Harika bir çalışma! Merhaba sevgili öğrencilerim, ben 8. sınıf matematik öğretmeniniz. Şimdi bana gönderdiğiniz bu görseldeki alıştırmaları hep birlikte, adım adım çözeceğiz. Kareköklü sayılarla işlemler konusunu pekiştirmek için harika sorular var burada. Hazırsanız başlayalım!
Soru 1:Aşağıdaki kalemlerin uzunlukları altlarına yazılmıştır. Bu kalemlerin uzunluklarının toplamını ve farkını bulunuz.
Merhaba çocuklar, ilk sorumuz oldukça basit bir toplama ve çıkarma işlemi. Unutmayın, kareköklü sayılarla toplama ve çıkarma yapabilmemiz için kök içindeki sayıların aynı olması gerekiyor. Tıpkı elmalarla armutları toplayamadığımız gibi, farklı kökleri de toplayamayız. Neyse ki bu soruda köklerimiz aynı!
Adım 1: Kalemlerin uzunluklarını belirleyelim.
- Kırmızı kalem: 8√2 cm
- Yeşil kalem: 5√2 cm
Adım 2: Uzunlukların toplamını bulalım.
Kök içleri aynı (√2) olduğu için katsayıları (8 ve 5) toplayabiliriz.
8√2 + 5√2 = (8 + 5)√2 = 13√2 cm
Adım 3: Uzunlukların farkını bulalım.
Yine kök içleri aynı olduğu için katsayıları (8 ve 5) birbirinden çıkaracağız.
8√2 – 5√2 = (8 – 5)√2 = 3√2 cm
Sonuç:
Kalemlerin uzunlukları toplamı 13√2 cm, farkı ise 3√2 cm‘dir.
Soru 2:Yandaki kare ve dikdörtgenin, verilen kenar uzunluklarından yararlanarak çevrelerinin uzunluklarını hesaplayınız. Kare ile dikdörtgenin çevre uzunluklarının toplamını ve farkını bulunuz.
Bu soruda geometri bilgilerimizi kareköklü sayılarla birleştireceğiz. Önce şekillerin çevrelerini ayrı ayrı bulup, sonra bu çevreleri toplayıp çıkaracağız.
Adım 1: Karenin çevresini hesaplayalım.
Karenin bir kenarı 10√5 cm olarak verilmiş. Karenin dört kenarı da eşit olduğu için çevresini bulmak için bir kenar uzunluğunu 4 ile çarparız.
Karenin Çevresi = 4 x (10√5) = 40√5 cm
Adım 2: Dikdörtgenin kenar uzunluklarını sadeleştirelim.
Dikdörtgenin kenarları √320 cm ve √180 cm. İşlem yapabilmek için bu sayıları a√b şeklinde yazmalıyız.
- √320 = √(64 x 5) = 8√5 cm
- √180 = √(36 x 5) = 6√5 cm
Adım 3: Dikdörtgenin çevresini hesaplayalım.
Dikdörtgenin çevresi, iki kısa kenar ile iki uzun kenarın toplamıdır. Formülümüz: 2 x (kısa kenar + uzun kenar)
Dikdörtgenin Çevresi = 2 x (6√5 + 8√5) = 2 x (14√5) = 28√5 cm
Adım 4: Çevrelerin toplamını ve farkını bulalım.
- Çevreler Toplamı = 40√5 + 28√5 = 68√5 cm
- Çevreler Farkı = 40√5 – 28√5 = 12√5 cm
Sonuç:
Karenin çevresi 40√5 cm, dikdörtgenin çevresi 28√5 cm‘dir. Çevrelerinin toplamı 68√5 cm, farkı ise 12√5 cm‘dir.
Soru 3:Yandaki üçgenin çevresinin uzunluğu 17√3 cm, |AC| = b = √108 cm ve |BC| = a = 7√3 cm’dir. Bu üçgenin |AB| = c kenarının uzunluğunu hesaplayınız.
Bir üçgenin çevresi, üç kenarının uzunlukları toplamıdır. Bu soruda bize çevreyi ve iki kenarı vermiş, üçüncü kenarı soruyor. Yapmamız gereken, verilen iki kenarı toplayıp toplam çevreden çıkarmak.
Adım 1: Verilen kenar uzunluklarını sadeleştirelim.
a = 7√3 cm (Bu zaten sade halde)
b = √108 cm. Bunu a√b şeklinde yazalım: √108 = √(36 x 3) = 6√3 cm
Adım 2: Bilinen iki kenarın uzunluklarını toplayalım.
a + b = 7√3 + 6√3 = 13√3 cm
Adım 3: Üçüncü kenarı (c) bulalım.
c = (Toplam Çevre) – (İki Kenarın Toplamı)
c = 17√3 – 13√3 = 4√3 cm
Sonuç:
Üçgenin |AB| = c kenarının uzunluğu 4√3 cm‘dir.
Soru 4:Yandaki ecza dolabının ön yüzünün boyu 3√180 cm ve eni 3√80 cm’dir. Bu ecza dolabının ön yüzündeki uzun kenarların uzunlukları toplamı ile kısa kenarların uzunlukları toplamının farkını bulunuz.
Bu soruda önce dolabın kenar uzunluklarını sadeleştirmeli, hangisinin uzun hangisinin kısa kenar olduğunu bulmalıyız. Sonra da soruda istenen işlemi yapmalıyız.
Adım 1: Kenar uzunluklarını a√b şeklinde yazalım.
- Boy: 3√180 = 3 x √(36 x 5) = 3 x 6√5 = 18√5 cm
- En: 3√80 = 3 x √(16 x 5) = 3 x 4√5 = 12√5 cm
Adım 2: Uzun ve kısa kenarları belirleyelim.
18√5, 12√5’ten daha büyük olduğu için;
- Uzun kenar = 18√5 cm
- Kısa kenar = 12√5 cm
Adım 3: İstenen farkı bulalım.
Soru bizden “(2 x Uzun Kenar) – (2 x Kısa Kenar)” işlemini istiyor.
- Uzun kenarların toplamı: 2 x 18√5 = 36√5 cm
- Kısa kenarların toplamı: 2 x 12√5 = 24√5 cm
Fark = 36√5 – 24√5 = 12√5 cm
Sonuç:
Uzun kenarların toplamı ile kısa kenarların toplamı arasındaki fark 12√5 cm‘dir.
Soru 5:Aşağıdaki işlemleri yapınız.
Şimdi de bol bol kareköklü sayılarla alıştırma yapma zamanı! Unutmayın, kök içleri aynıysa katsayılarla işlem yaparız, değilse önce kökleri a√b şeklinde yazarak eşitlemeye çalışırız.
a) √15 + 2√15 = 1√15 + 2√15 = (1+2)√15 = 3√15
b) 7√3 – √3 = 7√3 – 1√3 = (7-1)√3 = 6√3
c) 6√10 – 4√10 + √10 = (6 – 4 + 1)√10 = 3√10
ç) √108 – √48 + √192
- √108 = √(36×3) = 6√3
- √48 = √(16×3) = 4√3
- √192 = √(64×3) = 8√3
- İşlem: 6√3 – 4√3 + 8√3 = (6 – 4 + 8)√3 = 10√3
d) √80 + √45 – 10√5
- √80 = √(16×5) = 4√5
- √45 = √(9×5) = 3√5
- İşlem: 4√5 + 3√5 – 10√5 = (4 + 3 – 10)√5 = -3√5
e) √(3/4 – 1/9)
Önce kök içindeki kesirleri çıkarmalıyız. Paydaları 36’da eşitleyelim.
√(27/36 – 4/36) = √(23/36) = √23 / √36 = √23 / 6
f) (1/2)√128 + (2/3)√72
- √128 = √(64×2) = 8√2
- √72 = √(36×2) = 6√2
- İşlem: (1/2) x 8√2 + (2/3) x 6√2 = 4√2 + 4√2 = 8√2
g) (4/5)√75 – (3/8)√12
- √75 = √(25×3) = 5√3
- √12 = √(4×3) = 2√3
- İşlem: (4/5) x 5√3 – (3/8) x 2√3 = 4√3 – (6/8)√3 = 4√3 – (3/4)√3
- Payda eşitleyelim: (16/4)√3 – (3/4)√3 = (13/4)√3
ğ) 4√7 + √28 – √63
- √28 = √(4×7) = 2√7
- √63 = √(9×7) = 3√7
- İşlem: 4√7 + 2√7 – 3√7 = (4 + 2 – 3)√7 = 3√7
Soru 6:Aşağıdaki eşitliklerde ■ yerine yazılması gereken sayıları bulunuz.
Son sorumuzda ise küçük birer denklem çözeceğiz. Verilmeyeni bulmak için basit işlemler yapacağız.
a) ■ + 5√7 = 12√7
Kutuyu bulmak için 12√7’den 5√7’yi çıkarmamız yeterli.
■ = 12√7 – 5√7 = 7√7
b) √128 – ■ = √50
Önce kökleri sadeleştirelim.
√128 = 8√2 ve √50 = 5√2
Denklemimiz: 8√2 – ■ = 5√2 oldu. Kutuyu bulmak için 8√2’den 5√2’yi çıkarırız.
■ = 8√2 – 5√2 = 3√2
c) √44 + ■ = √99
Yine kökleri sadeleştirelim.
√44 = √(4×11) = 2√11 ve √99 = √(9×11) = 3√11
Denklemimiz: 2√11 + ■ = 3√11 oldu. Kutuyu bulmak için 3√11’den 2√11’i çıkarırız.
■ = 3√11 – 2√11 = 1√11 = √11
Umarım tüm çözümler anlaşılır olmuştur. Kareköklü sayılarla işlem yapmak pratik gerektirir, bu yüzden bol bol soru çözmeyi unutmayın. Anlamadığınız bir yer olursa çekinmeden sorun. Hepinize iyi çalışmalar dilerim!