Merhaba sevgili öğrencilerim! Bugün sizlerle matematik dersimizdeki üçgenler konusunu pekiştirecek harika alıştırmalar çözeceğiz. Hazırsanız başlayalım!
—
1. Verilen ölçülerinden yararlanarak aşağıdaki üçgenlerden hangilerini çizebileceğinizi belirleyiniz.
Bu soruda bizden, verilen kenar ve açı ölçülerine bakarak hangi üçgenlerin çizilip çizilemeyeceğini bulmamız isteniyor. Üçgen çizilebilmesi için bazı kurallarımız vardı, değil mi? Hatırlayalım:
* **Kenar-Açı-Kenar (KAK):** İki kenar uzunluğu ve bu kenarlar arasındaki açının ölçüsü verilirse üçgen çizilebilir.
* **Açı-Kenar-Açı (AKA):** Bir kenar uzunluğu ve bu kenarın iki ucundaki açıların ölçüsü verilirse üçgen çizilebilir.
* **Kenar-Kenar-Kenar (KKK):** Üç kenar uzunluğu verilirse üçgen çizilebilir.
* **Kenar-Kenar-Açı (KKA):** İki kenar uzunluğu ve bu kenarlardan birinin karşısındaki açının ölçüsü verilirse, bazen bir, bazen iki, bazen de hiç üçgen çizilemeyebilir. Bu durum biraz daha karmaşıktır.
Şimdi şıklara tek tek bakalım ve bu kuralları uygulayalım:
a)
Bu üçgende bir kenar uzunluğu (4 cm) ve iki açı ölçüsü (80° ve diğer bir açı, ki bu üçgenin iç açıları toplamı 180° olacağından diğer açıyı bulabiliriz) verilmiş. Yani **Açı-Kenar-Açı (AKA)** durumuna benziyor. Bu şekilde bir üçgen çizebiliriz.
b)
Bu üçgende iki kenar uzunluğu (6 cm ve 6 cm) ve bu kenarlar arasındaki bir açı (50°) verilmiş. Bu durum **Kenar-Açı-Kenar (KAK)** kuralına uyuyor. Dolayısıyla bu üçgeni çizebiliriz.
c)
Bu üçgende üç kenar uzunluğu (7 cm, 6 cm ve 4 cm) verilmiş. Bu **Kenar-Kenar-Kenar (KKK)** durumudur ve bu şekilde bir üçgen çizebiliriz.
d)
Bu üçgende bir kenar uzunluğu (9 cm) ve bu kenarın bir ucundaki açı (105°) ile diğer ucundaki bir kenar uzunluğu (8 cm) verilmiş. Bu durum **Kenar-Kenar-Açı (KKA)** kuralına giriyor. Ancak burada verilenler bir kenar, bir açı ve bu açının komşu olmayan kenarı. Bu durum da KKA’nın özel bir hali olup, üçgenin çizilip çizilemeyeceği durumuna göre değişir. Ancak bize verilenler bir kenar (9 cm), bu kenarın bir ucundaki açı (105°) ve bu kenarın karşısındaki kenar (8 cm). Bu bilgiyle üçgen çizmek mümkün olmayabilir çünkü KKA kuralında genellikle verilen açının karşısındaki kenarın uzunluğu, diğer verilen kenardan daha uzun olmalı veya belirli bir ilişkiyi sağlamalıdır. Tek başına bu bilgilerle üçgen çizimi kesin değildir.
e)
Bu üçgende iki kenar uzunluğu (8 cm ve 5 cm) ve bu kenarlardan birinin arasındaki açı (100°) verilmiş. Bu **Kenar-Açı-Kenar (KAK)** durumuna benziyor. Ancak verilen 100 derecelik açı, 8 cm ve 5 cm kenarlarının arasında değil, 5 cm kenarının karşısındaki açıdır. Yani bu durum **Kenar-Kenar-Açı (KKA)** durumudur. Bu durumda da üçgen çizimi, kenar ve açıların birbirine göre konumuna bağlıdır. Ancak burada 5 cm kenarının karşısındaki açı 100 derece verilmiş. 100 derecelik bir açı geniş açı olduğu için, bu açının karşısındaki kenarın (5 cm) diğer kenardan (8 cm) daha kısa olması gerekir. Bu durum da çizimi zorlaştırır veya imkansız hale getirebilir.
**Sonuç:**
a), b) ve c) şıklarındaki üçgenleri kesin olarak çizebiliriz çünkü verilen bilgiler KAK, AKA veya KKK kurallarına uymaktadır. d) ve e) şıklarında ise KKA kuralı söz konusudur ve bu bilgilerle üçgen çizimi her zaman mümkün olmayabilir veya birden fazla üçgen çizilebilir. Soruda “hangilerini çizebileceğimizi belirleyiniz” dendiği için, kesin olarak çizebileceklerimizi seçmeliyiz.
—
2. Aşağıda bazı elemanlarının ölçüleri verilen üçgenleri uygun araçları kullanarak çiziniz.
Bu soruda bizden, verilen kenar ve açı ölçülerine göre üçgenler çizmektir. Bunun için cetvel ve açıölçer (iletki) kullanacağız.
a)
Verilenler:
m(Â) = 75°
b = 6 cm
c = 4 cm
Burada A açısının ölçüsü ve bu açıya komşu olan b ve c kenarlarının uzunlukları verilmiş. Bu **Kenar-Açı-Kenar (KAK)** durumudur. Çizim adımları şöyledir:
Adım 1: Cetvel yardımıyla 4 cm uzunluğunda bir [AC] kenarı çizin.
Adım 2: A noktasında, açıölçer kullanarak 75 derecelik bir açı çizin. Bu çizginin üzerine b kenarı (6 cm) yerleşecektir.
Adım 3: Açıölçerle çizdiğiniz 75 derecelik ışının üzerine cetvelinizle 6 cm’lik bir işaret koyun. Bu nokta B noktası olacaktır.
Adım 4: B noktasını C noktasına birleştiren bir doğru parçası çizin. Bu sizin c kenarınız olacaktır.
Böylece ABC üçgenini çizmiş olursunuz.
b)
Verilenler:
a = 30 mm
b = 40 mm
c = 50 mm
Burada üç kenar uzunluğu da verilmiş. Bu **Kenar-Kenar-Kenar (KKK)** durumudur. Çizim adımları şöyledir:
Adım 1: Cetvel yardımıyla en uzun kenarı, örneğin c kenarını, 50 mm (yani 5 cm) uzunluğunda çizin. Bu kenara AB diyelim.
Adım 2: A noktasını merkez alarak, yarıçapı b kenarı olan 40 mm’lik bir yay çizin.
Adım 3: B noktasını merkez alarak, yarıçapı a kenarı olan 30 mm’lik bir yay çizin.
Adım 4: İki yayın kesiştiği noktayı C noktası olarak belirleyin.
Adım 5: A noktasını C noktasına ve B noktasını C noktasına birleştiren doğru parçalarını çizin.
Bu şekilde üç kenarı da verilen üçgeni çizmiş olursunuz.
c)
Verilenler:
m(Â) = 65°
m(Ĉ) = 45°
b = 7 cm
Burada bir kenar uzunluğu (b) ve bu kenarın iki ucundaki açıların ölçüsü verilmiş. Ancak bize verilen açılar A ve C açıları, kenar ise b kenarı. B kenarı, A ve C köşeleri arasındadır. Bu durumda **Açı-Kenar-Açı (AKA)** durumudur. Çizim adımları şöyledir:
Adım 1: Cetvel yardımıyla 7 cm uzunluğunda bir [AC] kenarı çizin.
Adım 2: A noktasında, açıölçer kullanarak 65 derecelik bir açı çizin.
Adım 3: C noktasında, açıölçer kullanarak 45 derecelik bir açı çizin.
Adım 4: A noktasındaki 65 derecelik açıdan çıkan ışın ile C noktasındaki 45 derecelik açıdan çıkan ışının kesiştiği noktayı B noktası olarak belirleyin.
Bu şekilde ABC üçgenini çizmiş olursunuz.
d)
Verilenler:
m(Â) = 60°
a = 5 cm
b = 5 cm
Burada bir açı (Â) ve bu açıya komşu olan b kenarı ile bu açının karşısındaki a kenarı verilmiş. Bu **Kenar-Kenar-Açı (KKA)** durumudur. Çizim adımları şöyledir:
Adım 1: Cetvel yardımıyla 5 cm uzunluğunda bir [AC] kenarı çizin.
Adım 2: A noktasında, açıölçer kullanarak 60 derecelik bir açı çizin.
Adım 3: A noktasından çıkan 60 derecelik ışın üzerinde, 5 cm uzaklıkta bir B noktası belirleyin. Bu sizin b kenarınız olacaktır.
Adım 4: B noktasını C noktasına birleştiren bir doğru parçası çizin. Bu sizin a kenarınız olacaktır. Bu kenarın uzunluğunun 5 cm olup olmadığını kontrol edin.
Bu durumda a ve b kenarları eşit olduğu için, bu üçgen ikizkenar bir üçgen olacaktır. Verilen bilgilerle bu üçgeni çizebilirsiniz.
e)
Verilenler:
m(B̂) = m(Ĉ) = 48°
a = 6 cm
Burada iki açının ölçüsü ve bu iki açıya komşu olmayan kenarın uzunluğu verilmiş. İki açı verilmişse, üçüncü açıyı da bulabiliriz çünkü bir üçgenin iç açıları toplamı 180°’dir.
Adım 1: Üçgenin üçüncü açısını bulalım: m(Â) = 180° – (m(B̂) + m(Ĉ)) = 180° – (48° + 48°) = 180° – 96° = 84°.
Şimdi elimizde m(Â) = 84°, m(B̂) = 48°, m(Ĉ) = 48° ve a = 6 cm var. A açısının karşısındaki kenar a=6 cm’dir.
Bu durum **Açı-Kenar-Açı (AKA)** durumuna uyuyor. Çizim adımları şöyledir:
Adım 2: Cetvel yardımıyla 6 cm uzunluğunda bir [BC] kenarı çizin. (Çünkü a kenarı BC kenarıdır.)
Adım 3: B noktasında, açıölçer kullanarak 48 derecelik bir açı çizin.
Adım 4: C noktasında, açıölçer kullanarak 48 derecelik bir açı çizin.
Adım 5: B noktasındaki 48 derecelik açıdan çıkan ışın ile C noktasındaki 48 derecelik açıdan çıkan ışının kesiştiği noktayı A noktası olarak belirleyin.
Bu şekilde ABC üçgenini çizmiş olursunuz. Bu üçgen aynı zamanda ikizkenar bir üçgendir çünkü B ve C açıları eşittir, dolayısıyla bu açılara komşu olan AB ve AC kenarları da eşit olacaktır.
—
3. Bir ABC dik üçgeninde m(B̂) = 90°, |BC| = 5 cm ve m(Â) = 60°dir. Bu üçgeni çiziniz.
Bu soruda bize bir dik üçgenin bazı ölçüleri verilmiş ve bu üçgeni çizmemiz isteniyor.
Verilenler:
m(B̂) = 90°
BC = 5 cm (Bu kenar b kenarıdır)
m(Â) = 60°
Adım 1: Üçgenin iç açıları toplamı 180° olduğundan, C açısını bulabiliriz: m(Ĉ) = 180° – m(Â) – m(B̂) = 180° – 60° – 90° = 30°.
Şimdi elimizde bir dik üçgen var. Bir dik kenarı (BC = 5 cm) ve iki dar açısı (Â = 60°, Ĉ = 30°) verilmiş. Bu **Açı-Kenar-Açı (AKA)** durumuna uyan bir çizimdir.
Adım 2: Cetvel yardımıyla 5 cm uzunluğunda bir [BC] kenarı çizin.
Adım 3: B noktasında, açıölçer kullanarak 90 derecelik bir dik açı çizin. Bu çizgi, üçgenin AB kenarını oluşturacaktır.
Adım 4: C noktasında, açıölçer kullanarak 30 derecelik bir açı çizin.
Adım 5: C noktasından çizdiğiniz 30 derecelik ışının, B noktasından çizdiğiniz dik çizgiyle kesiştiği noktayı A noktası olarak belirleyin.
Bu şekilde ABC dik üçgenini çizmiş olursunuz. Kontrol ederseniz, A noktasındaki açının 60° olduğunu göreceksiniz.
—
4. Bir ABC dik üçgeninde hipotenüsün uzunluğu 6 cm ve bir dar açısının ölçüsü 52°dir. Bu üçgeni çiziniz.
Burada da bir dik üçgen çizmemiz isteniyor.
Verilenler:
Hipotenüs = 6 cm
Bir dar açı = 52°
Adım 1: Dik üçgende bir açı 90°’dir. Diğer dar açı 52° ise, üçüncü açıyı bulabiliriz: 180° – 90° – 52° = 38°.
Yani üçgenimizin açıları 90°, 52° ve 38°’dir. Hipotenüs ise 6 cm’dir.
Şimdi bu bilgileri kullanarak üçgeni çizebiliriz. Bu durum **Açı-Kenar-Açı (AKA)** durumuna uyuyor.
Adım 2: Cetvel yardımıyla 6 cm uzunluğunda bir doğru parçası çizin. Bu, hipotenüsümüz olacaktır. Bu doğru parçasına AB diyelim.
Adım 3: A noktasında, açıölçer kullanarak 52 derecelik bir açı çizin.
Adım 4: B noktasında, açıölçer kullanarak 38 derecelik bir açı çizin.
Adım 5: A noktasından çizdiğiniz 52 derecelik ışın ile B noktasından çizdiğiniz 38 derecelik ışının kesiştiği noktayı C noktası olarak belirleyin. Bu nokta, dik açının olduğu köşe olacaktır.
Bu şekilde hipotenüsü 6 cm ve dar açılarından biri 52° olan dik üçgeni çizmiş olursunuz. Eğer 52° yerine 38° ile başlasaydınız da aynı üçgeni çizebilirdiniz.
—
5. Bir ABC üçgeni ikizkenar üçgendir. Bu üçgenin ikiz kenarlarından birinin uzunluğu 7 cm ve taban açılarından birinin ölçüsü 54°dir. Bu üçgeni çiziniz.
Bu soruda bize bir ikizkenar üçgen çizmemiz söylenmiş.
Verilenler:
İkizkenar üçgen
İkiz kenarlardan biri = 7 cm
Taban açılarından biri = 54°
İkizkenar üçgende taban açıları birbirine eşittir. Taban kenarı, ikiz kenarların birleştiği köşenin karşısındaki kenardır.
Adım 1: İkizkenar üçgende taban açıları eşittir. Yani eğer bir taban açısı 54° ise, diğer taban açısı da 54°’dir. Üçgenin iç açıları toplamı 180° olduğundan, tepe açısını bulabiliriz: 180° – (54° + 54°) = 180° – 108° = 72°.
Şimdi elimizde bir üçgen var. Açıları 54°, 54° ve 72°. İkiz kenarların uzunluğu 7 cm. Bu durumda, 54 derecelik açıların karşısındaki kenarlar 7 cm olmalıdır.
Adım 2: Cetvel yardımıyla 7 cm uzunluğunda bir kenar çizin. Bu kenara AB diyelim.
Adım 3: A noktasında, açıölçer kullanarak 54 derecelik bir açı çizin. Bu açı, AB kenarının bir taban açısı olacaktır.
Adım 4: B noktasında, açıölçer kullanarak 54 derecelik bir açı çizin. Bu açı da diğer taban açısıdır.
Adım 5: A noktasından çizdiğiniz 54 derecelik ışın ile B noktasından çizdiğiniz 54 derecelik ışının kesiştiği noktayı C noktası olarak belirleyin.
Bu şekilde ABC üçgenini çizmiş olursunuz. AC ve BC kenarlarının uzunluğunun da yaklaşık olarak 7 cm olduğunu göreceksiniz. Bu üçgenin tepe açısı 72° olacaktır.
Umarım bu çözümler ve açıklamalar üçgen çizimi konusunu daha iyi anlamanıza yardımcı olmuştur. Hepinize başarılar dilerim!