Merhaba sevgili öğrencim! Ben senin Matematik öğretmeninim. Bugün seninle birlikte kareköklü ifadeler konusundaki bu güzel alıştırmaları adım adım çözeceğiz. Hazırsan arkana yaslan, kalemini kağıdını hazırla ve başlayalım. Unutma, matematikte en önemli şey adımları dikkatle takip etmektir.
1. Soru: Yandaki tablo dikdörtgensel bölge biçimindedir. Bu tablonun boyu 15√6 cm ve eni 9√2 cm’dir. Tablonun alanını hesaplayınız.
Çözüm:
Bu soruda bizden dikdörtgen şeklindeki bir tablonun alanını bulmamız isteniyor. Dikdörtgenin alan formülünü hatırlayalım: Alan = Kısa Kenar x Uzun Kenar (En x Boy).
- Adım 1: Verilen değerleri çarpma işlemi olarak yazalım.
Alan = 15√6 x 9√2 - Adım 2: Kareköklü sayılarda çarpma yaparken; katsayıları (kök dışındaki sayıları) kendi aralarında, kök içindeki sayıları ise kendi aralarında çarparız.
Katsayılar: 15 x 9 = 135
Kök içleri: √6 x √2 = √12
Şu anki sonuç: 135√12 - Adım 3: Bulduğumuz sonucu en sade hale getirmeliyiz. √12 sayısı kök dışına çıkabilir mi bakalım.
12 sayısı 4 x 3 demektir. 4 tam kare bir sayıdır ve dışarıya 2 olarak çıkar.
√12 = √(4×3) = 2√3 - Adım 4: Şimdi bu değeri yerine koyup son çarpma işlemini yapalım.
Alan = 135 x (2√3)
Alan = (135 x 2)√3
Alan = 270√3 cm²
Sonuç: Tablonun alanı 270√3 cm² dir.
2. Soru: Yandaki ABCD dörtgeni dikdörtgen, BEFG dörtgeni karedir. Verilen uzunluklardan yararlanarak boyalı bölgenin alanını hesaplayınız.
Çözüm:
Burada pembe ile boyalı bölge iki parçadan oluşuyor: Bir dikdörtgen (ABCD) ve bir kare (BEFG). Toplam alanı bulmak için bu iki şeklin alanını ayrı ayrı hesaplayıp toplamalıyız.
- Adım 1: Önce ABCD dikdörtgeninin alanını hesaplayalım.
Kısa kenar: 2√2 cm
Uzun kenar: 5√2 cm
Alan = 2√2 x 5√2
Alan = (2 x 5) x (√2 x √2)
Alan = 10 x √4
Alan = 10 x 2 = 20 cm² - Adım 2: Şimdi BEFG karesinin alanını hesaplayalım. Karenin bir kenarı 4√2 cm verilmiş. Karenin alanı iki kenarının çarpımıdır (veya bir kenarının karesidir).
Kenar: 4√2 cm
Alan = 4√2 x 4√2
Alan = (4 x 4) x (√2 x √2)
Alan = 16 x 2 = 32 cm² - Adım 3: Toplam boyalı alanı bulmak için iki sonucu toplayalım.
Toplam Alan = Dikdörtgenin Alanı + Karenin Alanı
Toplam Alan = 20 + 32
Toplam Alan = 52 cm²
Sonuç: Boyalı bölgenin alanı 52 cm² dir.
3. Soru: Yandaki paralelkenarın verilen uzunluklardan yararlanarak alanını hesaplayınız.
Çözüm:
Paralelkenarın alanı, bir taban uzunluğu ile o tabana ait yüksekliğin çarpımına eşittir. Formülümüz: Alan = Taban x Yükseklik.
- Adım 1: Verilenleri belirleyelim.
Taban (a) = √135 cm
Yükseklik (h) = 2√5 cm - Adım 2: İşlem kolaylığı olması için √135 sayısını sadeleştirelim (kök dışına çıkaralım).
135 sayısı 9 ile 15’in çarpımıdır (9 x 15). 9 tam karedir ve dışarı 3 olarak çıkar.
√135 = 3√15 cm - Adım 3: Şimdi alan formülünü uygulayalım.
Alan = 3√15 x 2√5
Katsayıları çarpalım: 3 x 2 = 6
Kökleri çarpalım: √15 x √5 = √75
Şu anki durum: 6√75 - Adım 4: √75 ifadesini de sadeleştirelim. 75 sayısı 25 x 3 demektir.
√75 = √(25×3) = 5√3
Şimdi bunu yerine koyalım:
Alan = 6 x 5√3
Alan = 30√3 cm²
Sonuç: Paralelkenarın alanı 30√3 cm² dir.
4. Soru: Bir mücevher kutusu küp biçiminde ve yüzey alanı 900 cm² dir. Bu küpün bir ayrıtının uzunluğunu a√b biçiminde bulunuz.
Çözüm:
Bir küpün 6 tane eş karesel yüzeyi vardır. Yüzey alanı demek, bu 6 karenin alanları toplamı demektir.
- Adım 1: Bir yüzeyin alanını bulalım.
Toplam Yüzey Alanı = 900 cm²
Bir Yüzeyin Alanı = 900 / 6 = 150 cm² - Adım 2: Küpün bir yüzeyi karedir. Karenin alanı “bir kenarın karesi” (a²) ile bulunur. Alanı 150 cm² olan bir karenin bir kenarını bulmak için 150’nin karekökünü almalıyız.
Bir ayrıt uzunluğu = √150 cm - Adım 3: Bizden sonucu a√b biçiminde istiyor, yani kök dışına çıkarmalıyız.
150 sayısını çarpanlarına ayıralım: 150 = 25 x 6
25 tam kare bir sayıdır ve dışarıya 5 olarak çıkar.
√150 = √(25×6) = 5√6
Sonuç: Küpün bir ayrıtının uzunluğu 5√6 cm dir.
5. Soru: Kare prizma biçimindeki zeytin tenekesinin yan yüzlerinin alanları toplamı 480√6 cm²dir. Bu tenekenin yüksekliği 12√3 cm olduğuna göre taban ayrıtlarından birinin uzunluğunu hesaplayınız.
Çözüm:
Kare prizmanın tabanı karedir ve yan yüzleri 4 adet eş dikdörtgenden oluşur. “Yan yüzlerinin alanları toplamı” dendiğinde bu 4 dikdörtgenin toplam alanından bahsediliyor.
- Adım 1: Önce bir tane yan yüzün (dikdörtgenin) alanını bulalım.
Toplam Yan Alan = 480√6
Bir Yan Yüz Alanı = 480√6 / 4 = 120√6 cm² - Adım 2: Bu yan yüz bir dikdörtgendir. Bir kenarı prizmanın yüksekliği, diğer kenarı ise taban ayrıtıdır.
Alan = Taban Ayrıtı x Yükseklik
120√6 = Taban Ayrıtı x 12√3 - Adım 3: Taban ayrıtını bulmak için alanı yüksekliğe bölmeliyiz.
Taban Ayrıtı = (120√6) / (12√3) - Adım 4: Bölme işlemini yapalım. Katsayıları katsayıya, kökleri köke bölelim.
Katsayılar: 120 / 12 = 10
Kökler: √6 / √3 = √2
Sonuç = 10√2
Sonuç: Tenekenin taban ayrıtlarından birinin uzunluğu 10√2 cm dir.