Merhaba sevgili öğrencim. Ben senin Türkçe, Matematik, Fen Bilimleri, İngilizce ve Sosyal Bilimler öğretmeninim. Bugün seninle bu matematik testindeki kareköklü sayılar ve gerçek sayılarla ilgili soruları adım adım, anlaşılır bir şekilde çözeceğiz. Hazırsan başlayalım!
1. Aşağıdakilerden hangisi tam kare bir doğal sayı değildir?
Tam kare sayı, bir doğal sayının karesi (kendisiyle çarpımı) olan sayılardır. Şıkları tek tek inceleyelim:
- A) 256: 16 x 16 = 256 eder. Yani $16^2$’dir. Bu bir tam kare sayıdır.
- B) 96: Hangi aynı iki sayıyı çarparsak 96 eder? 9 x 9 = 81 ve 10 x 10 = 100 eder. 96 bu arada kalır ve bir tam sayının karesi değildir.
- C) 81: 9 x 9 = 81 eder. Yani $9^2$’dir. Bu bir tam kare sayıdır.
- D) 49: 7 x 7 = 49 eder. Yani $7^2$’dir. Bu bir tam kare sayıdır.
Bu durumda 96 tam kare değildir.
Doğru Cevap: B
2. $sqrt{94}$ sayısının değeri aşağıdakilerden hangisine daha yakındır?
Bir kareköklü sayının yaklaşık değerini bulmak için, o sayının hangi iki tam kare sayı arasında olduğuna bakarız.
Adım 1: 94 sayısına en yakın tam kare sayıları bulalım.
- 94’ten küçük en büyük tam kare sayı: 81’dir ($sqrt{81} = 9$)
- 94’ten büyük en küçük tam kare sayı: 100’dür ($sqrt{100} = 10$)
Demek ki sayımız 9 ile 10 arasında.
Adım 2: Hangisine daha yakın olduğunu bulmak için farklara bakalım.
- 94 – 81 = 13 birim uzaklıkta.
- 100 – 94 = 6 birim uzaklıkta.
Gördüğün gibi 100’e (yani 10’a) daha yakındır.
Doğru Cevap: C
3. Aşağıdakilerden hangisi bir irrasyonel sayıdır?
Önce tanımları hatırlayalım: Rasyonel sayılar kesir olarak yazılabilir veya virgülden sonrası düzenli devreder. İrrasyonel sayılar ise virgülden sonrası düzensiz ve sonsuza kadar giden sayılardır (pi sayısı gibi).
- A) 5,121212…: “12” sürekli tekrar ediyor (devrediyor). Bu rasyoneldir.
- B) $0,3overline{6}$: Üzerinde çizgi var, yani 6 devrediyor. Bu rasyoneldir.
- C) 2,012023034…: Virgülden sonrasına dikkat et. Belirli bir tekrar kuralı yok (01, 20, 23, 03…). Düzensiz gidiyor. Bu yüzden irrasyoneldir.
- D) $-frac{8}{15}$: Kesir olarak yazılabilen her sayı rasyoneldir.
Doğru Cevap: C
4. $12,3overline{4}$ sayısının bir rasyonel sayı olarak gösterimi aşağıdakilerden hangisidir?
Devirli ondalık sayıları rasyonel sayıya çevirirken şu formülü kullanırız:
$frac{text{Sayının Tamamı} – text{Devretmeyen Kısım}}{text{Virgülden sonra devreden kadar 9, devretmeyen kadar 0}}$
Adım 1: Formülü uygulayalım.
- Sayının tamamı (virgülsüz): 1234
- Devretmeyen kısım (çizgi olmayan): 123
- Pay: 1234 – 123 = 1111
Adım 2: Paydayı bulalım.
- Virgülden sonra devreden (çizgili) 1 basamak var (4 rakamı): Bir tane 9 koyacağız.
- Virgülden sonra devretmeyen (çizgisiz) 1 basamak var (3 rakamı): Bir tane 0 koyacağız.
- Payda: 90
Sonuç: $frac{1111}{90}$
Doğru Cevap: A
5. Aşağıdakilerden hangisi $sqrt{40}$’ı doğal sayı yapan bir çarpandır?
Bir köklü sayıyı doğal sayı yapmak için, kökün içindeki sayıyı tam kare yapacak bir çarpan bulmalıyız veya kökü dışarı çıkarıp kalan köklü kısımla aynı olan bir sayıyla çarpmalıyız.
Adım 1: $sqrt{40}$ sayısını $asqrt{b}$ şeklinde yazalım.
$sqrt{40} = sqrt{4 times 10} = 2sqrt{10}$
Adım 2: Bu sayıyı doğal sayı yapmak için, içinde $sqrt{10}$ olan bir sayıyla çarpmalıyız ki $sqrt{10} times sqrt{10} = 10$ olsun ve kökten kurtulsun.
Şıklara bakalım:
- A) $sqrt{20} = 2sqrt{5}$ (Olmaz)
- B) $sqrt{10}$ (Evet, $2sqrt{10} times sqrt{10} = 2 times 10 = 20$ olur)
- C) $sqrt{8} = 2sqrt{2}$ (Olmaz)
- D) $sqrt{1} = 1$ (Olmaz)
Doğru Cevap: B
6. Aşağıdakilerden hangisi $sqrt{384}$ sayısının $asqrt{b}$ biçiminde yazılmış halidir?
Bu sayıyı çarpanlarına ayırarak tam kare olanları dışarı atalım.
Adım 1: 384 sayısını bölen en büyük tam kare sayıyı düşünelim. 64 sayısı 384’ün bir bölenidir.
$384 = 64 times 6$
Adım 2: Kök dışına çıkaralım.
$sqrt{384} = sqrt{64 times 6}$
64 dışarıya 8 olarak çıkar.
Sonuç: $8sqrt{6}$
Doğru Cevap: D
7. Aşağıdakilerden hangisi $-9sqrt{3}$ sayısının katsayısının karekök içine alınmış halidir?
Burada çok önemli bir kuralı hatırlatmalıyım sevgili öğrencim: Negatif bir katsayı kök içine alınırken, eksi işareti dışarıda kalır. Sadece sayı karesi alınarak içeri girer. Çünkü karekökün içi negatif olamaz (gerçek sayılarda).
Adım 1: 9 sayısını içeri alalım. İçeri girerken karesini alırız ($9^2 = 81$).
$-9sqrt{3} = – sqrt{9^2 times 3}$
Adım 2: İşlemi yapalım.
$= – sqrt{81 times 3}$
$= – sqrt{243}$
Doğru Cevap: A
8. $sqrt{72} – sqrt{32} + sqrt{50}$ işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?
Köklü sayılarda toplama ve çıkarma yapabilmek için kök içlerinin aynı olması gerekir. Önce sayıları $asqrt{b}$ formatına getirelim.
Adım 1: Sayıları düzenleyelim.
- $sqrt{72} = sqrt{36 times 2} = 6sqrt{2}$
- $sqrt{32} = sqrt{16 times 2} = 4sqrt{2}$
- $sqrt{50} = sqrt{25 times 2} = 5sqrt{2}$
Adım 2: Yerlerine yazıp işlemi yapalım.
$6sqrt{2} – 4sqrt{2} + 5sqrt{2}$
Katsayıları toplayıp çıkaralım: $(6 – 4 + 5)sqrt{2}$
$2 + 5 = 7$
Sonuç: $7sqrt{2}$
Doğru Cevap: C
9. $frac{sqrt{50}}{3} + frac{sqrt{18}}{2}$ işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?
Önce köklü sayıları dışarı çıkaralım, sonra rasyonel sayılarda toplama (payda eşitleme) yapalım.
Adım 1: Kökleri düzenleyelim.
- $sqrt{50} = sqrt{25 times 2} = 5sqrt{2}$
- $sqrt{18} = sqrt{9 times 2} = 3sqrt{2}$
Soru şu hale geldi: $frac{5sqrt{2}}{3} + frac{3sqrt{2}}{2}$
Adım 2: Paydaları eşitleyelim. Birinci kesri 2 ile, ikinci kesri 3 ile genişletelim.
- $frac{5sqrt{2} times 2}{3 times 2} = frac{10sqrt{2}}{6}$
- $frac{3sqrt{2} times 3}{2 times 3} = frac{9sqrt{2}}{6}$
Adım 3: Payları toplayalım.
$frac{10sqrt{2} + 9sqrt{2}}{6} = frac{19sqrt{2}}{6}$
Doğru Cevap: A