8. Sınıf Matematik Ders Kitabı Cevapları Koza Yayınları Sayfa 208

Merhaba sevgili öğrencim. Seninle birlikte 8. Sınıf Matematik dersi “Üçgenler” ünitesindeki Pisagor bağıntısı ile ilgili alıştırmaları çözeceğiz. Bu konuda en önemli kuralımız şudur: Bir dik üçgende, dik kenarların karelerinin toplamı, hipotenüsün (en uzun kenarın) karesine eşittir. Haydi başlayalım!

1. Aşağıdaki dik üçgenlerde y ile gösterilen kenar uzunluklarını bulunuz.

Bu soruda dört farklı üçgenimiz var. Her biri için Pisagor Bağıntısını ($a^2 + b^2 = c^2$) kullanacağız.

a. Şıkkı Çözümü:

Burada dik kenarlardan biri 27 mm, diğeri y ve hipotenüs (90 derecenin karşısı) 45 mm’dir.

• Adım 1: Bağıntımızı kuralım: $y^2 + 27^2 = 45^2$
• Adım 2: Bu sayılar sana tanıdık geldi mi? Bu üçgen aslında özel bir üçgen olan 3-4-5 üçgeninin katlarıdır.
  
  Hipotenüs: $5 times 9 = 45$
  
  Bilinen kenar: $3 times 9 = 27$
  
  O halde bilinmeyen kenar (y): $4 times 9$ olmalıdır.
• Adım 3: İşlemi yapalım: $4 times 9 = 36$
• Alternatif Uzun Yol: $y^2 = 45^2 – 27^2 rightarrow y^2 = 2025 – 729 rightarrow y^2 = 1296 rightarrow y = 36$

Sonuç: y = 36 mm

b. Şıkkı Çözümü:

Burada dik açı K köşesinde. Hipotenüs $9sqrt{3}$ cm, dik kenarlardan biri 12 cm, diğeri y’dir.

• Adım 1: Pisagor bağıntısını yazalım: $y^2 + 12^2 = (9sqrt{3})^2$
• Adım 2: Sayıların karelerini alalım. Köklü sayının karesini alırken hem dışarıdaki sayının karesini alırız hem de kök içindeki sayı kökten kurtulur.
  
  $(9sqrt{3})^2 = 81 times 3 = 243$
  
  $12^2 = 144$
• Adım 3: Denklemi çözelim:
  
  $y^2 + 144 = 243$
  
  $y^2 = 243 – 144$
  
  $y^2 = 99$
• Adım 4: y’yi bulmak için 99’u kök dışına çıkaralım. $99 = 9 times 11$ olduğu için 9 dışarı 3 olarak çıkar.
  
  $y = sqrt{99} = 3sqrt{11}$

Sonuç: y = $3sqrt{11}$ cm

c. Şıkkı Çözümü:

Burada hipotenüs 12,5 cm, dik kenarlardan biri 7,5 cm, diğeri y’dir.

• Adım 1: Ondalık sayılarla uğraşmak zor olabilir. Virgülleri görmezden gelip sayıları 10 ile genişletilmiş gibi düşünelim: 75, 125 ve 10y.
• Adım 2: Bu sayılar yine 3-4-5 üçgeninin katlarıdır. Her sayıyı 25’e bölersek:
  
  $75 div 25 = 3$
  
  $125 div 25 = 5$
  
  Demek ki bilinmeyen kenar 4’ün katı olmalı.
• Adım 3: 3-4-5 üçgeni 2,5 ile çarpılmış (genişletilmiş).
  
  $3 times 2,5 = 7,5$
  
  $5 times 2,5 = 12,5$
  
  $4 times 2,5 = 10$

Sonuç: y = 10 cm

ç. Şıkkı Çözümü:

Burada dik kenarlar 0,3 m ve 0,4 m. Hipotenüs y soruluyor.

• Adım 1: Bu soru çok net bir şekilde 3-4-5 üçgenidir. Sadece sayılar 10’a bölünmüş (0,1 ile çarpılmış).
• Adım 2: Kenarlar 3 ve 4 ile orantılı ise, hipotenüs 5 ile orantılıdır.
• Adım 3: $3 rightarrow 0,3$ ve $4 rightarrow 0,4$ olduğuna göre;
  
  $5 rightarrow 0,5$ olur.

Sonuç: y = 0,5 m

2. Aşağıdaki üçgenlerden hangisinin bir dik üçgen olduğunu belirleyiniz.

Bir üçgenin dik üçgen olup olmadığını anlamak için kenar uzunluklarına bakarız. Eğer en uzun kenarın karesi, diğer iki kenarın kareleri toplamına eşitse ($a^2 + b^2 = c^2$), o bir dik üçgendir.

a. Şıkkı Çözümü:

Kenarlar: 9 cm, 12 cm, 8 cm. (En uzun kenar 12 cm, bu yüzden hipotenüs adayı odur).

• Adım 1: Kısa kenarların karelerini toplayalım:
  
  $8^2 + 9^2 = 64 + 81 = 145$
• Adım 2: En uzun kenarın karesini alalım:
  
  $12^2 = 144$
• Adım 3: Karşılaştıralım:
  
  $145 neq 144$ (Eşit değiller).

Sonuç: a şıkkındaki üçgen bir dik üçgen DEĞİLDİR.

b. Şıkkı Çözümü:

Kenarlar: $8sqrt{2}$ cm, $4sqrt{7}$ cm, 4 cm. Önce hangisinin en uzun olduğunu anlamak için hepsini kök içine alalım.

• $8sqrt{2} = sqrt{64 times 2} = sqrt{128}$ (En büyük bu, hipotenüs adayı)
• $4sqrt{7} = sqrt{16 times 7} = sqrt{112}$
• $4 = sqrt{16}$

• Adım 1: Kısa kenarların karelerini toplayalım:
  
  $(sqrt{112})^2 + (sqrt{16})^2 = 112 + 16 = 128$
• Adım 2: En uzun kenarın karesini alalım:
  
  $(sqrt{128})^2 = 128$
• Adım 3: Karşılaştıralım:
  
  $128 = 128$ (Eşitler!)

Sonuç: b şıkkındaki üçgen bir DİK ÜÇGENDİR.

3. Kare biçimindeki bir parkın alanı 6 400 m²dir. Bu parkın köşegeni boyunca bir yol yapılmıştır. Bu yolun uzunluğu kaç metredir?

Bu problemde önce karenin bir kenarını bulacağız, sonra köşegen uzunluğunu hesaplayacağız.

• Adım 1: Karenin bir kenarını bulma
  
  Alanı verilen bir karenin bir kenarını bulmak için alanın karekökünü alırız.
  
  Alan = $6400 m^2$
  
  Kenar (a) = $sqrt{6400}$
  
  $6400 = 64 times 100$ olduğu için, 64 dışarı 8, 100 dışarı 10 olarak çıkar.
  
  Kenar = $8 times 10 = 80$ metre.
• Adım 2: Köşegen uzunluğunu bulma
  
  Kareyi köşegeninden böldüğümüzde iki tane ikizkenar dik üçgen oluşur. Kenarlar 80 m ve 80 m’dir. Köşegen ise hipotenüstür.
  
  Kural: İkizkenar dik üçgende hipotenüs, dik kenarın $sqrt{2}$ katıdır.
  
  Yol Uzunluğu = $Kenar times sqrt{2}$
  
  Yol Uzunluğu = $80sqrt{2}$ metre.
• Alternatif Pisagor Yöntemi:
  
  $x^2 = 80^2 + 80^2$
  
  $x^2 = 6400 + 6400$
  
  $x^2 = 12800$
  
  $x = sqrt{12800} = sqrt{6400 times 2} = 80sqrt{2}$

Sonuç: Yolun uzunluğu $80sqrt{2}$ metredir.