Merhaba sevgili öğrencim! Bugün seninle kareköklü ifadeler konusundaki bu alıştırmaları birlikte çözeceğiz. Kareköklü sayılar, matematiğin en keyifli konularından biridir. Sadece sayıların “hangi sayının karesi olduğunu” bulmamız veya sayıları kök dışına çıkarıp içine almamız gerekiyor. Hazırsan başlayalım!
1. Soru: Karesel bölge biçimindeki bir karton parçasının alanı 24 cm² dir. Bu kartonun bir kenarının uzunluğunu a√b biçiminde bulunuz.
Bir karenin alanını biliyorsak, bir kenar uzunluğunu bulmak için alanın karekökünü almamız gerekir. Çünkü karenin alanı iki kenarının çarpımıdır (a x a = a²).
- Karenin Alanı = 24 cm²
- Bir Kenarı = √24 cm
Şimdi √24 sayısını a√b şeklinde yazalım. Bunun için 24’ün çarpanlarından biri “tam kare” (yani kök dışına tam çıkabilen bir sayı) olmalı.
- Adım 1: 24 sayısını çarpanlarına ayıralım: 24 = 4 x 6
- Adım 2: Burada 4 sayısı tam karedir (2’nin karesidir).
- Adım 3: √24 = √(4 x 6)
- Adım 4: 4 dışarıya 2 olarak çıkar, 6 içeride kalır.
Sonuç: 2√6 cm
2. Soru: Aşağıda alanları verilen karesel bölgelerin birer kenarlarının uzunluklarını a√b biçiminde yazınız.
Bu soruda da mantığımız aynı. Alanı verilen karenin bir kenarını bulmak için karekökünü alacağız ve kök dışına çıkarabildiğimiz kadarını çıkaracağız.
Sarı Kare (A = 80 cm²)
- Kenar = √80
- 80 sayısını tam kare bir çarpan olacak şekilde düşünelim: 16 x 5 = 80
- √80 = √(16 x 5)
- 16 dışarıya 4 olarak çıkar.
- Sonuç: 4√5 cm
Mor Kare (A = 120 cm²)
- Kenar = √120
- 120 sayısının içindeki en büyük tam kare çarpan 4’tür: 4 x 30 = 120
- √120 = √(4 x 30)
- 4 dışarıya 2 olarak çıkar.
- Sonuç: 2√30 cm
Mavi Kare (A = 450 cm²)
- Kenar = √450
- 450 sayısını düşünelim. Sonu 50 ile bitiyor, 225 x 2 = 450 eder. 225 sayısı 15’in karesidir.
- √450 = √(225 x 2)
- 225 dışarıya 15 olarak çıkar.
- Sonuç: 15√2 cm
3. Soru: Aşağıdaki sayıları a√b biçiminde yazınız.
Burada sayıları çarpanlarına ayırıp, tam kare olanları dışarı atacağız. Harfli ifadelerde ise üssü çift olanlar üssünün yarısını alarak dışarı çıkar.
a. √63
- 63 = 9 x 7
- 9 dışarı 3 olarak çıkar.
- Sonuç: 3√7
b. √60
- 60 = 4 x 15
- 4 dışarı 2 olarak çıkar.
- Sonuç: 2√15
c. √338
- 338 = 169 x 2 (169, 13’ün karesidir)
- 169 dışarı 13 olarak çıkar.
- Sonuç: 13√2
ç. √245
- 245 = 49 x 5 (49, 7’nin karesidir)
- 49 dışarı 7 olarak çıkar.
- Sonuç: 7√5
d. √126
- 126 = 9 x 14
- 9 dışarı 3 olarak çıkar.
- Sonuç: 3√14
e. √216
- 216 = 36 x 6
- 36 dışarı 6 olarak çıkar.
- Sonuç: 6√6
f. √32.a³.b⁵
- Sayıyı ayıralım: 32 = 16 x 2 (16 dışarı 4 çıkar).
- a³ = a² x a (a² dışarı a çıkar).
- b⁵ = b⁴ x b (b⁴ dışarı b² çıkar).
- Dışarı çıkanlar: 4, a, b²
- İçeride kalanlar: 2, a, b
- Sonuç: 4ab²√2ab
g. √48.m⁵.n³
- Sayıyı ayıralım: 48 = 16 x 3 (16 dışarı 4 çıkar).
- m⁵ = m⁴ x m (m⁴ dışarı m² çıkar).
- n³ = n² x n (n² dışarı n çıkar).
- Dışarı çıkanlar: 4, m², n
- İçeride kalanlar: 3, m, n
- Sonuç: 4m²n√3mn
ğ. √( (3⁴/9) . x⁷ . y⁸ )
- Önce sayıyı sadeleştirelim: 3⁴ = 81’dir. 81 / 9 = 9 olur.
- İfade şu hale geldi: √(9 . x⁷ . y⁸)
- 9 dışarı 3 olarak çıkar.
- x⁷ = x⁶ x x (x⁶ dışarı x³ çıkar).
- y⁸ tam karedir, dışarı y⁴ çıkar.
- Sonuç: 3x³y⁴√x
4. Soru: Aşağıdaki sayıların katsayılarını karekök içine alınız.
Katsayıyı kök içine alırken karesini alıp içerideki sayıyla çarparız. Eğer katsayı negatifse, eksi işareti dışarıda kalır.
a. 3√11
- 3 içeriye 3² yani 9 olarak girer.
- √(9 x 11)
- Sonuç: √99
b. 5√17
- 5 içeriye 5² yani 25 olarak girer.
- √(25 x 17)
- 25 ile 17’yi çarpalım:
- 25 x 10 = 250
- 25 x 7 = 175
- 250 + 175 = 425
- Sonuç: √425
c. -10√3
- Negatif işaret dışarıda kalır. 10 içeriye 100 olarak girer.
- -√(100 x 3)
- Sonuç: -√300
ç. 12√5
- 12 içeriye 12² yani 144 olarak girer.
- √(144 x 5)
- 144 ile 5’i çarpalım: 144 x 5 = 720
- Sonuç: √720
d. -16√3
- Negatif işaret dışarıda kalır. 16 içeriye 16² yani 256 olarak girer.
- -√(256 x 3)
- 256 ile 3’ü çarpalım: 256 x 3 = 768
- Sonuç: -√768
e. 20√15
- 20 içeriye 20² yani 400 olarak girer.
- √(400 x 15)
- 400 ile 15’i çarpalım: 4 x 15 = 60, yanına iki sıfır ekleyelim -> 6000
- Sonuç: √6000