Merhaba sevgili 8. sınıf öğrencileri! Bugün sizinle birlikte matematik dersimizdeki alıştırmaları çözeceğiz. Üslü ifadeler konusunu ne kadar iyi öğrendiğimizi görelim. Hazırsanız başlayalım!
1. Aşağıdaki tekrarlı çarpımları verilen tam sayıları üslü ifade şeklinde yazınız.
a) 6 . 6 . 6 . 6
Çözüm:
Burada 6 sayısını kaç kere kendisiyle çarptığımızı sayıyoruz. 4 kere çarpmışız. O zaman bu tekrarlı çarpımı üslü ifade olarak 64 şeklinde yazarız.
Sonuç: 64
b) 3 . 3 . 3 . 3 . 3
Çözüm:
Bu sefer de 3 sayısını kendisiyle 5 kere çarpmışız. Bu da 35 demektir.
Sonuç: 35
c) 6 . 6 . 6 . 6 . 6 . 6
Çözüm:
Burada 6 sayısını 6 kere kendisiyle çarpmışız. Üslü ifade olarak 66 olur.
Sonuç: 66
d) 10 . 10 . 10 . 10 . 10
Çözüm:
10 sayısını kendisiyle 5 kere çarpmışız. Bu da 105 anlamına gelir.
Sonuç: 105
e) (-10) . (-10) . (-10) . (-10)
Çözüm:
Burada dikkat etmemiz gereken şey, çarpılan sayının negatif olması. Sayımız -10 ve kendisiyle 4 kere çarpılmış. O zaman bu ifadeyi (-10)4 şeklinde yazarız.
Sonuç: (-10)4
2. Aşağıdaki üslü sayıların değerlerini bulunuz.
a) 27
Çözüm:
Bu, 2 sayısını kendisiyle 7 kere çarpmak demektir. Hadi yapalım:
2 x 2 = 4
4 x 2 = 8
8 x 2 = 16
16 x 2 = 32
32 x 2 = 64
64 x 2 = 128
Sonuç: 128
b) (-2)5
Çözüm:
Burada -2 sayısını kendisiyle 5 kere çarpacağız. Sayı tek kuvvetle çarpıldığı için sonuç negatif olacaktır.
(-2) x (-2) = 4
4 x (-2) = -8
-8 x (-2) = 16
16 x (-2) = -32
Sonuç: -32
c) (-3)4
Çözüm:
Bu sefer -3 sayısını kendisiyle 4 kere çarpacağız. Sayı çift kuvvetle çarpıldığı için sonuç pozitif olacaktır.
(-3) x (-3) = 9
9 x (-3) = -27
-27 x (-3) = 81
Sonuç: 81
ç) 250
Çözüm:
Üslü sayılarda çok önemli bir kuralımız vardı: Sıfır hariç tabanı olan her sayının 0’ıncı kuvveti 1’e eşittir. Burada tabanımız 25 ve üssümüz 0. Bu yüzden sonuç 1 olacaktır.
Sonuç: 1
d) (-10)3
Çözüm:
-10 sayısını kendisiyle 3 kere çarpacağız. Tek kuvvet olduğu için sonuç negatif olacak.
(-10) x (-10) = 100
100 x (-10) = -1000
Sonuç: -1000
e) (-16)0
Çözüm:
Yine 0’ıncı kuvvet kuralını hatırlayalım. Tabanımız -16, üssümüz 0. Sonuç 1’dir.
Sonuç: 1
f) (-8)-3
Çözüm:
Bu soruda negatif üs var. Negatif üs demek, sayının paydasına yazılıp üssünün pozitif yapılması demektir. Yani:
(-8)-3 = 1 / (-8)3
Şimdi (-8)3‘ü hesaplayalım. -8’i kendisiyle 3 kere çarpacağız.
(-8) x (-8) = 64
64 x (-8) = -512
Yani 1 / (-512) olur.
Sonuç: 1 / (-512)
g) 9-3
Çözüm:
Burada da negatif üs var. Sayıyı paydada, üssü pozitif olarak yazacağız.
9-3 = 1 / 93
Şimdi 93‘ü hesaplayalım. 9’u kendisiyle 3 kere çarpacağız.
9 x 9 = 81
81 x 9 = 729
Sonuç: 1 / 729
ğ) (-6)-2
Çözüm:
Yine negatif üs. Sayıyı paydada, üssü pozitif olarak yazıyoruz.
(-6)-2 = 1 / (-6)2
Şimdi (-6)2‘yi hesaplayalım. -6’yı kendisiyle 2 kere çarpacağız. Çift kuvvet olduğu için sonuç pozitif olacak.
(-6) x (-6) = 36
Sonuç: 1 / 36
3. Aşağıdaki işlemlerin sonuçlarını üslü ifade biçiminde yazınız.
a) 32 . 36
Çözüm:
Bu işlemde tabanlar aynı, çarpma işlemi var. Tabanları aynı olan üslü sayılar çarpılırken üsler toplanır. Yani:
32 . 36 = 3(2+6) = 38
Sonuç: 38
b) 108 . 102
Çözüm:
Yine tabanlar aynı, çarpma işlemi. Üsleri topluyoruz.
108 . 102 = 10(8+2) = 1010
Sonuç: 1010
c) 4-6 . 43
Çözüm:
Tabanlar aynı (4), çarpma işlemi var. Üsleri topluyoruz. Negatif üslere dikkat edelim.
4-6 . 43 = 4(-6+3) = 4-3
Sonuç: 4-3
ç) (-9)-7 . (-9)2
Çözüm:
Tabanlar aynı (-9), çarpma işlemi. Üsleri topluyoruz.
(-9)-7 . (-9)2 = (-9)(-7+2) = (-9)-5
Sonuç: (-9)-5
d) (-9)-7 . (-9)2
Çözüm:
Bu soru bir öncekiyle aynı görünüyor, sanırım bir baskı hatası olmuş. Yine de çözelim.
(-9)-7 . (-9)2 = (-9)(-7+2) = (-9)-5
Sonuç: (-9)-5
e) 123 . 12-9 . 126
Çözüm:
Tabanlar aynı (12), çarpma işlemi. Üsleri topluyoruz.
123 . 12-9 . 126 = 12(3 + (-9) + 6) = 12(3 – 9 + 6) = 120
Herhangi bir sayının 0’ıncı kuvveti 1’dir.
Sonuç: 1
f) (43)4
Çözüm:
Bu soruda üssün üssü var. Üssün üssü alınırken üsler çarpılır.
(43)4 = 4(3*4) = 412
Sonuç: 412
g) (6-2)5
Çözüm:
Yine üssün üssü var. Üsleri çarpıyoruz.
(6-2)5 = 6(-2*5) = 6-10
Sonuç: 6-10
ğ) (103)-3
Çözüm:
Üssün üssü alınırken üsleri çarpıyoruz.
(103)-3 = 10(3*(-3)) = 10-9
Sonuç: 10-9
h) [(-2)-5]-2
Çözüm:
Üssün üssü var. Üsleri çarpıyoruz.
[(-2)-5]-2 = (-2)(-5 * -2) = (-2)10
Sonuç: (-2)10
i) (62)3 . (63)2
Çözüm:
Önce her bir üssün üssünü alıp çarpma işlemini yapalım.
(62)3 = 6(2*3) = 66
(63)2 = 6(3*2) = 66
Şimdi bu iki sonucu çarpalım. Tabanlar aynı (6), çarpma işlemi var, üsleri toplarız.
66 . 66 = 6(6+6) = 612
Sonuç: 612
j) (1-6)3 . (103)-4
Çözüm:
İlk önce üssün üssü olan kısımları yapalım.
(1-6)3 = 1(-6*3) = 1-18
1’in bütün kuvvetleri 1’e eşittir. Yani 1-18 = 1.
(103)-4 = 10(3*-4) = 10-12
Şimdi bu iki sonucu çarpalım.
1 . 10-12 = 10-12
Sonuç: 10-12
k) (135)-1 . (130)16
Çözüm:
İlk önce üssün üssü olan kısımları yapalım.
(135)-1 = 13(5*-1) = 13-5
(130)16 = 13(0*16) = 130
130 = 1’dir.
Şimdi bu iki sonucu çarpalım.
13-5 . 1 = 13-5
Sonuç: 13-5
l) [(-21)-2]-6 . [(-21)2]3
Çözüm:
Önce her bir üssün üssünü alalım.
[(-21)-2]-6 = (-21)(-2 * -6) = (-21)12
[(-21)2]3 = (-21)(2 * 3) = (-21)6
Şimdi bu iki sonucu çarpalım. Tabanlar aynı (-21), çarpma işlemi var, üsleri toplarız.
(-21)12 . (-21)6 = (-21)(12+6) = (-21)18
Sonuç: (-21)18
4. Aşağıdaki eşitliklerde $boxed{phantom{x}}$ yerine yazılması gereken tam sayıları bulunuz.
a) 75 . 7$boxed{phantom{x}}$ = 712
Çözüm:
Bu eşitlikte tabanlar aynı (7) ve çarpma işlemi var. Üslü sayılarda çarpma işleminde üsler toplanır. O zaman:
5 + $boxed{phantom{x}}$ = 12
Buradan $boxed{phantom{x}}$’in 7 olduğunu buluruz.
Sonuç: 7
b) 1112 . 11$boxed{phantom{x}}$ = 1
Çözüm:
Sonucun 1 olması için ya tabanın 1 olması gerekir (ki burada 11) ya da üssün 0 olması gerekir. Tabanımız 11 olduğuna göre, üssümüz 0 olmalı.
12 + $boxed{phantom{x}}$ = 0
Buradan $boxed{phantom{x}}$’in -12 olduğunu buluruz.
Sonuç: -12
c) $frac{5^7}{5^{boxed{phantom{x}}}} = 5^4$
Çözüm:
Bu eşitlikte tabanlar aynı (5) ve bölme işlemi var. Üslü sayılarda bölme işleminde payın üssünden paydanın üssü çıkarılır. O zaman:
7 – $boxed{phantom{x}}$ = 4
Buradan $boxed{phantom{x}}$’in 3 olduğunu buluruz.
Sonuç: 3
5. Aşağıdaki işlemlerin sonuçlarını üslü ifade biçiminde yazınız.
a) $frac{3^5 cdot 27}{3^4}$
Çözüm:
Öncelikle 27’yi 3’ün bir kuvveti şeklinde yazalım. 27 = 33‘tür.
Şimdi ifadeyi yeniden yazalım:
$frac{3^5 cdot 3^3}{3^4}$
Pay kısmındaki çarpma işlemini yapalım. Tabanlar aynı (3), üsleri toplarız.
$3^{5+3} = 3^8$
Şimdi ifade şöyle oldu:
$frac{3^8}{3^4}$
Bölme işlemi yapıyoruz. Tabanlar aynı (3), payın üssünden paydanın üssünü çıkarırız.
$3^{8-4} = 3^4$
Sonuç: 34
b) $frac{5^{-3} cdot 5^2}{(5^2)^{-3} cdot 5^0}$
Çözüm:
Önce pay ve paydadaki üssün üssü olan ifadeleri düzenleyelim.
Payda: $(5^2)^{-3} = 5^{2 cdot -3} = 5^{-6}$
Paydada $5^0$ var, bu da 1’e eşittir.
Şimdi ifadeyi yeniden yazalım:
$frac{5^{-3} cdot 5^2}{5^{-6} cdot 1}$
Pay kısmındaki çarpma işlemini yapalım. Tabanlar aynı (5), üsleri toplarız.
$5^{-3+2} = 5^{-1}$
Payda kısmında ise $5^{-6} cdot 1 = 5^{-6}$ olur.
Şimdi ifade şöyle oldu:
$frac{5^{-1}}{5^{-6}}$
Bölme işlemi yapıyoruz. Tabanlar aynı (5), payın üssünden paydanın üssünü çıkarırız.
$5^{-1 – (-6)} = 5^{-1 + 6} = 5^5$
Sonuç: 55
c) $frac{10^3 cdot 2^3 cdot 5^2}{2^{-5} cdot 16}$
Çözüm:
Öncelikle 16’yı 2’nin bir kuvveti şeklinde yazalım. 16 = 24‘tür.
Şimdi ifadeyi yeniden yazalım:
$frac{10^3 cdot 2^3 cdot 5^2}{2^{-5} cdot 2^4}$
Payda kısmındaki çarpma işlemini yapalım. Tabanlar aynı (2), üsleri toplarız.
$2^{-5+4} = 2^{-1}$
Şimdi ifade şöyle oldu:
$frac{10^3 cdot 2^3 cdot 5^2}{2^{-1}}$
103‘ü $(2 cdot 5)^3 = 2^3 cdot 5^3$ şeklinde yazabiliriz.
$frac{(2^3 cdot 5^3) cdot 2^3 cdot 5^2}{2^{-1}}$
Pay kısmındaki tüm terimleri birleştirelim. Önce 2’lerin üslerini toplayalım:
$2^3 cdot 2^3 = 2^{3+3} = 2^6$
Sonra 5’lerin üslerini toplayalım:
$5^3 cdot 5^2 = 5^{3+2} = 5^5$
Pay kısmı şimdi $2^6 cdot 5^5$ oldu.
İfade şöyle oldu:
$frac{2^6 cdot 5^5}{2^{-1}}$
Şimdi 2’leri kendi aralarında bölelim. Tabanlar aynı (2), payın üssünden paydanın üssünü çıkarırız.
$2^{6 – (-1)} = 2^{6+1} = 2^7$
İfade şimdi şöyle:
$2^7 cdot 5^5$
Bu ifadeyi daha sade hale getirmek için 27‘yi $2^2 cdot 2^5$ şeklinde yazabiliriz.
$2^2 cdot 2^5 cdot 5^5$
Şimdi $2^5 cdot 5^5$ kısmını $(2 cdot 5)^5 = 10^5$ şeklinde yazabiliriz.
$2^2 cdot 10^5$
22 = 4’tür.
$4 cdot 10^5$
Sonuç: $4 cdot 10^5$
ç) $frac{(frac{7^3}{49})^{-3} cdot frac{7^{-2}}{7^6}$
Çözüm:
Öncelikle parantez içindeki 49’u 7’nin kuvveti olarak yazalım. 49 = 72‘dir.
$frac{7^3}{49} = frac{7^3}{7^2} = 7^{3-2} = 7^1 = 7$
Şimdi ifade şöyle oldu:
$(7)^{-3} cdot frac{7^{-2}}{7^6}$
İlk terim $7^{-3}$’tür.
İkinci terimdeki bölme işlemini yapalım. Tabanlar aynı (7), payın üssünden paydanın üssünü çıkarırız.
$frac{7^{-2}}{7^6} = 7^{-2-6} = 7^{-8}$
Şimdi bu iki sonucu çarpalım. Tabanlar aynı (7), üsleri toplarız.
$7^{-3} cdot 7^{-8} = 7^{-3 + (-8)} = 7^{-3 – 8} = 7^{-11}$
Sonuç: $7^{-11}$
d) $left(frac{7^3}{49}right)^{-3} cdot frac{7^{-2}}{7^6}$
Çözüm:
Bu soru bir öncekiyle aynı görünüyor. Çözümü tekrar edelim.
İlk olarak parantez içini düzenleyelim: $frac{7^3}{49} = frac{7^3}{7^2} = 7^{3-2} = 7$.
İfade şimdi şöyle olur: $(7)^{-3} cdot frac{7^{-2}}{7^6}$.
İlk kısım $7^{-3}$’tür.
İkinci kısımdaki bölmeyi yapalım: $frac{7^{-2}}{7^6} = 7^{-2-6} = 7^{-8}$.
Şimdi bu iki ifadeyi çarpalım: $7^{-3} cdot 7^{-8} = 7^{-3 + (-8)} = 7^{-11}$.
Sonuç: $7^{-11}$
e) $frac{10^{-3} cdot 2^8 cdot 5^6}{100 cdot 50}$
Çözüm:
Öncelikle paydadaki sayıları 10’un kuvveti şeklinde yazmaya çalışalım. 100 = 102 ve 50 = 5 * 10 = 5 * 101. Ancak burada 2’ler ve 5’ler olduğu için, paydadaki sayıları asal çarpanlarına ayırmak daha mantıklı olabilir.
Paydadaki 100 = $10^2 = (2 cdot 5)^2 = 2^2 cdot 5^2$.
Paydadaki 50 = $5 cdot 10 = 5 cdot (2 cdot 5) = 2^1 cdot 5^2$.
Paydadaki çarpımı yapalım: $100 cdot 50 = (2^2 cdot 5^2) cdot (2^1 cdot 5^2) = 2^{2+1} cdot 5^{2+2} = 2^3 cdot 5^4$.
Şimdi ifadeyi yeniden yazalım:
$frac{10^{-3} cdot 2^8 cdot 5^6}{2^3 cdot 5^4}$
Paydaki $10^{-3}$’ü $(2 cdot 5)^{-3} = 2^{-3} cdot 5^{-3}$ şeklinde yazalım.
$frac{(2^{-3} cdot 5^{-3}) cdot 2^8 cdot 5^6}{2^3 cdot 5^4}$
Pay kısmındaki terimleri birleştirelim:
2’lerin üslerini toplayalım: $2^{-3} cdot 2^8 = 2^{-3+8} = 2^5$.
5’lerin üslerini toplayalım: $5^{-3} cdot 5^6 = 5^{-3+6} = 5^3$.
Pay kısmı şimdi $2^5 cdot 5^3$ oldu.
İfade şöyle oldu:
$frac{2^5 cdot 5^3}{2^3 cdot 5^4}$
Şimdi pay ve paydadaki 2’leri ve 5’leri kendi aralarında bölelim.
2’ler için: $frac{2^5}{2^3} = 2^{5-3} = 2^2$.
5’ler için: $frac{5^3}{5^4} = 5^{3-4} = 5^{-1}$.
Sonuç olarak elimizde $2^2 cdot 5^{-1}$ kaldı.
Yani $4 cdot frac{1}{5} = frac{4}{5}$.
Sonuç: $2^2 cdot 5^{-1}$ veya $frac{4}{5}$
6. Aşağıdaki işlemleri yapınız. Bulduğunuz çarpımların kaç basamaklı olduğunu belirleyiniz.
a) $frac{48 cdot 10^6}{4^2 cdot 10^{-2}}$
Çözüm:
Öncelikle sayıyı sadeleştirelim.
Paydadaki $4^2 = 16$’dır.
İfade şöyle olur: $frac{48 cdot 10^6}{16 cdot 10^{-2}}$
Şimdi sayılardaki tam sayıları bölelim: 48 / 16 = 3.
Şimdi 10’un kuvvetlerini bölelim. Tabanlar aynı (10), payın üssünden paydanın üssünü çıkarırız.
$10^6 / 10^{-2} = 10^{6 – (-2)} = 10^{6+2} = 10^8$.
Sonuç olarak elimizde $3 cdot 10^8$ kaldı.
Bu sayı, 3’ün yanına 8 tane sıfır eklenmiş halidir. Yani: 300.000.000
Bu sayının kaç basamaklı olduğunu sayalım: 9 basamaklı.
Sonuç: $3 cdot 10^8$, 9 basamaklı.
b) $frac{3^4 cdot 10^{-8}}{27 cdot 10^3}$
Çözüm:
Öncelikle 27’yi 3’ün kuvveti olarak yazalım. 27 = 33‘tür.
İfade şöyle olur: $frac{3^4 cdot 10^{-8}}{3^3 cdot 10^3}$
Şimdi 3’lerin kuvvetlerini bölelim. Tabanlar aynı (3), payın üssünden paydanın üssünü çıkarırız.
$3^4 / 3^3 = 3^{4-3} = 3^1 = 3$.
Şimdi 10’un kuvvetlerini bölelim. Tabanlar aynı (10), payın üssünden paydanın üssünü çıkarırız.
$10^{-8} / 10^3 = 10^{-8 – 3} = 10^{-11}$.
Sonuç olarak elimizde $3 cdot 10^{-11}$ kaldı.
Bu sayı, 3’ün 11 basamak sağa kaydırılmış halidir. Yani: 0.00000000003
Bu sayının kaç basamaklı olduğunu belirlemek için, ondalık kısmındaki sıfırları sayabiliriz. Virgülden sonra 11 tane sıfır var ve en sonda 3 rakamı var. Ancak soru “basamaklı” diye sorduğu için, genelde tam kısımdaki basamaklar veya anlamlı rakamların sayısına bakılır. Bu sayı 1’den küçüktür ve 0.000… şeklinde başlar. Bu durumda basamak sayısı olarak genellikle 1 kullanılır (0’ın kendisi) veya scientifique gösterimdeki üsse bakılır. Eğer 3 x 10-11 şeklinde düşünürsek, bu 11 basamaklı bir sayının (virgülden sonraki) bir parçasıdır diyebiliriz. Ancak sorunun genel mantığına baktığımızda, elde edilen sayının kendisini yazıp basamak sayısını bulmak daha doğru.
Sonuç: $3 cdot 10^{-11}$
Bu sayının basamak sayısını belirlemek biraz kafa karıştırıcı olabilir. Eğer “anlamlı rakamlar kaç basamakta yer alıyor” diye sorulursa, 11 basamaklı diyebiliriz (virgülden sonra). Eğer sayının kendisi kaç basamaklıdır dersek, 0.00000000003 sayısı 1’den küçük olduğu için, tam kısımda sadece 0 vardır. Bu durumda genellikle 1 basamaklı (0’ı sayarsak) denir. Ancak bu tür sorularda genellikle bilimsel gösterimdeki üsse bakılır. $10^{-11}$ üssü, sayının 11 basamak sola kaydığını gösterir. Bu durumda basamak sayısını 11 olarak düşünebiliriz, ancak bu 0’ın yanındaki basamaklardır.
Daha net bir ifadeyle, eğer sayının tamamını (virgül dahil) düşünürsek, 0’dan sonra 11 tane basamakta anlamlı rakam bulunur. Bu tür sorularda genellikle sonucun kendisini yazıp basamak sayısını belirtmek istenir. 0.00000000003 sayısının 11 tane ondalık basamağı vardır (3 rakamı dahil). Bu durumda “11 basamaklı” demek daha doğru olacaktır.
Sonuç: $3 cdot 10^{-11}$, 11 basamaklı (ondalık basamak olarak).
c) 9 . 56 . 25
Çözüm:
Bu ifadeyi düzenleyelim. 9’u $3^2$ şeklinde yazabiliriz. 56 ve 25‘i birleştirmeye çalışalım.
$3^2 cdot 5^6 cdot 2^5$
56‘yı $5^1 cdot 5^5$ şeklinde ayırabiliriz.
$3^2 cdot 5^1 cdot 5^5 cdot 2^5$
Şimdi $5^5 cdot 2^5$’i $(5 cdot 2)^5 = 10^5$ şeklinde yazabiliriz.
$3^2 cdot 5 cdot 10^5$
Şimdi sayıları çarpalım: $3^2 = 9$. $9 cdot 5 = 45$.
Sonuç: $45 cdot 10^5$.
Bu sayıyı açarsak: 45’in yanına 5 tane sıfır gelir. Yani 4.500.000.
Bu sayının kaç basamaklı olduğunu sayalım: 7 basamaklı.
Sonuç: $45 cdot 10^5$, 7 basamaklı.
Umarım bu çözümlerimiz anlaşılır olmuştur. Anlamadığınız yerleri tekrar sormaktan çekinmeyin. Başarılar dilerim!