Sevgili öğrencim, merhaba! Bugün seninle 8. Sınıf Matematik dersi “Gerçek Sayılar” konusuna ait sayfadaki etkinlikleri ve soruları inceleyeceğiz. Kareköklü ifadeler ve rasyonel/irrasyonel sayı kavramlarını birlikte pekiştirelim.
Soru 1 (Resimli Bölüm):
İrem ve Harun, $sqrt{2}$ ve $sqrt{5}$ sayılarının değerlerini hesap makinesi ile bulup söylüyorlar. $sqrt{2}$ ve $sqrt{5}$ sayılarına karşılık gelen ondalık açılımların birer rasyonel sayı olarak yazılıp yazılamayacağını söyleyiniz.
Çözüm:
Bu soruyu çözerken sayıların ondalık kısımlarına dikkatlice bakmamız gerekiyor.
Adım 1: İrem’in bulduğu sayıya bakalım: $sqrt{2} = 1,414213562…$
Adım 2: Harun’un bulduğu sayıya bakalım: $sqrt{5} = 2,236067977…$
Adım 3: Her iki sayının da sonunda üç nokta (…) olduğunu görüyoruz. Bu işaret, bölme işleminin sonsuza kadar devam ettiğini gösterir. Ayrıca virgülden sonraki rakamlara baktığımızda, belirli bir düzen içinde tekrar eden (devreden) bir grup rakam göremiyoruz. Rakamlar düzensiz bir şekilde sonsuza kadar gidiyor.
Adım 4: Matematikte, virgülden sonrası düzensiz ve sonsuz devam eden sayılara İrrasyonel Sayılar denir. Rasyonel sayılar ise $frac{a}{b}$ şeklinde (kesir olarak) yazılabilen sayılardır.
Sonuç: Bu sayılar düzensiz ve sonsuz oldukları için rasyonel sayı olarak yazılamazlar. Bunlar birer irrasyonel sayıdır.
Soru 2 (Uygulama Basamakları – Madde 1):
$0,08$; $5,36$; $1,3overline{8}$ sayılarını rasyonel sayı olarak yazınız.
Çözüm:
Burada ondalık ve devirli ondalık gösterimleri rasyonel sayıya (kesre) çevireceğiz.
a) $0,08$ Sayısı:
- Adım 1: Sayıyı virgülsüz olarak paya yazarız: $8$
- Adım 2: Virgülden sonra kaç basamak varsa, paydada 1’in yanına o kadar sıfır koyarız. Burada 2 basamak (0 ve 8) var. O halde payda 100 olur.
- İşlem: $frac{8}{100}$
- Sadeleştirme: Her iki tarafı 4’e bölelim. $frac{2}{25}$ olur.
b) $5,36$ Sayısı:
- Adım 1: Sayının tamamını virgülsüz olarak paya yazarız: $536$
- Adım 2: Virgülden sonra 2 basamak (3 ve 6) olduğu için paydaya 100 yazarız.
- İşlem: $frac{536}{100}$
- Sadeleştirme: Her iki tarafı 4’e bölelim. $536 div 4 = 134$ ve $100 div 4 = 25$.
- Sonuç: $frac{134}{25}$
c) $1,3overline{8}$ Sayısı (Devirli Ondalık Sayı):
Burada özel bir formülümüz vardı, hatırlayalım: (Sayının Tamamı – Devretmeyen Kısım) / (Virgülden sonra devreden kadar 9, devretmeyen kadar 0)
- Adım 1 (Pay): Sayının tamamı virgülsüz olarak $138$. Üzerinde çizgi olmayan (devretmeyen) kısım $13$. Çıkarma yapalım: $138 – 13 = 125$.
- Adım 2 (Payda): Virgülden sonra şapkası (çizgisi) olan bir tane sayı var (8), bu yüzden bir tane $9$ koyuyoruz. Virgülden sonra şapkası olmayan bir tane sayı var (3), bu yüzden bir tane $0$ koyuyoruz. Paydamız $90$ olur.
- İşlem: $frac{125}{90}$
- Sadeleştirme: Her iki tarafı 5’e bölelim. $125 div 5 = 25$ ve $90 div 5 = 18$.
- Sonuç: $frac{25}{18}$
Soru 3 (Uygulama Basamakları – Madde 2):
Bir sayının rasyonel sayı olarak yazılabilmesi için bu sayının hangi özelliği taşıması gerektiğini söyleyiniz.
Çözüm:
Cevap: Bir sayının rasyonel sayı olabilmesi için, $a$ ve $b$ birer tam sayı ve $b$ sıfırdan farklı ($b neq 0$) olmak üzere, $frac{a}{b}$ şeklinde yazılabilmesi gerekir. Ondalık açılımı ya sonlu olmalı (bir yerde bitmeli) ya da sonsuza gidiyorsa düzenli bir şekilde devretmeli (tekrar etmeli) gerekir.
Soru 4 (Uygulama Basamakları – Madde 3 ve 4):
Hesap makinesinde 7 sayısını yazıp sonra kök tuşuna basınız. Ekranda oluşan sayının, devirli ondalık açılım olup olmadığını söyleyiniz. Ekranda oluşan sayıyı rasyonel sayı olarak yazıp yazamayacağınızı söyleyiniz.
Çözüm:
Hesap makinesi kullanmadan da bu sayının yapısını analiz edebiliriz.
Adım 1: $sqrt{7}$ sayısı tam kare bir sayı değildir (Yani hiçbir tam sayının karesi 7 yapmaz). Hesap makinesine bastığımızda yaklaşık olarak şöyle bir değer görürüz: $2,645751311…$
Adım 2: Ekranda çıkan sayıya baktığımızda, virgülden sonraki rakamların belirli bir kurala göre tekrar etmediğini (devirli olmadığını) görürüz.
Adım 3: Devirli olmadığı ve sonsuza kadar düzensiz gittiği için bu sayı rasyonel sayı olarak yazılamaz.
Sonuç: $sqrt{7}$ sayısı bir İrrasyonel sayıdır.