Merhaba sevgili öğrencim. Seninle birlikte bu sayfadaki matematik sorularını, özdeşlikler konusunu pekiştirerek adım adım çözelim. Matematik aslında bir bulmaca gibidir, kuralları bildiğinde çözmesi çok keyiflidir. Haydi başlayalım!
4. Soru: Bir özdeşlikte a2 – b2 = 120 ve a + b = 30 olduğuna göre (a – b)’nin değerini bulunuz.
Bu soruda “İki Kare Farkı” özdeşliğini kullanmamız gerekiyor. Bu özdeşliği hatırlayalım:
a2 – b2 = (a – b) . (a + b)
Adım 1: Bize verilen sayıları formülde yerine koyalım.
- a2 – b2 yerine 120 yazalım.
- a + b yerine 30 yazalım.
120 = (a – b) . 30
Adım 2: (a – b)’yi bulmak için, hangi sayıyı 30 ile çarparsak 120 eder diye düşünmeliyiz. Bunun için 120’yi 30’a böleriz.
a – b = 120 / 30
Sonuç:a – b = 4
5. Soru: Bir özdeşlikte a – b = 5 ve a2 + b2 = 85 olduğuna göre a . b’nin değerini bulunuz.
Burada “Tam Kare” özdeşliğini, yani farkın karesi formülünü kullanacağız.
(a – b)2 = a2 – 2ab + b2
Adım 1: Bildiğimiz değerleri formülde yerine yerleştirelim.
- (a – b) yerine 5 yazalım -> 52
- a2 + b2 yerine 85 yazalım (Formüldeki a2 ve b2 yan yana düşünülebilir).
52 = (a2 + b2) – 2ab
25 = 85 – 2ab
Adım 2: Şimdi 2ab’yi bulalım. 85’ten hangi sayıyı çıkarırsak 25 kalır?
2ab = 85 – 25
2ab = 60
Adım 3: 2 tane (a . b) 60 ediyorsa, 1 tanesini bulmak için 60’ı 2’ye böleriz.
Sonuç:a . b = 30
6. Soru: Dikdörtgensel bölge biçimindeki bir parkın eni 74 m, boyu 86 m’dir. Bu parkın alanını a2 – b2 özdeşliğinden yararlanarak bulunuz.
Normalde alan için 74 ile 86’yı çarparız. Ancak soru bizden özdeşlik kullanmamızı istiyor. Bunun için iki sayının tam ortasındaki sayıyı bulmalıyız.
Adım 1: 74 ve 86’nın ortalamasını bulalım.
(74 + 86) / 2 = 160 / 2 = 80
Adım 2: Şimdi kenar uzunluklarını 80’e göre yazalım.
- Boy: 86 = (80 + 6)
- En: 74 = (80 – 6)
Adım 3: Alan = (80 + 6) . (80 – 6) işlemi iki kare farkı özdeşliğine dönüşür.
Alan = 802 – 62
Adım 4: Kareleri hesaplayıp çıkarma işlemini yapalım.
802 = 6400
62 = 36
Alan = 6400 – 36
Sonuç:6364 m2
7. Soru: Karesel bölge biçiminde ve bir kenarının uzunluğu 96 m olan arsanın içinde bir kenarının uzunluğu 76 m olan karesel bölgeye konut yapılıyor. Geriye kalan alan ise bahçe olarak düzenleniyor. Bahçe için ayrılan kısmın alanını a2 – b2 özdeşliğinden yararlanarak bulunuz.
Bahçe alanı = (Büyük Karenin Alanı) – (Küçük Karenin Alanı) demektir.
Adım 1: Alanları üslü olarak yazalım.
Bahçe Alanı = 962 – 762
Adım 2: Bu ifade iki kare farkı özdeşliğidir: a2 – b2 = (a – b) . (a + b)
Bahçe Alanı = (96 – 76) . (96 + 76)
Adım 3: Parantez içindeki işlemleri yapalım.
- 96 – 76 = 20
- 96 + 76 = 172
Adım 4: Şimdi çarpma işlemini yapalım: 20 . 172
172 ile 2’yi çarpıp sonuna 0 ekleyebiliriz.
172 . 2 = 344
Sonuç:3440 m2
8. Soru: Bir özdeşlikte, a + b = 22 ve 2ab = 210 olduğuna göre (a2 + b2)’nin değerini bulunuz.
Burada “Tam Kare Toplamı” özdeşliğini kullanacağız.
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
Adım 1: Verilenleri formülde yerine yazalım.
- (a + b) yerine 22 yazalım -> 222
- 2ab yerine 210 yazalım.
222 = (a2 + b2) + 210
Adım 2: 22’nin karesini hesaplayalım. (22 . 22)
22 . 22 = 484
Adım 3: Denklemi çözelim.
484 = (a2 + b2) + 210
a2 + b2 değerini bulmak için 484’ten 210’u çıkarırız.
484 – 210 = 274
Sonuç:a2 + b2 = 274
9. Soru: (Ax – 5)2 = 64x2 – Bx + 25 eşitliği bir özdeşliktir. Buna göre A ve B yerine gelecek sayıları bulunuz.
Eşitliğin sol tarafındaki ifadenin karesini alıp sağ tarafla karşılaştırmalıyız.
Adım 1: (Ax – 5)2 ifadesini açalım. (Birincinin karesi – Birinci ile ikincinin çarpımının iki katı + İkincinin karesi)
(Ax)2 – 2 . (Ax) . 5 + 52
A2x2 – 10Ax + 25
Adım 2: Bulduğumuz ifadeyi sorudaki eşitlikle karşılaştıralım.
Bulduğumuz: A2x2 – 10Ax + 25
Sorudaki: 64x2 – Bx + 25
Adım 3: Terimleri eşleştirelim.
- x2‘li terimler: A2 = 64 ise, hangi sayının karesi 64’tür? A = 8
- x’li terimler: 10A = B (İşaretler ikisinde de eksi olduğu için direkt sayıları eşitleriz).
Adım 4: A’yı 8 bulmuştuk, yerine yazarak B’yi bulalım.
B = 10 . 8
B = 80
Sonuç:A = 8, B = 80
10. Soru: Bir havuzun dikdörtgen biçimindeki tabanının alanı 144 m2, bu tabanın kısa ve uzun kenarlarının uzunluklarının kareleri toplamı 337 m2dir. Bu havuzun tabanının çevresinin uzunluğu kaç metredir?
Havuzun kenarlarına a ve b diyelim.
- Alan = a . b = 144
- Kareleri toplamı = a2 + b2 = 337
- Bizden istenen Çevre = 2 . (a + b)
Adım 1: Çevreyi bulmak için önce (a + b)’yi bulmalıyız. Tam kare özdeşliğini kullanalım.
(a + b)2 = a2 + b2 + 2ab
Adım 2: Bildiklerimizi yerine yazalım.
(a + b)2 = 337 + 2 . (144)
(a + b)2 = 337 + 288
(a + b)2 = 625
Adım 3: Hangi sayının karesi 625 eder? 25’in karesidir.
a + b = 25
Adım 4: Çevre formülünde yerine yazalım.
Çevre = 2 . (a + b)
Çevre = 2 . 25
Sonuç:50 metredir.
11. Soru: Bir salonun dikdörtgen biçimindeki tabanının boy ve en uzunluklarının farkı 1 m’dir. Bu salonun boyunun ve eninin karelerinin farkı 11 m2 olduğuna göre salonun en ve boy uzunluklarını bulunuz.
Kenarlara x (uzun kenar) ve y (kısa kenar) diyelim.
- Kenarların farkı: x – y = 1
- Karelerin farkı: x2 – y2 = 11
Adım 1: İki kare farkı özdeşliğini açalım.
x2 – y2 = (x – y) . (x + y)
Adım 2: Bildiğimiz sayıları yerine koyalım.
11 = 1 . (x + y)
Buradan anlıyoruz ki, x + y = 11 olmalıdır.
Adım 3: Şimdi elimizde iki bilgi var:
- Farkları 1 (x – y = 1)
- Toplamları 11 (x + y = 11)
Hangi iki sayıyı toplarsak 11, çıkarırsak 1 yapar?
Bunu bulmak için taraf tarafa toplama yapabiliriz:
x + y = 11
x – y = 1
Toplarsak: 2x = 12 olur. Buradan x = 6 (Boy)
Toplamları 11 olduğu için; 6 + y = 11 ise y = 5 (En)
Sonuç:Boyu 6 metre, Eni 5 metredir.