Merhaba sevgili öğrencim. Seninle birlikte 8. Sınıf Matematik dersi “Üçgenler” ünitesindeki Pisagor bağıntısı ile ilgili alıştırmaları çözeceğiz. Bu konuda en önemli kuralımız şudur: Bir dik üçgende, dik kenarların karelerinin toplamı, hipotenüsün (en uzun kenarın) karesine eşittir. Haydi başlayalım!
1. Aşağıdaki dik üçgenlerde y ile gösterilen kenar uzunluklarını bulunuz.
Bu soruda dört farklı üçgenimiz var. Her biri için Pisagor Bağıntısını ($a^2 + b^2 = c^2$) kullanacağız.
a. Şıkkı Çözümü:
Burada dik kenarlardan biri 27 mm, diğeri y ve hipotenüs (90 derecenin karşısı) 45 mm’dir.
- Adım 1: Bağıntımızı kuralım: $y^2 + 27^2 = 45^2$
- Adım 2: Bu sayılar sana tanıdık geldi mi? Bu üçgen aslında özel bir üçgen olan 3-4-5 üçgeninin katlarıdır.
Hipotenüs: $5 times 9 = 45$
Bilinen kenar: $3 times 9 = 27$
O halde bilinmeyen kenar (y): $4 times 9$ olmalıdır. - Adım 3: İşlemi yapalım: $4 times 9 = 36$
- Alternatif Uzun Yol: $y^2 = 45^2 – 27^2 rightarrow y^2 = 2025 – 729 rightarrow y^2 = 1296 rightarrow y = 36$
Sonuç: y = 36 mm
b. Şıkkı Çözümü:
Burada dik açı K köşesinde. Hipotenüs $9sqrt{3}$ cm, dik kenarlardan biri 12 cm, diğeri y’dir.
- Adım 1: Pisagor bağıntısını yazalım: $y^2 + 12^2 = (9sqrt{3})^2$
- Adım 2: Sayıların karelerini alalım. Köklü sayının karesini alırken hem dışarıdaki sayının karesini alırız hem de kök içindeki sayı kökten kurtulur.
$(9sqrt{3})^2 = 81 times 3 = 243$
$12^2 = 144$ - Adım 3: Denklemi çözelim:
$y^2 + 144 = 243$
$y^2 = 243 – 144$
$y^2 = 99$ - Adım 4: y’yi bulmak için 99’u kök dışına çıkaralım. $99 = 9 times 11$ olduğu için 9 dışarı 3 olarak çıkar.
$y = sqrt{99} = 3sqrt{11}$
Sonuç: y = $3sqrt{11}$ cm
c. Şıkkı Çözümü:
Burada hipotenüs 12,5 cm, dik kenarlardan biri 7,5 cm, diğeri y’dir.
- Adım 1: Ondalık sayılarla uğraşmak zor olabilir. Virgülleri görmezden gelip sayıları 10 ile genişletilmiş gibi düşünelim: 75, 125 ve 10y.
- Adım 2: Bu sayılar yine 3-4-5 üçgeninin katlarıdır. Her sayıyı 25’e bölersek:
$75 div 25 = 3$
$125 div 25 = 5$
Demek ki bilinmeyen kenar 4’ün katı olmalı. - Adım 3: 3-4-5 üçgeni 2,5 ile çarpılmış (genişletilmiş).
$3 times 2,5 = 7,5$
$5 times 2,5 = 12,5$
$4 times 2,5 = 10$
Sonuç: y = 10 cm
ç. Şıkkı Çözümü:
Burada dik kenarlar 0,3 m ve 0,4 m. Hipotenüs y soruluyor.
- Adım 1: Bu soru çok net bir şekilde 3-4-5 üçgenidir. Sadece sayılar 10’a bölünmüş (0,1 ile çarpılmış).
- Adım 2: Kenarlar 3 ve 4 ile orantılı ise, hipotenüs 5 ile orantılıdır.
- Adım 3: $3 rightarrow 0,3$ ve $4 rightarrow 0,4$ olduğuna göre;
$5 rightarrow 0,5$ olur.
Sonuç: y = 0,5 m
2. Aşağıdaki üçgenlerden hangisinin bir dik üçgen olduğunu belirleyiniz.
Bir üçgenin dik üçgen olup olmadığını anlamak için kenar uzunluklarına bakarız. Eğer en uzun kenarın karesi, diğer iki kenarın kareleri toplamına eşitse ($a^2 + b^2 = c^2$), o bir dik üçgendir.
a. Şıkkı Çözümü:
Kenarlar: 9 cm, 12 cm, 8 cm. (En uzun kenar 12 cm, bu yüzden hipotenüs adayı odur).
- Adım 1: Kısa kenarların karelerini toplayalım:
$8^2 + 9^2 = 64 + 81 = 145$ - Adım 2: En uzun kenarın karesini alalım:
$12^2 = 144$ - Adım 3: Karşılaştıralım:
$145 neq 144$ (Eşit değiller).
Sonuç: a şıkkındaki üçgen bir dik üçgen DEĞİLDİR.
b. Şıkkı Çözümü:
Kenarlar: $8sqrt{2}$ cm, $4sqrt{7}$ cm, 4 cm. Önce hangisinin en uzun olduğunu anlamak için hepsini kök içine alalım.
- $8sqrt{2} = sqrt{64 times 2} = sqrt{128}$ (En büyük bu, hipotenüs adayı)
- $4sqrt{7} = sqrt{16 times 7} = sqrt{112}$
- $4 = sqrt{16}$
- Adım 1: Kısa kenarların karelerini toplayalım:
$(sqrt{112})^2 + (sqrt{16})^2 = 112 + 16 = 128$ - Adım 2: En uzun kenarın karesini alalım:
$(sqrt{128})^2 = 128$ - Adım 3: Karşılaştıralım:
$128 = 128$ (Eşitler!)
Sonuç: b şıkkındaki üçgen bir DİK ÜÇGENDİR.
3. Kare biçimindeki bir parkın alanı 6 400 m²dir. Bu parkın köşegeni boyunca bir yol yapılmıştır. Bu yolun uzunluğu kaç metredir?
Bu problemde önce karenin bir kenarını bulacağız, sonra köşegen uzunluğunu hesaplayacağız.
- Adım 1: Karenin bir kenarını bulma
Alanı verilen bir karenin bir kenarını bulmak için alanın karekökünü alırız.
Alan = $6400 m^2$
Kenar (a) = $sqrt{6400}$
$6400 = 64 times 100$ olduğu için, 64 dışarı 8, 100 dışarı 10 olarak çıkar.
Kenar = $8 times 10 = 80$ metre. - Adım 2: Köşegen uzunluğunu bulma
Kareyi köşegeninden böldüğümüzde iki tane ikizkenar dik üçgen oluşur. Kenarlar 80 m ve 80 m’dir. Köşegen ise hipotenüstür.
Kural: İkizkenar dik üçgende hipotenüs, dik kenarın $sqrt{2}$ katıdır.
Yol Uzunluğu = $Kenar times sqrt{2}$
Yol Uzunluğu = $80sqrt{2}$ metre. - Alternatif Pisagor Yöntemi:
$x^2 = 80^2 + 80^2$
$x^2 = 6400 + 6400$
$x^2 = 12800$
$x = sqrt{12800} = sqrt{6400 times 2} = 80sqrt{2}$
Sonuç: Yolun uzunluğu $80sqrt{2}$ metredir.