Merhaba sevgili 8. sınıf öğrencileri! Bugün birlikte matematik dersimizdeki “Çarpanlar ve Katlar” ünitesine ait alıştırmaları çözeceğiz. Konuları iyice pekiştirmek için bu soruları dikkatle inceleyelim ve adım adım çözelim. Hazırsanız başlayalım!
1. Aşağıdaki tam sayıların en büyük ortak bölenlerini (EBOB) bulunuz.
Bu soruda bizden verilen sayıların en büyük ortak bölenini bulmamız isteniyor. En büyük ortak bölen, iki veya daha fazla sayının ortak bölenlerinin en büyüğüdür.
Seçeneklere baktığımızda, sayılar asal çarpanlarının çarpımı şeklinde verilmiş. Bu durumda EBOB’u bulmak için her iki sayının asal çarpanlarına bakmamız gerekiyor. Ortak olan asal çarpanlardan, üssü küçük olanları alıp çarptığımızda EBOB’u bulmuş oluruz.
a) $2 cdot 5$ ve $2 cdot 11$:
Ortak asal çarpan sadece 2’dir. Her ikisinde de 2’nin üssü 1.
EBOB = $2^1 = 2$
b) $2^3 cdot 3$ ve $2^2 cdot 5$:
Ortak asal çarpan sadece 2’dir. 2’nin üssü birinci sayıda 3, ikinci sayıda 2. Üssü küçük olanı alırız, yani $2^2$.
EBOB = $2^2 = 4$
c) $2^4 cdot 3^5$ ve $2^2 cdot 3^2$:
Ortak asal çarpanlar 2 ve 3’tür.
2’nin üsleri 4 ve 2. Küçük olan 2’dir. Yani $2^2$.
3’ün üsleri 5 ve 2. Küçük olan 2’dir. Yani $3^2$.
EBOB = $2^2 cdot 3^2 = 4 cdot 9 = 36$
d) $3^2 cdot 11^2$ ve $2^4 cdot 5^2 cdot 11$:
Ortak asal çarpan sadece 11’dir.
11’in üsleri 2 ve 1. Küçük olan 1’dir. Yani $11^1$.
EBOB = $11^1 = 11$
e) $2^3 cdot 5^2$ ve $2^2 cdot 7^2 cdot 5^3$:
Ortak asal çarpanlar 2 ve 5’tir.
2’nin üsleri 3 ve 2. Küçük olan 2’dir. Yani $2^2$.
5’in üsleri 2 ve 3. Küçük olan 2’dir. Yani $5^2$.
EBOB = $2^2 cdot 5^2 = 4 cdot 25 = 100$
2. Aşağıdaki asal çarpanlarının çarpımı şeklinde verilen tam sayıların en küçük ortak katlarını (EKOK) bulunuz.
Bu soruda ise bizden verilen sayıların en küçük ortak katını bulmamız isteniyor. En küçük ortak kat, iki veya daha fazla sayının ortak katlarının en küçüğüdür.
EKOK’u bulmak için de yine asal çarpanlara bakacağız. Bu sefer, sayılarda bulunan tüm asal çarpanları alacağız. Eğer bir asal çarpan her iki sayıda da varsa, üssü büyük olanı alacağız. Eğer bir asal çarpan sadece bir sayıda varsa, onu da olduğu gibi alacağız.
a) $2 cdot 3^2$ ve $3 cdot 5$:
Ortak asal çarpan 3’tür.
2’nin üssü birinci sayıda 1, ikinci sayıda yok (yani 0). Büyük olan 1’dir. Yani $2^1$.
3’ün üsleri 2 ve 1. Büyük olan 2’dir. Yani $3^2$.
5’in üssü birinci sayıda yok (yani 0), ikinci sayıda 1. Büyük olan 1’dir. Yani $5^1$.
EKOK = $2^1 cdot 3^2 cdot 5^1 = 2 cdot 9 cdot 5 = 90$
b) $3 cdot 5^2$ ve $3^2 cdot 5 cdot 7^2$:
Ortak asal çarpanlar 3 ve 5’tir.
3’ün üsleri 1 ve 2. Büyük olan 2’dir. Yani $3^2$.
5’in üsleri 2 ve 1. Büyük olan 2’dir. Yani $5^2$.
7’nin üssü birinci sayıda yok (yani 0), ikinci sayıda 2. Büyük olan 2’dir. Yani $7^2$.
EKOK = $3^2 cdot 5^2 cdot 7^2 = 9 cdot 25 cdot 49 = 225 cdot 49 = 11025$
c) $2^6 cdot 7$ ve $2^7$:
Ortak asal çarpan 2’dir.
2’nin üsleri 6 ve 7. Büyük olan 7’dir. Yani $2^7$.
7’nin üssü birinci sayıda 1, ikinci sayıda yok (yani 0). Büyük olan 1’dir. Yani $7^1$.
EKOK = $2^7 cdot 7^1 = 128 cdot 7 = 896$
d) $2^5 cdot 3^4 cdot 17^2$ ve $2^3 cdot 3 cdot 17$:
Ortak asal çarpanlar 2, 3 ve 17’dir.
2’nin üsleri 5 ve 3. Büyük olan 5’tir. Yani $2^5$.
3’ün üsleri 4 ve 1. Büyük olan 4’tür. Yani $3^4$.
17’nin üsleri 2 ve 1. Büyük olan 2’dir. Yani $17^2$.
EKOK = $2^5 cdot 3^4 cdot 17^2 = 32 cdot 81 cdot 289 = 746496$
e) $2^2 cdot 3^2 cdot 13$ ve $2^4 cdot 3^3$:
Ortak asal çarpanlar 2 ve 3’tür.
2’nin üsleri 2 ve 4. Büyük olan 4’tür. Yani $2^4$.
3’ün üsleri 2 ve 3. Büyük olan 3’tür. Yani $3^3$.
13’ün üssü birinci sayıda 1, ikinci sayıda yok (yani 0). Büyük olan 1’dir. Yani $13^1$.
EKOK = $2^4 cdot 3^3 cdot 13^1 = 16 cdot 27 cdot 13 = 5616$
3. Aşağıdaki sayıların EBOB ve EKOK’larını bulunuz.
Bu soruda bizden direkt sayıların EBOB ve EKOK’unu bulmamız isteniyor. Bu sefer sayıları önce asal çarpanlarına ayıracağız, sonra yukarıdaki mantığı kullanarak EBOB ve EKOK’u hesaplayacağız.
a) 12, 15
Adım 1: Sayıları asal çarpanlarına ayıralım.
$12 = 2^2 cdot 3$
$15 = 3 cdot 5$
Adım 2: EBOB’u bulalım. Ortak asal çarpanlar sadece 3’tür. Üssü küçük olanı alırız: $3^1$.
EBOB(12, 15) = 3
Adım 3: EKOK’u bulalım. Sayılardaki tüm asal çarpanları (2, 3, 5) alırız. Üssü büyük olanları seçeriz.
2’nin üssü 2.
3’ün üssü 1.
5’in üssü 1.
EKOK(12, 15) = $2^2 cdot 3 cdot 5 = 4 cdot 3 cdot 5 = 60$
b) 8, 10
Adım 1: Sayıları asal çarpanlarına ayıralım.
$8 = 2^3$
$10 = 2 cdot 5$
Adım 2: EBOB’u bulalım. Ortak asal çarpan sadece 2’dir. Üssü küçük olanı alırız: $2^1$.
EBOB(8, 10) = 2
Adım 3: EKOK’u bulalım. Sayılardaki tüm asal çarpanları (2, 5) alırız. Üssü büyük olanları seçeriz.
2’nin üssü 3.
5’in üssü 1.
EKOK(8, 10) = $2^3 cdot 5 = 8 cdot 5 = 40$
c) 12, 24
Adım 1: Sayıları asal çarpanlarına ayıralım.
$12 = 2^2 cdot 3$
$24 = 2^3 cdot 3$
Adım 2: EBOB’u bulalım. Ortak asal çarpanlar 2 ve 3’tür. Üssü küçük olanları alırız.
2’nin üsleri 2 ve 3. Küçük olan 2’dir: $2^2$.
3’ün üsleri 1 ve 1. Küçük olan 1’dir: $3^1$.
EBOB(12, 24) = $2^2 cdot 3 = 4 cdot 3 = 12$
Adım 3: EKOK’u bulalım. Sayılardaki tüm asal çarpanları (2, 3) alırız. Üssü büyük olanları seçeriz.
2’nin üsleri 2 ve 3. Büyük olan 3’tür: $2^3$.
3’ün üsleri 1 ve 1. Büyük olan 1’dir: $3^1$.
EKOK(12, 24) = $2^3 cdot 3 = 8 cdot 3 = 24$
d) 16, 40
Adım 1: Sayıları asal çarpanlarına ayıralım.
$16 = 2^4$
$40 = 2^3 cdot 5$
Adım 2: EBOB’u bulalım. Ortak asal çarpan sadece 2’dir. Üssü küçük olanı alırız: $2^3$.
EBOB(16, 40) = $2^3 = 8$
Adım 3: EKOK’u bulalım. Sayılardaki tüm asal çarpanları (2, 5) alırız. Üssü büyük olanları seçeriz.
2’nin üsleri 4 ve 3. Büyük olan 4’tür: $2^4$.
5’in üssü 1.
EKOK(16, 40) = $2^4 cdot 5 = 16 cdot 5 = 80$
e) 175, 120
Adım 1: Sayıları asal çarpanlarına ayıralım.
$175 = 5^2 cdot 7$
$120 = 2^3 cdot 3 cdot 5$
Adım 2: EBOB’u bulalım. Ortak asal çarpan sadece 5’tir. Üssü küçük olanı alırız: $5^1$.
EBOB(175, 120) = 5
Adım 3: EKOK’u bulalım. Sayılardaki tüm asal çarpanları (2, 3, 5, 7) alırız. Üssü büyük olanları seçeriz.
2’nin üssü 3.
3’ün üssü 1.
5’in üsleri 2 ve 1. Büyük olan 2’dir: $5^2$.
7’nin üssü 1.
EKOK(175, 120) = $2^3 cdot 3 cdot 5^2 cdot 7 = 8 cdot 3 cdot 25 cdot 7 = 4200$
f) 12, 132
Adım 1: Sayıları asal çarpanlarına ayıralım.
$12 = 2^2 cdot 3$
$132 = 2^2 cdot 3 cdot 11$
Adım 2: EBOB’u bulalım. Ortak asal çarpanlar 2 ve 3’tür. Üssü küçük olanları alırız.
2’nin üsleri 2 ve 2. Küçük olan 2’dir: $2^2$.
3’ün üsleri 1 ve 1. Küçük olan 1’dir: $3^1$.
EBOB(12, 132) = $2^2 cdot 3 = 4 cdot 3 = 12$
Adım 3: EKOK’u bulalım. Sayılardaki tüm asal çarpanları (2, 3, 11) alırız. Üssü büyük olanları seçeriz.
2’nin üsleri 2 ve 2. Büyük olan 2’dir: $2^2$.
3’ün üsleri 1 ve 1. Büyük olan 1’dir: $3^1$.
11’in üssü 1.
EKOK(12, 132) = $2^2 cdot 3 cdot 11 = 4 cdot 3 cdot 11 = 132$
g) 21, 111
Adım 1: Sayıları asal çarpanlarına ayıralım.
$21 = 3 cdot 7$
$111 = 3 cdot 37$ (37 asal sayıdır)
Adım 2: EBOB’u bulalım. Ortak asal çarpan sadece 3’tür. Üssü küçük olanı alırız: $3^1$.
EBOB(21, 111) = 3
Adım 3: EKOK’u bulalım. Sayılardaki tüm asal çarpanları (3, 7, 37) alırız. Üssü büyük olanları seçeriz.
3’ün üssü 1.
7’nin üssü 1.
37’nin üssü 1.
EKOK(21, 111) = $3 cdot 7 cdot 37 = 21 cdot 37 = 777$
ğ) 40, 50
Adım 1: Sayıları asal çarpanlarına ayıralım.
$40 = 2^3 cdot 5$
$50 = 2 cdot 5^2$
Adım 2: EBOB’u bulalım. Ortak asal çarpanlar 2 ve 5’tir. Üssü küçük olanları alırız.
2’nin üsleri 3 ve 1. Küçük olan 1’dir: $2^1$.
5’in üsleri 1 ve 2. Küçük olan 1’dir: $5^1$.
EBOB(40, 50) = $2 cdot 5 = 10$
Adım 3: EKOK’u bulalım. Sayılardaki tüm asal çarpanları (2, 5) alırız. Üssü büyük olanları seçeriz.
2’nin üsleri 3 ve 1. Büyük olan 3’tür: $2^3$.
5’in üsleri 1 ve 2. Büyük olan 2’dir: $5^2$.
EKOK(40, 50) = $2^3 cdot 5^2 = 8 cdot 25 = 200$
4. Aşağıdaki sayılardan aralarında asal olanları bulunuz.
İki sayının aralarında asal olması demek, bu iki sayının 1’den başka ortak böleninin olmaması demektir. Yani EBOB’larının 1 olması demektir.
a) 2, 11
2 asal sayıdır. 11 asal sayıdır.
EBOB(2, 11) = 1. Bu sayılar aralarında asaldır.
b) 240, 175
Adım 1: Sayıları asal çarpanlarına ayıralım.
$240 = 2^4 cdot 3 cdot 5$
$175 = 5^2 cdot 7$
Ortak asal çarpan 5’tir. EBOB(240, 175) = 5. Bu sayılar aralarında asal değildir.
c) 17, 111
Adım 1: Sayıları asal çarpanlarına ayıralım.
$17 = 17$ (asal sayıdır)
$111 = 3 cdot 37$
Ortak bölenleri yoktur. EBOB(17, 111) = 1. Bu sayılar aralarında asaldır.
d) 9, 25
Adım 1: Sayıları asal çarpanlarına ayıralım.
$9 = 3^2$
$25 = 5^2$
Ortak bölenleri yoktur. EBOB(9, 25) = 1. Bu sayılar aralarında asaldır.
e) 4, 22
Adım 1: Sayıları asal çarpanlarına ayıralım.
$4 = 2^2$
$22 = 2 cdot 11$
Ortak asal çarpan 2’dir. EBOB(4, 22) = 2. Bu sayılar aralarında asal değildir.
5. EKOK’ları 800 ve aralarında asal olan iki sayıdan biri 32 olduğuna göre diğer sayı kaçtır?
Bu soruda EKOK’u 800 olan iki sayı var ve bu sayılar aralarında asal. Aralarında asal demek EBOB’larının 1 olması demek.
Bir sayı 32 olarak verilmiş. Diğer sayıyı bulmamız gerekiyor.
Adım 1: Verilen sayıyı asal çarpanlarına ayıralım.
$32 = 2^5$
Adım 2: EKOK’un asal çarpanlarına ayıralım.
$800 = 8 cdot 100 = 2^3 cdot 10^2 = 2^3 cdot (2 cdot 5)^2 = 2^3 cdot 2^2 cdot 5^2 = 2^5 cdot 5^2$
Adım 3: Aralarında asal olan iki sayının EKOK’u, bu iki sayının çarpımına eşittir. Çünkü ortak bölenleri sadece 1’dir.
Yani, $sayı_1 cdot sayı_2 = EKOK(sayı_1, sayı_2)$
$32 cdot $ diğer sayı $= 800$
Adım 4: Diğer sayıyı bulmak için 800’ü 32’ye bölelim.
Diğer sayı $= frac{800}{32}$
İşlemi yapalım:
$800 div 32$
$begin{array}{r} 25 \ 32 overline{) 800} \ -64 downarrow \ hline 160 \ -160 \ hline 0 end{array}$
Diğer sayı = 25
Kontrol edelim:
Sayılar 32 ve 25.
$32 = 2^5$
$25 = 5^2$
Bu iki sayının EBOB’u 1’dir, yani aralarında asaldırlar.
Bu iki sayının EKOK’u ise $2^5 cdot 5^2 = 32 cdot 25 = 800$’dür.
Sonuç doğru.
6. İki bidondan birinde 36 kg yeşil, diğerinde 42 kg siyah zeytin vardır. Bu bidonlardaki zeytinler en büyük ve eşit hacimli kavanozlara hiç artmayacak şekilde doldurulacaktır. Buna göre;
Bu soruda, hem yeşil zeytinlerin hem de siyah zeytinlerin eşit ve en büyük hacimli kavanozlara konulması isteniyor. Bu durumda, kavanozların hacmi hem 36’nın hem de 42’nin ortak böleni olmalı ve en büyük olmalı. Yani bizden 36 ve 42’nin EBOB’unu bulmamız isteniyor.
a) Kullanılacak kavanozlar kaç kilogram zeytin almalıdır?
Adım 1: 36 ve 42’nin EBOB’unu bulalım.
Önce sayıları asal çarpanlarına ayıralım:
$36 = 2^2 cdot 3^2$
$42 = 2 cdot 3 cdot 7$
Adım 2: Ortak asal çarpanları bulalım: 2 ve 3.
Adım 3: Ortak asal çarpanlardan üssü küçük olanları alalım.
2’nin üsleri 2 ve 1. Küçük olan 1’dir: $2^1$.
3’ün üsleri 2 ve 1. Küçük olan 1’dir: $3^1$.
Adım 4: Bu ortak çarpanları çarpalım.
EBOB(36, 42) = $2^1 cdot 3^1 = 2 cdot 3 = 6$
Sonuç: Kullanılacak kavanozlar 6 kilogram zeytin almalıdır.
b) Bu iş için kaç tane kavanoz gereklidir?
Adım 1: Yeşil zeytinler için kaç kavanoz gerektiğini bulalım.
Yeşil zeytin miktarı: 36 kg
Kavanoz başına zeytin miktarı: 6 kg
Kavanoz sayısı = $frac{36}{6} = 6$ tane
Adım 2: Siyah zeytinler için kaç kavanoz gerektiğini bulalım.
Siyah zeytin miktarı: 42 kg
Kavanoz başına zeytin miktarı: 6 kg
Kavanoz sayısı = $frac{42}{6} = 7$ tane
Adım 3: Toplam kavanoz sayısını bulalım.
Toplam kavanoz sayısı = Yeşil zeytin kavanoz sayısı + Siyah zeytin kavanoz sayısı
Toplam kavanoz sayısı = $6 + 7 = 13$ tane
Sonuç: Bu iş için toplam 13 tane kavanoz gereklidir.
7. Bir kasada bulunan elmalar, altışar altışar ve sekizer sekizer sayıldığında artmamaktadır. Bu kasada en az kaç elma vardır?
Bu soruda, elma sayısının hem 6’ya hem de 8’e tam bölündüğü söyleniyor. Yani elma sayısı hem 6’nın hem de 8’in bir katı olmalı. Bize “en az” kaç elma olduğu sorulduğu için, 6 ve 8’in en küçük ortak katını (EKOK) bulmamız gerekiyor.
Adım 1: 6 ve 8’in EKOK’unu bulalım.
Önce sayıları asal çarpanlarına ayıralım:
$6 = 2 cdot 3$
$8 = 2^3$
Adım 2: Sayılardaki tüm asal çarpanları (2 ve 3) alırız.
Adım 3: Bu asal çarpanlardan üssü büyük olanları seçeriz.
2’nin üsleri 1 ve 3. Büyük olan 3’tür: $2^3$.
3’ün üssü 1.
EKOK(6, 8) = $2^3 cdot 3 = 8 cdot 3 = 24$
Sonuç: Bu kasada en az 24 elma vardır.
8. Uluslararası taşımacılık yapan iki gemiden biri 60, diğeri 72 günde aynı limana geri dönmektedirler. Bu limandan aynı günde hareket eden gemiler, en az kaç gün sonra yine birlikte hareket ederler?
Bu soruda, iki geminin de belirli günlerde limana geri döndüğü söyleniyor. Bize “en az” kaç gün sonra tekrar birlikte hareket edecekleri soruluyor. Bu, demek oluyor ki, gemilerin limana dönme sürelerinin ortak bir katı olmalı ve bu en küçük ortak kat olmalı. Yani 60 ve 72’nin EKOK’unu bulmamız gerekiyor.
Adım 1: 60 ve 72’nin EKOK’unu bulalım.
Önce sayıları asal çarpanlarına ayıralım:
$60 = 6 cdot 10 = (2 cdot 3) cdot (2 cdot 5) = 2^2 cdot 3 cdot 5$
$72 = 8 cdot 9 = 2^3 cdot 3^2$
Adım 2: Sayılardaki tüm asal çarpanları (2, 3, 5) alırız.
Adım 3: Bu asal çarpanlardan üssü büyük olanları seçeriz.
2’nin üsleri 2 ve 3. Büyük olan 3’tür: $2^3$.
3’ün üsleri 1 ve 2. Büyük olan 2’dir: $3^2$.
5’in üssü 1.
Adım 4: Bu asal çarpanları ve en büyük üslerini çarparak EKOK’u buluruz.
EKOK(60, 72) = $2^3 cdot 3^2 cdot 5 = 8 cdot 9 cdot 5 = 72 cdot 5 = 360$
Sonuç: Bu gemiler en az 360 gün sonra yine birlikte hareket ederler.
Umarım bu çözümler ve açıklamalar anlaşılır olmuştur. Matematik konularını öğrenirken bol bol pratik yapmak çok önemlidir. Aklınıza takılan yerler olursa tekrar sormaktan çekinmeyin! Başarılar dilerim!