Merhaba sevgili öğrencim, bugün seninle kareköklü sayılar dünyasına keyifli bir yolculuk yapacağız. Karekök içindeki sayıları dışarı çıkarmayı ve dışarıdaki sayıları içeri almayı, paylaştığın görseldeki etkinlikler üzerinden adım adım inceleyeceğiz. Hazırsan başlayalım!
Soru 1: El İşi Kâğıdı Problemi
“Yandaki el işi kâğıdı karesel bölge biçimindedir. Bu el işi kâğıdının bir kenarının uzunluğu 8√2 cm ve √128 cm biçimlerinde ifade edilmiştir. 8√2 cm ve √128 cm uzunlukları hakkındaki düşüncenizi açıklayınız.”
Çözüm ve Açıklama:
Burada bize aynı karenin bir kenarı için iki farklı sayı verilmiş gibi görünüyor, ama aslında bu iki sayı birbirine eşit mi diye kontrol etmemiz isteniyor. Gel seninle dedektif gibi bu sayıların izini sürelim.
Adım 1: Elimizde 8√2 sayısı var. Bu, “katsayıyı karekök içine alma” kuralını uygulamamız için harika bir fırsat. Kuralımız şudur: Dışarıdaki sayı, içeri girerken karesi alınarak girer.
Adım 2: 8 sayısını kök içine alalım:
- Dışarıdaki sayı: 8
- İçeri girerken karesini al: 8 x 8 = 64
- Şimdi içerideki sayı (2) ile çarp: 64 x 2 = 128
- Sonuç: √128
Sonuç: Gördüğün gibi, 8√2 sayısı aslında √128 sayısına eşittir. Yani bu iki ifade, el işi kâğıdının kenar uzunluğunu gösteren aynı sayının iki farklı yazılış biçimidir. Biri katsayılı hali, diğeri ise katsayının tamamının kök içinde olduğu halidir.
Soru 2: Uygulama Basamakları Etkinliği
Burada bize adım adım yönergeler verilmiş. Bu adımları seninle birlikte tek tek uygulayarak konuyu pekiştirelim.
1. Adım: “18 sayısının tam kare bir sayı olup olmadığını söyleyiniz.”
Bir sayının tam kare olması için, başka bir tam sayının karesi (kendisiyle çarpımı) olması gerekir.
- 1’in karesi = 1
- 2’nin karesi = 4
- 3’ün karesi = 9
- 4’ün karesi = 16
- 5’in karesi = 25
Bak, 16 ile 25 arasındayız ama 18 bir tam sayının karesi değil. Bu yüzden 18 tam kare bir sayı değildir.
2. Adım: “√18 sayısını, karekök içinde asal çarpanlarının çarpımı biçiminde yazınız.”
18 sayısını asal çarpanlarına ayıralım:
- 18 ÷ 2 = 9
- 9 ÷ 3 = 3
- 3 ÷ 3 = 1
Yani 18 = 2 x 3 x 3 demektir. Karekök içinde yazarsak: √(2 x 3 x 3) olur.
3. Adım: “Yazdığınız asal çarpanlardan uygun olanları üssü 2 olacak biçiminde düzenleyiniz.”
Burada iki tane 3 var. Bunu üslü sayı olarak 32 (3 üssü 2) şeklinde yazabiliriz.
İfademiz şu hale gelir: √(2 x 32)
4. Adım: “Üssü 2 olan çarpanın karekök dışına kaç olarak çıktığını ve karekök içinde hangi sayının kaldığını söyleyiniz.”
Karekök, “üssü 2 olanı dışarı atan” bir hapishane gibidir. Üssü 2 olan sayı, üssünü bırakır ve dışarı çıkar.
- 32 ifadesindeki 3 dışarı çıkar.
- 2 sayısının eşi olmadığı (üssü 1 olduğu) için içeride kalır.
5. Adım: “Kök dışına çıkan sayı ile kareköklü sayıyı çarpım biçiminde yazınız. Oluşan sayıyı okuyunuz.”
Dışarı çıkan 3 ile içeride kalan √2’yi yan yana yazarız:
3√2
Bu sayı “üç kök iki” şeklinde okunur.
6. Adım: “Okuduğunuz sayının kat sayısının karekök içine nasıl alınabileceğini açıklayınız.”
Bunu ilk soruda yapmıştık, hatırladın mı? Katsayıyı (yani 3’ü) içeri almak için karesini alırız ve içerideki sayıyla çarparız.
- 3 içeriye 32 yani 9 olarak girer.
- İçerideki 2 ile çarpılır: 9 x 2 = 18.
- Sonuç tekrar √18 olur.
7. Adım: Kural Geliştirme
Buradan şu kuralı çıkarabiliriz:
Kök Dışına Çıkarma Kuralı: Karekök içindeki bir sayı, tam kare çarpanlarına ayrılır. Tam kare olan sayı kök dışına katsayı olarak çıkar, diğer çarpan kök içinde kalır. (√a2.b = a√b)
Kök İçine Alma Kuralı: Kök dışındaki katsayı, karesi alınarak kök içine girer ve içerideki sayıyla çarpılır. (a√b = √a2.b)
Soru 3: Örnek 1 İncelemesi
“Bir defterin kapağına yapıştırılmış karesel bölge biçimindeki etiketin alanı 18 cm²’dir. Bu etiketin bir kenarının uzunluğu kaç santimetredir?”
Çözümün Açıklaması:
Kitabındaki çözüm çok güzel anlatmış, gel üzerinden geçelim. Bir karenin alanı verildiğinde, bir kenarını bulmak için alanın karekökünü almamız gerekir.
Adım 1: Alan = 18 cm² ise, Bir Kenar = √18 cm’dir.
Adım 2: √18 sayısını en sade haliyle (a√b şeklinde) yazmamız istenir. Az önce yaptığımız basamakları hatırla:
- 18 sayısını çarpanlarına ayıralım: 18 = 9 x 2
- Neden 9 x 2 seçtik? Çünkü 9 bir tam kare sayıdır (3’ün karesi).
- √(9 x 2) = √(32 x 2)
Adım 3: 3’ün karesi dışarıya 3 olarak çıkar.
Sonuç: 3√2 cm bulunur.
Öğretmen Notu: Matematikte kareköklü sayılarla işlem yaparken, sayıları genellikle a√b şeklinde yazmak işimizi kolaylaştırır. Bu yüzden √18 yerine 3√2 kullanmak daha yaygındır.