Merhaba sevgili öğrencim. Seninle birlikte bu sayfadaki matematik sorularını adım adım inceleyelim ve çözelim. Konularımız çarpanlara ayırma, cebirsel ifadeler ve olasılık. Hazırsan başlayalım!
20. Soru: 5x2 – 5y2 ifadesinin çarpanlarına ayrılmış biçimi aşağıdakilerden hangisidir?
Çözüm:
Bu soruyu çözmek için önce “ortak çarpan parantezine alma” yöntemini, sonra da “iki kare farkı” özdeşliğini kullanacağız.
Adım 1: İfadeye baktığımızda her iki terimde de 5 sayısının ortak olduğunu görüyoruz. Bu yüzden ifadeyi 5 parantezine alalım.
5x2 – 5y2 = 5 . (x2 – y2)
Adım 2: Parantezin içindeki (x2 – y2) ifadesi, matematikte çok sık kullandğimiz “İki Kare Farkı” özdeşliğidir. Bunu şu şekilde açarız: Birinci terim ile ikinci terimi bir çıkarırız, bir de toplarız ve çarparız.
(x2 – y2) = (x – y) . (x + y)
Adım 3: Şimdi bulduğumuz bu açılımı 1. adımda bulduğumuz 5 çarpanının yanına yazalım.
Sonuç: 5 . (x – y) . (x + y)
Seçeneklere bakalım:
- A. 5 . (x – y)2
- B. 5 . (x + y)2
- C. 5x . (x – y) . (x + y)
- D. 5 . (x – y) . (x + y)
Doğru Cevap: D seçeneğidir.
21. Soru: 36x2 – 24xy + B ifadesinin tam kare bir ifade olabilmesi için B yerine aşağıdakilerden hangisi yazılmalıdır?
Çözüm:
Tam kare ifadeler (a – b)2 = a2 – 2ab + b2 kuralına göre açılır. Bizim ifademiz buna benziyor.
Adım 1: İlk terime bakalım: 36x2. Bu neyin karesidir?
(6x) . (6x) = 36x2 olduğu için birinci terimimiz 6x‘tir.
Adım 2: Ortadaki terime bakalım: – 24xy.
Kurala göre ortadaki terim; birinci sayı ile ikinci sayının çarpımının 2 katıdır (ve işareti eksidir).
Yani: – 2 . (Birinci Sayı) . (İkinci Sayı) = – 24xy
– 2 . (6x) . (İkinci Sayı) = – 24xy
– 12x . (İkinci Sayı) = – 24xy
Adım 3: İkinci sayıyı bulmak için düşünelim: –12x’i ne ile çarparsak –24xy olur?
Cevap 2y‘dir. Demek ki ikinci sayımız 2y imiş.
Adım 4: Bizden B harfi ile gösterilen üçüncü terimi istiyor. Kuralımıza göre üçüncü terim, bulduğumuz ikinci sayının karesidir (+ b2).
B = (2y)2
B = 2y . 2y
B = 4y2
Seçeneklere bakalım:
- A. y
- B. 4y2
- C. y2
- D. 2y2
Doğru Cevap: B seçeneğidir.
22. Soru: Karelerin kenar uzunlukları birer tam sayı olmak üzere bir kenar uzunluğu (x + 4) birim olan karenin içinden bir kenar uzunluğu x birim olan bir kare kesilerek çıkarılacaktır. Kalan bölge, alanları eşit parçalara ayrılacak ve alanlar birimkare cinsinden tam sayı olacaktır. Kalan bölge aşağıdakilerden hangisi kadar eş parçaya ayrılabilir?
Çözüm:
Bu soruda büyük karenin alanından küçük karenin alanını çıkarıp kalan alanı bulacağız.
Adım 1: Büyük karenin alanı = (x + 4)2
Küçük karenin alanı = x2
Adım 2: Kalan Alan = (x + 4)2 – x2
Burada yine “İki Kare Farkı” özdeşliğini kullanabiliriz ya da tam kareyi açabiliriz. Açarak yapalım daha net görelim:
(x + 4)2 = x2 + 8x + 16
Şimdi çıkarma işlemini yapalım:
(x2 + 8x + 16) – x2 = 8x + 16
Adım 3: Kalan alan 8x + 16 birimkaredir. Bunu ortak çarpan parantezine alalım. Her iki sayıda da 8 çarpanı var.
Alan = 8 . (x + 2)
Adım 4: Soru bizden bu alanı eş parçalara ayırmamızı istiyor ve parça sayısını soruyor. Bulduğumuz alan formülü 8 . (x + 2) şeklindedir. Bu demek oluyor ki, toplam alan 8’in bir katıdır.
Bir sayı 8’in katıysa, o sayıyı 8 eş parçaya bölebiliriz ve sonuç (x+2) gibi bir tam sayı çıkar.
Şıklara baktığımızda bu alanın kesinlikle bölünebileceği sayı, formülün içindeki çarpan olan 8’dir.
Seçenekler:
- A. 6
- B. 8
- C. 10
- D. 12
Doğru Cevap: B seçeneğidir.
B. Aşağıdaki ifadelerden doğru olanların önüne “D”, yanlış olanların önüne “Y” harfi yazınız.
1. Soru: Bir halk oyunları grubu 4 kız ve 4 erkekten oluşmaktadır. Bu gruptan biri halay başı seçilecektir. Bu kişinin kız veya erkek olma olasılıkları eşittir.
Çözüm: Grupta toplam 8 kişi var. Kız olma olasılığı 4/8 yani 1/2’dir (Yarım). Erkek olma olasılığı da 4/8 yani 1/2’dir (Yarım). İkisi de eşittir.
Cevap: ( D )
2. Soru: Eşit şansa sahip olaylardan her bir çıktının olasılığı eşit olmayabilir.
Çözüm: Bu ifade yanlıştır. Eğer olaylar “eşit şansa sahip” ise, tanım gereği her birinin gerçekleşme olasılığı matematiksel olarak birbirine eşittir.
Cevap: ( Y )
3. Soru: Olasılık, bir olayın gerçekleşme şansına (olabilirliğine) ilişkin bir ölçümdür.
Çözüm: Evet, bu olasılığın tanımıdır.
Cevap: ( D )
4. Soru: Bir torbada 5’i kırmızı, 7’si mavi, 3’ü sarı renkli bilye vardır. Bu torbadan rastgele çekilen bir bilyenin sarı renkli olması olasılığı en fazladır.
Çözüm: En fazla sayıdaki bilye mavi (7 tane), en az sayıdaki bilye sarıdır (3 tane). Rastgele çekilen bilyenin en çok sayıdaki renk olma ihtimali daha yüksektir. Yani mavi olma olasılığı en fazladır, sarı değil.
Cevap: ( Y )
5. Soru: Bir olayın olma olasılığı ile olmama olasılığının toplamı 1’e eşittir.
Çözüm: Bu temel bir olasılık kuralıdır. Kesin olay 1’dir. Bir şey ya olur ya da olmaz, ikisinin toplamı bütünü (1’i) verir.
Cevap: ( D )
C. Aşağıdaki işlemleri sonuçları ile eşleştiriniz.
Burada cebirsel ifadelerde çarpma (dağılma özelliği) yapacağız.
İşlem 1: 3 . (–2x + 5)
3 sayısını parantezin içine dağıtalım:
- 3 ile –2x’i çarpalım: –6x
- 3 ile +5’i çarpalım: +15
Sonuç: –6x + 15 (Sağdaki 2. kutu ile eşleşir)
İşlem 2: 6x . (3x – 1)
6x’i parantezin içine dağıtalım:
- 6x ile 3x’i çarpalım: 18x2
- 6x ile –1’i çarpalım: –6x
Sonuç: 18x2 – 6x (Sağdaki 4. kutu ile eşleşir)
İşlem 3: (2x – 1) . (5 – x)
Burada her terimi tek tek çarpacağız:
Adım 1: 2x ile 5’i çarp: 10x
Adım 2: 2x ile –x’i çarp: –2x2
Adım 3: –1 ile 5’i çarp: –5
Adım 4: –1 ile –x’i çarp: +x
Şimdi hepsini yan yana yazıp düzenleyelim:
10x – 2x2 – 5 + x
Benzer terimleri (10x ve x) toplayalım ve derece sırasına göre yazalım:
–2x2 + 11x – 5
Sonuç: –2x2 + 11x – 5 (Sağdaki 3. kutu ile eşleşir)
Not: Sağdaki ilk kutu olan “– 6x – 15” ifadesi açıkta kalmıştır.