi hem sayılara hem de harflere bakarak ortak çarpanları bulmalıyız. 4 ve 12’nin en büyük ortak böleni 4’tür. $x^2$ ve $x$’in ortak çarpanı ise $x$’tir.
Adım 1: En büyük ortak çarpan olan $4x$’i parantezin dışına alalım.
Adım 2: Parantezin içine, her terimi $4x$’e böldüğümüzde kalanları yazalım.
- $4x^2 / 4x = x$
- $12x / 4x = 3$
Sonuç: $4x(x – 3)$
c) $32x^2 – 8y^2$
Bu ifadede de ortak çarpanları bulacağız. 32 ve 8’in en büyük ortak böleni 8’dir. Harf olarak ortak bir çarpan yok.
Adım 1: Ortak çarpan olan 8’i parantezin dışına alalım.
Adım 2: Parantezin içine, her terimi 8’e böldüğümüzde kalanları yazalım.
- $32x^2 / 8 = 4x^2$
- $8y^2 / 8 = y^2$
Sonuç: $8(4x^2 – y^2)$
d) $6x – 10y$
Burada 6 ve 10’un en büyük ortak böleni 2’dir. Harf olarak ortak çarpan yok.
Adım 1: Ortak çarpan 2’yi parantezin dışına alalım.
Adım 2: Parantezin içine her terimi 2’ye böldüğümüzde kalanları yazalım.
- $6x / 2 = 3x$
- $10y / 2 = 5y$
Sonuç: $2(3x – 5y)$
e) $25x^2 – 100y^2$
25 ve 100’ün en büyük ortak böleni 25’tir. Harf olarak ortak çarpan yok.
Adım 1: Ortak çarpan 25’i parantezin dışına alalım.
Adım 2: Parantezin içine her terimi 25’e böldüğümüzde kalanları yazalım.
- $25x^2 / 25 = x^2$
- $100y^2 / 25 = 4y^2$
Sonuç: $25(x^2 – 4y^2)$
3. Aşağıdaki ifadeleri çarpanlarına ayırınız.
Bu soruda da yine çarpanlara ayırma yapacağız. Bazı ifadeler iki kare farkı özdeşliğine, bazıları tam kare özdeşliğine benziyor olabilir.
a) $1 – 10m + 25m^2$
Bu ifadeye baktığımızda, ilk terim 1’in karesi, son terim ise $5m$’nin karesidir. Ortadaki terim ise bu iki ifadenin çarpımının 2 katı ($2 times 1 times 5m = 10m$) gibi duruyor. Bu, tam kare özdeşliğidir: $(a-b)^2 = a^2 – 2ab + b^2$. Burada $a=1$ ve $b=5m$ olarak düşünebiliriz.
Adım 1: İlk terimin karekökünü ve son terimin karekökünü alalım.
- $sqrt{1} = 1$
- $sqrt{25m^2} = 5m$
Adım 2: Ortadaki terimin işareti eksi olduğu için, bu iki ifadeyi çıkarıp karesini alacağız.
Sonuç: $(1 – 5m)^2$
b) $4x^2 + 20xy + 25y^2$
Bu ifadede ilk terim $(2x)^2$’dir, son terim ise $(5y)^2$’dir. Ortadaki terim ise bu iki ifadenin çarpımının 2 katıdır: $2 times (2x) times (5y) = 20xy$. Bu da tam kare özdeşliğidir: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$. Burada $a=2x$ ve $b=5y$ olarak düşünebiliriz.
Adım 1: İlk terimin karekökünü ve son terimin karekökünü alalım.
- $sqrt{4x^2} = 2x$
- $sqrt{25y^2} = 5y$
Adım 2: Ortadaki terimin işareti artı olduğu için, bu iki ifadeyi toplayıp karesini alacağız.
Sonuç: $(2x + 5y)^2$
c) $50 – 60x + 18x^2$
Bu ifadeyi çarpanlarına ayırmadan önce, terimlerde ortak bir çarpan olup olmadığına bakalım. 50, 60 ve 18’in en büyük ortak böleni 2’dir. Bu ortak çarpanı parantezin dışına alırsak:
Adım 1: 2’yi parantezin dışına alalım.
- $50 / 2 = 25$
- $60x / 2 = 30x$
- $18x^2 / 2 = 9x^2$
İfade şimdi $2(25 – 30x + 9x^2)$ oldu. İçerideki ifadeye bakalım: 25, 5’in karesi; $9x^2$, $(3x)^2$’dir. Ortadaki terim ise $2 times 5 times 3x = 30x$. Bu da tam kare özdeşliğine benziyor. Ancak terimlerin sırası farklı. İfadeyi şöyle düzenleyebiliriz: $2(9x^2 – 30x + 25)$. Şimdi bu ifade $(3x – 5)^2$ şeklinde yazılabilir.
Adım 2: Parantez içindeki ifadeyi tam kare olarak yazalım.
- İlk terim: $9x^2 = (3x)^2$
- Son terim: $25 = 5^2$
- Ortadaki terim kontrolü: $2 times (3x) times 5 = 30x$
Ortadaki terimin işareti eksi olduğu için:
Sonuç: $2(3x – 5)^2$
ç) $36x^2 + 48xy + 16y^2$
Burada da ortak çarpan var mı diye bakalım. 36, 48 ve 16’nın en büyük ortak böleni 4’tür.
Adım 1: Ortak çarpan 4’ü parantezin dışına alalım.
- $36x^2 / 4 = 9x^2$
- $48xy / 4 = 12xy$
- $16y^2 / 4 = 4y^2$
İfade şimdi $4(9x^2 + 12xy + 4y^2)$ oldu. Parantez içindeki ifadeye bakalım: $9x^2 = (3x)^2$, $4y^2 = (2y)^2$. Ortadaki terim $2 times (3x) times (2y) = 12xy$. Bu da tam kare özdeşliğidir.
Adım 2: Parantez içindeki ifadeyi tam kare olarak yazalım.
- İlk terim: $9x^2 = (3x)^2$
- Son terim: $4y^2 = (2y)^2$
- Ortadaki terim kontrolü: $2 times (3x) times (2y) = 12xy$
Ortadaki terimin işareti artı olduğu için:
Sonuç: $4(3x + 2y)^2$
d) $4 – 49n^2$
Bu ifade iki kare farkıdır: $a^2 – b^2 = (a-b)(a+b)$. Burada $a^2 = 4$ ise $a=2$, $b^2 = 49n^2$ ise $b=7n$’dir.
Adım 1: İlk terimin karekökünü alalım.
- $sqrt{4} = 2$
Adım 2: İkinci terimin karekökünü alalım.
- $sqrt{49n^2} = 7n$
Adım 3: İki kare farkı özdeşliğini uygulayalım.
Sonuç: $(2 – 7n)(2 + 7n)$
e) $9x^4 – 81y^4$
Bu da iki kare farkıdır. $9x^4 = (3x^2)^2$ ve $81y^4 = (9y^2)^2$.
Adım 1: İlk terimin karekökünü alalım.
- $sqrt{9x^4} = 3x^2$
Adım 2: İkinci terimin karekökünü alalım.
- $sqrt{81y^4} = 9y^2$
Adım 3: İki kare farkı özdeşliğini uygulayalım.
Sonuç: $(3x^2 – 9y^2)(3x^2 + 9y^2)$
Not: Buradaki ifadeler de kendi içlerinde çarpanlarına ayrılabilir. Örneğin, $3x^2 – 9y^2$ ifadesinden 3 ortak çarpanı alınabilir: $3(x^2 – 3y^2)$. Ancak soruda sadece ilk adımda çarpanlarına ayırmak yeterli olabilir.
f) $144z^2 – 169x^2$
Bu da iki kare farkıdır. $144z^2 = (12z)^2$ ve $169x^2 = (13x)^2$.
Adım 1: İlk terimin karekökünü alalım.
- $sqrt{144z^2} = 12z$
Adım 2: İkinci terimin karekökünü alalım.
- $sqrt{169x^2} = 13x$
Adım 3: İki kare farkı özdeşliğini uygulayalım.
Sonuç: $(12z – 13x)(12z + 13x)$
g) $50x^2 – 2y^2$
Bu ifadede ilk olarak ortak çarpanı bulalım. 50 ve 2’nin en büyük ortak böleni 2’dir.
Adım 1: Ortak çarpan 2’yi parantezin dışına alalım.
- $50x^2 / 2 = 25x^2$
- $2y^2 / 2 = y^2$
İfade şimdi $2(25x^2 – y^2)$ oldu. Parantez içindeki ifade iki kare farkıdır: $25x^2 = (5x)^2$ ve $y^2 = y^2$.
Adım 2: Parantez içindeki iki kare farkını çarpanlarına ayıralım.
- İlk terim: $25x^2 = (5x)^2$
- İkinci terim: $y^2 = y^2$
Sonuç: $2(5x – y)(5x + y)$
ğ) $-5t^2 + 20n^2$
Bu ifadeyi daha rahat çarpanlarına ayırmak için terimlerin yerini değiştirelim ve ortak çarpanı dışarı alalım. $20n^2 – 5t^2$. Ortak çarpan 5’tir.
Adım 1: Ortak çarpan 5’i parantezin dışına alalım.
- $20n^2 / 5 = 4n^2$
- $5t^2 / 5 = t^2$
İfade şimdi $5(4n^2 – t^2)$ oldu. Parantez içindeki ifade iki kare farkıdır: $4n^2 = (2n)^2$ ve $t^2 = t^2$.
Adım 2: Parantez içindeki iki kare farkını çarpanlarına ayıralım.
- İlk terim: $4n^2 = (2n)^2$
- İkinci terim: $t^2 = t^2$
Sonuç: $5(2n – t)(2n + t)$
4. $4x^2 – Ax + 25y^2$ ifadesinin tam kare bir ifade olabilmesi için A yerine ne yazılmalıdır?
Bir ifadenin tam kare olabilmesi için şu şartları sağlaması gerekir: İlk terim bir tam kare olmalı, son terim bir tam kare olmalı ve ortadaki terim bu iki ifadenin çarpımının 2 katı olmalıdır.
Adım 1: İlk terimi inceleyelim: $4x^2$. Bunun karekökü $2x$’tir. Yani, ilk terim $(2x)^2$’dir.
Adım 2: Son terimi inceleyelim: $25y^2$. Bunun karekökü $5y$’dir. Yani, son terim $(5y)^2$’dir.
Adım 3: Tam kare olması için ortadaki terim, ilk ve son terimin kareköklerinin çarpımının 2 katı olmalıdır. Bu çarpım $(2x)$ ve $(5y)$’dir.
- Çarpımları: $(2x) times (5y) = 10xy$
- 2 katı: $2 times (10xy) = 20xy$
Adım 4: İfademizde ortadaki terim $-Ax$ şeklinde verilmiş. Tam kare olabilmesi için bu terim $20xy$ veya $-20xy$ olabilir. Yani $A$’nın alabileceği değerler 20 veya -20’dir. Ancak soruda $A$ yerine ne yazılmalıdır deniyor ve genelde pozitif değer sorulur. Eğer ifade $4x^2 – Ax + 25y^2$ ise ve tam kare ise, ortadaki terim $-2 times (2x) times (5y) = -20xy$ olmalıdır. Bu durumda $Ax = 20xy$, yani $A=20$’dir.
Sonuç: $A = 20$
5. $9x^2 + 18x + B$ ifadesinin tam kare bir ifade olabilmesi için B yerine hangi sayı yazılmalıdır?
Yine tam kare özdeşliğini kullanacağız. $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ veya $(a-b)^2 = a^2 – 2ab + b^2$.
Adım 1: İlk terim $9x^2$. Bunun karekökü $3x$’tir. Yani, ilk terim $(3x)^2$’dir.
Adım 2: Ortadaki terim $18x$. Bu terim $2ab$ kısmına karşılık gelir. $a=3x$ olduğunu biliyoruz. O zaman $2 times (3x) times b = 18x$ olmalıdır.
Adım 3: $6xb = 18x$ denklemini çözelim. Her iki tarafı $6x$’e bölersek $b = 3$ buluruz.
Adım 4: Tam kare ifadenin son terimi $b^2$’dir. $b=3$ olduğuna göre, $b^2 = 3^2 = 9$’dur. Bu da bizim $B$ değerimizdir.
Sonuç: $B = 9$
6. $-1 + 41^2 = boxed{?} cdot 40$ eşitliğinin doğru olması için ■ yerine hangi sayı yazılmalıdır?
Bu soruda bir işlem hatası yapılmış gibi görünüyor. Normalde tam kare ifadelerle ilgili bir soru olması beklenir ama burada bir toplama ve çıkarma işlemi var. Soruyu verilen haliyle çözmeye çalışalım. Öncelikle $41^2$ işlemini yapalım.
Adım 1: $41^2$ işlemini hesaplayalım.
$41 times 41$
$41$
$1640$
——
$1681$
Adım 2: Elde ettiğimiz sonucu $-1$ ile toplayalım.
$-1 + 1681 = 1680$
Adım 3: Eşitliğin sağ tarafında ■ çarpı 40 var. Bizim bulduğumuz 1680 sayısına ulaşmak için ■ yerine hangi sayının gelmesi gerektiğini bulalım. Yani $1680 / 40$ işlemini yapmalıyız.
$1680 div 40$
$168 div 4 = 42$
Sonuç: ■ yerine 42 yazılmalıdır.
7. Yandaki ABFE ve BCDE karesel bölgelerin alanları birbirine eşittir. Karesel bölgelerden birinin alanı $(x^2 + 6x + 9)br^2$ olduğuna göre iki karenin oluşturduğu dikdörtgensel bölgenin alanını veren cebirsel ifadeyi yazınız.
Soruda ABFE ve BCDE’nin kare olduğunu ve alanlarının eşit olduğunu söylüyor. Bir karenin alanı kenar uzunluğunun karesiyle bulunur. Yani, bir kenar uzunluğu $a$ olan karenin alanı $a^2$’dir.
Adım 1: Bize verilen alan $(x^2 + 6x + 9)br^2$. Bu ifadeyi çarpanlarına ayırırsak, karenin bir kenar uzunluğunu bulabiliriz. Bu ifade tam kareye benziyor: $(x+3)^2$.
- $x^2$’nin karekökü $x$.
- $9$’un karekökü $3$.
- $2 times x times 3 = 6x$.
Yani, alan $(x+3)^2$ ise, karenin bir kenar uzunluğu $(x+3)$’tür.
Adım 2: ABFE ve BCDE kareleri birbirine eşittir. Bu durumda hem ABFE’nin hem de BCDE’nin bir kenar uzunluğu $(x+3)$’tür.
Adım 3: Dikdörtgensel bölgeyi oluşturan kenarlar şunlardır: ABFE karesinin AF kenarı ve BCDE karesinin ED kenarı bu dikdörtgenin bir kenarını oluşturur. Bu kenarın uzunluğu $(x+3)$’tür. Dikdörtgenin diğer kenarı ise ABFE’nin AB kenarı ile BCDE’nin BC kenarının toplamıdır. Yani $AB + BC$. AB karesinin bir kenarı $(x+3)$ ve BC karesinin bir kenarı da $(x+3)$’tür. Dolayısıyla dikdörtgenin bu kenarının uzunluğu $(x+3) + (x+3) = 2(x+3) = 2x+6$’dır.
Adım 4: Dikdörtgenin alanını bulmak için kenar uzunluklarını çarpmalıyız: Alan = (uzun kenar) $times$ (kısa kenar).
Dikdörtgenin kenarları: $(x+3)$ ve $(2x+6)$.
Alan = $(x+3) times (2x+6)$
Bu ifadeyi çarpanlarına ayırarak yazarsak daha açık olur: $2x+6 = 2(x+3)$.
Alan = $(x+3) times 2(x+3) = 2(x+3)^2$.
Eğer dağıtarak yazmak istersek:
$(x+3)(2x+6) = x(2x+6) + 3(2x+6)
$= 2x^2 + 6x + 6x + 18
$= 2x^2 + 12x + 18$
Sonuç: Dikdörtgensel bölgenin alanını veren cebirsel ifade $2(x+3)^2$ veya $2x^2 + 12x + 18$’dir.
8. Alanı $(64x^2 + 16x + 1)br^2$ olan karesel bölgenin çevresinin uzunluğunu cebirsel ifade biçiminde yazınız.
Bir karenin alanı kenar uzunluğunun karesidir. Çevresi ise 4 kenarının toplamıdır, yani 4 çarpı kenar uzunluğudur.
Adım 1: Verilen alanı $(64x^2 + 16x + 1)br^2$ tam kare şeklinde çarpanlarına ayıralım.
- İlk terim $64x^2$. Bunun karekökü $8x$’tir. Yani $(8x)^2$.
- Son terim $1$. Bunun karekökü $1$’dir. Yani $1^2$.
- Ortadaki terim $16x$. Kontrol edelim: $2 times (8x) times 1 = 16x$.
Bu ifade $(8x + 1)^2$ şeklinde yazılabilir.
Adım 2: Karenin alanı $(8x + 1)^2$ ise, bir kenar uzunluğu $(8x + 1)$’dir.
Adım 3: Karenin çevresini bulmak için bir kenar uzunluğunu 4 ile çarparız.
Çevre = $4 times (8x + 1)$
Adım 4: Çarpmayı dağıtarak yapalım.
Çevre = $4 times 8x + 4 times 1$
Çevre = $32x + 4$
Sonuç: Karesel bölgenin çevresinin uzunluğu $32x + 4$ birimdir.
9. Aşağıdaki karesel bölgelerin alanlarını veren cebirsel ifadeler içlerine yazılmıştır. Bu karesel bölgelerin kenar uzunluklarını bulunuz.
Bir karenin alanı kenar uzunluğunun karesine eşittir. Bu nedenle, alan bilgisini kullanarak kenar uzunluğunu bulmak için alan ifadesinin karekökünü almamız gerekiyor.
İlk Karesel Bölge: Alanı $(9x^2 + 30x + 25) br^2$
Adım 1: Verilen alan ifadesini çarpanlarına ayırarak tam kare şeklinde yazalım.
- İlk terim $9x^2$. Bunun karekökü $3x$’tir. Yani $(3x)^2$.
- Son terim $25$. Bunun karekökü $5$’tir. Yani $5^2$.
- Ortadaki terim $30x$. Kontrol edelim: $2 times (3x) times 5 = 30x$.
Bu ifade $(3x + 5)^2$ şeklinde yazılabilir.
Adım 2: Karenin alanı $(3x + 5)^2$ ise, kenar uzunluğu bu ifadenin kareköküdür.
Sonuç: Kenar uzunluğu $(3x + 5)$ birimdir.
İkinci Karesel Bölge: Alanı $(12x^2 – 24x + 12) br^2$
Adım 1: Bu ifadede ilk olarak ortak çarpan var mı diye bakalım. 12, 24 ve 12’nin en büyük ortak böleni 12’dir.
Adım 2: Ortak çarpan 12’yi parantezin dışına alalım.
- $12x^2 / 12 = x^2$
- $24x / 12 = 2x$
- $12 / 12 = 1$
İfade şimdi $12(x^2 – 2x + 1)$ oldu.
Adım 3: Parantez içindeki ifadeyi çarpanlarına ayıralım. $x^2 – 2x + 1$ ifadesi tam kareye benziyor: $(x-1)^2$.
- $x^2$’nin karekökü $x$.
- $1$’in karekökü $1$.
- $2 times x times 1 = 2x$.
Yani, alan $12(x-1)^2$ şeklinde yazılabilir.
Adım 4: Bu karenin kenar uzunluğunu bulmak için alanın karekökünü almalıyız. Alan $12(x-1)^2$’dir.
- $sqrt{12(x-1)^2} = sqrt{12} times sqrt{(x-1)^2}$
- $sqrt{12} = sqrt{4 times 3} = 2sqrt{3}$
- $sqrt{(x-1)^2} = |x-1|$ (Mutlak değer olarak alırız, çünkü kenar uzunluğu negatif olamaz.)
Sonuç: Kenar uzunluğu $2sqrt{3}|x-1|$ birimdir.
Umarım bu çözümler anlaşılır olmuştur. Anlamadığınız yerleri lütfen sormaktan çekinmeyin!