Merhaba sevgili öğrencim. Seninle bu sayfadaki kareköklü sayılarla ilgili problemleri ve işlemleri adım adım inceleyeceğiz. Konumuz tam kare sayılar ve karekök alma. Hazırsan, kağıdını kalemini hazırla ve başlayalım!
Örnek 6 İçindeki Soru: Siz de $sqrt{0}$’ın değerini hesaplayınız.
Bu küçük soruyla ısınma yapalım. Karekök almak demek, “Hangi sayıyı kendisiyle çarparsam içerideki sayıyı elde ederim?” diye sormaktır.
Çözüm:
- 0 sayısını elde etmek için hangi sayıyı kendisiyle çarpmalıyız?
- $0 times 0 = 0$ olduğu için, $0$’ın karekökü yine $0$’dır.
- Sonuç: $sqrt{0} = 0$
Soru 1: Alanı $1521 m^2$ olan karesel bölge biçimindeki arsanın etrafına tel örgü çekilecektir. Tel örgü, $3 m$ aralıklarla dikilecek direklere tutturulacaktır. Bu iş için kaç direğin kullanılacağını bulunuz.
Çözüm:
Bu soruda önce karesel bölgenin bir kenar uzunluğunu bulmalı, sonra çevresini hesaplamalı ve en son direk sayısını bulmalıyız.
Adım 1: Arsanın bir kenar uzunluğunu bulalım.
Alanı $1521 m^2$ ise bir kenarı $sqrt{1521}$ metredir.
Hangi sayının karesi 1521 yapar? Tahmin edelim: $30 times 30 = 900$, $40 times 40 = 1600$. Sayımız 40’a çok yakın ve sonu 1 ile bitiyor. Sonu 1 ile bitmesi için sayı ya 1 ya da 9 ile bitmeli. 40’a yakın olduğu için 39’u deneyelim.
$39 times 39 = 1521$. Evet, doğru! Arsanın bir kenarı 39 metre.
Adım 2: Arsanın çevresini bulalım.
Karenin çevresi 4 kenarının toplamıdır.
Çevre = $4 times 39 = 156$ metre.
Adım 3: Kaç direk gerektiğini bulalım.
Çevresi 156 metre olan bir yere 3 metre aralıklarla direk dikeceğiz. Kapalı şekillerde (kare gibi) çevre uzunluğunu aralığa bölmek yeterlidir.
Direk Sayısı = $156 / 3 = 52$
Sonuç: 52 direk kullanılır.
Soru 2: Bir mutfağın tabanı karesel bölge şeklinde ve alanı $1600 dm^2$ dir. Bu mutfağın tabanına alanı, $400 cm^2$ olan karesel bölge biçimindeki fayanslar döşenmiştir. Mutfağın tabanının bir kenarına kaç tane fayans döşendiğini bulunuz.
Çözüm:
Burada dikkat etmen gereken en önemli yer birimlerdir! Biri desimetrekare ($dm^2$), diğeri santimetrekare ($cm^2$). Önce kenar uzunluklarını bulalım, sonra birimleri eşitleyelim.
Adım 1: Mutfağın bir kenarını bulalım.
Alan = $1600 dm^2$.
Bir kenar = $sqrt{1600}$. $40 times 40 = 1600$ olduğu için mutfağın bir kenarı 40 dm‘dir.
Adım 2: Fayansın bir kenarını bulalım.
Alan = $400 cm^2$.
Bir kenar = $sqrt{400}$. $20 times 20 = 400$ olduğu için fayansın bir kenarı 20 cm‘dir.
Adım 3: Birimleri dönüştürelim.
İşlem yapabilmek için mutfağın kenarını cm cinsine çevirelim.
$1 dm = 10 cm$ olduğuna göre;
$40 dm = 40 times 10 = 400 cm$.
Adım 4: Bir kenara kaç fayans sığacağını bulalım.
Mutfağın kenarı 400 cm, fayansın kenarı 20 cm.
Fayans sayısı = $400 / 20 = 20$.
Sonuç: Bir kenara 20 tane fayans döşenir.
Soru 3: Bir arsa yandaki gibi iki karesel bölge elde edilecek şekilde parsellere ayrılıyor. Büyük parselin alanı $576 m^2$, küçük parselin alanı $324 m^2$ olduğuna göre iki parselin çevresinin uzunluğu toplam kaç metredir?
Çözüm:
Bu soruda her iki karenin de çevresini ayrı ayrı hesaplayıp toplamamız isteniyor.
Adım 1: Büyük parselin kenarını ve çevresini bulalım.
Alan = 576. Kenar = $sqrt{576}$.
$20 times 20 = 400$, $25 times 25 = 625$. Sayımız bu arada ve sonu 6. Sonu 4 veya 6 olabilir. 24’ü deneyelim: $24 times 24 = 576$.
Kenar = 24 m.
Büyük Çevre = $24 times 4 = 96$ m.
Adım 2: Küçük parselin kenarını ve çevresini bulalım.
Alan = 324. Kenar = $sqrt{324}$.
$10 times 10 = 100$, $20 times 20 = 400$. Sayımız bu arada ve sonu 4. Sonu 2 veya 8 olabilir. 18’i deneyelim: $18 times 18 = 324$.
Kenar = 18 m.
Küçük Çevre = $18 times 4 = 72$ m.
Adım 3: Toplam çevre uzunluğunu bulalım.
Toplam = $96 + 72$.
96 + 72 ---- 168
Sonuç: Toplam çevre uzunluğu 168 metredir.
Soru 4: Yanda fiyatları kareköklü ifade ile verilen bir çift ayakkabı ile bir eşofman takımını alan bir kişinin toplam kaç Türk lirası ödediğini hesaplayınız.
Çözüm:
Ayakkabı ve eşofmanın fiyatlarını kök dışına çıkarıp toplamamız gerekiyor.
Adım 1: Ayakkabının fiyatını bulalım ($sqrt{5776}$).
$70 times 70 = 4900$, $80 times 80 = 6400$. Sayı 70 ile 80 arasında. Sonu 6 ile bitiyor, o halde sayı ya 74 ya 76 olmalı. 6400’e daha yakın durduğu için 76’yı deneyelim.
$76 times 76 = 5776$.
Ayakkabı Fiyatı = 76 TL.
Adım 2: Eşofmanın fiyatını bulalım ($sqrt{7225}$).
Sonu 25 ile biten karekökler genelde 5 ile biter. $80 times 80 = 6400$, $90 times 90 = 8100$. Bu sayı tam ortada gibi. 85’i deneyelim.
$85 times 85 = 7225$.
Eşofman Fiyatı = 85 TL.
Adım 3: Toplam tutarı hesaplayalım.
76 + 85 ---- 161
Sonuç: Toplam 161 Türk lirası ödenmiştir.
Soru 5: Aşağıdaki sayıların kareköklerini hesaplayınız.
Çözüm:
Bu alıştırmada verilen sayıların hangi sayının karesi olduğunu bulacağız.
a. $sqrt{121}$
Çarpım tablosundan hatırla: $11 times 11 = 121$.
Cevap: 11
b. $sqrt{196}$
$14 times 14 = 196$.
Cevap: 14
c. $sqrt{225}$
Sonu 5 ile bitiyor. $15 times 15 = 225$.
Cevap: 15
ç. $sqrt{1024}$
$30 times 30 = 900$. Biraz daha büyük ve sonu 4. Sonu 2 veya 8 olmalı. 32’yi deneyelim. $32 times 32 = 1024$.
Cevap: 32
d. $-sqrt{1849}$
Dikkat! Kökün önünde eksi işareti var, bu yüzden sonuç negatif olacak. Önce kök içini bulalım. $40 times 40 = 1600$, $50 times 50 = 2500$. 40’a yakın, sonu 9. Sonu 3 veya 7 olmalı. 43’ü deneyelim. $43 times 43 = 1849$.
Önündeki eksiyi unutmuyoruz.
Cevap: -43
e. $sqrt{2025}$
Sonu 25 olduğu için sayı 5 ile bitmeli. $40 times 40 = 1600$, $50 times 50 = 2500$. Tam ortası 45 olabilir mi? $45 times 45 = 2025$.
Cevap: 45