Merhaba sevgili öğrencim,
Harika sorularla karşı karşıyayız! Matematik dersimizin önemli konularını tekrar etmemizi sağlayacak bu soruları senin için adım adım, tane tane çözeceğim. Anlamadığın bir yer olursa hiç çekinme, tekrar üzerinden geçeriz. Hazırsan, hadi başlayalım!
24. 3x/2 – 4x/5 ≤ -1 eşitsizliğinin çözümü aşağıdakilerden hangisidir?
Bu soruda x’i yalnız bırakmaya çalışacağız, tıpkı denklemlerde yaptığımız gibi. Tek fark, eşitsizliklerde negatif bir sayıyla çarpar veya bölersek eşitsizlik işaretinin yön değiştirmesi. Hadi adım adım ilerleyelim.
- Adım 1: Öncelikle kesirlerle işlem yapabilmek için paydaları eşitlememiz gerekiyor. Birinin paydası 2, diğerinin 5. Bu iki sayının en küçük ortak katı 10’dur. O zaman ilk kesri 5 ile, ikinci kesri 2 ile genişletelim.
(5) * (3x/2) – (2) * (4x/5) ≤ -1
15x/10 – 8x/10 ≤ -1
- Adım 2: Şimdi paydalar eşit olduğuna göre payları birbirinden çıkarabiliriz.
(15x – 8x) / 10 ≤ -1
7x / 10 ≤ -1
- Adım 3: x’i yalnız bırakmak için önce bölü 10’dan kurtulalım. Eşitsizliğin her iki tarafını 10 ile çarpalım. 10 pozitif bir sayı olduğu için eşitsizlik yön değiştirmez.
7x ≤ -1 * 10
7x ≤ -10
- Adım 4: Son olarak x’in katsayısı olan 7’den kurtulmak için her iki tarafı 7’ye bölelim. 7 de pozitif bir sayı olduğu için eşitsizlik yine yön değiştirmez.
x ≤ -10/7
Sonucu x ≤ -10/7 olarak bulduk. Bu da şıklara baktığımızda A seçeneği ile aynıdır.
Doğru Cevap: A
25. Bir dikdörtgenler prizmasının hacmi, bir köşeden çıkan farklı uzunluktaki üç ayrıtının uzunluklarının çarpımına eşittir. Bir karınca, ayrıt uzunlukları tam sayı olan dikdörtgenler prizması biçimindeki bir kutunun yanda gösterilen yüzünün köşegeni boyunca yürüyecektir. Karınca, aşağıda hacimleri verilen hangi prizmada bu işlemi gerçekleştirirse kesinlikle eğimi 1 olan bir yolda yürümüş olur?
Bu soru biraz dikkat istiyor, özellikle “kesinlikle” kelimesi bizim için bir ipucu! Hadi parçalara ayırarak çözelim.
- Adım 1: Eğim ne demekti? Eğim, dikey uzunluğun yatay uzunluğa oranıdır. Karıncanın yürüdüğü yolun eğiminin 1 olması demek, dikey uzunluk ile yatay uzunluğun birbirine eşit olması demektir.
- Adım 2: Karınca prizmanın bir yüzünde yürüyor. Bu yüz bir dikdörtgendir. Karıncanın yürüdüğü yol ise bu dikdörtgenin köşegenidir. Bu köşegenin eğiminin 1 olması, o yüzü oluşturan kenarların (yani prizmanın ayrıtlarının) birbirine eşit olması anlamına gelir. Yani, karıncanın yürüdüğü yüz bir kare olmalıdır.
- Adım 3: Sorudaki “kesinlikle” kelimesi çok önemli. Bu şu anlama geliyor: Karınca hangi yüzü seçerse seçsin, yürüyeceği yolun eğimi hep 1 olmalı. Bir dikdörtgenler prizmasının bütün yüzlerinin kare olması için o prizmanın bir küp olması gerekir. Küpün bütün ayrıtları birbirine eşittir (a = b = c).
- Adım 4: O zaman bizden istenen şey aslında şıklardaki hacimlerden hangisinin bir küpün hacmi olabileceğidir. Küpün hacmi a³ şeklinde bulunur ve ayrıtları tam sayı olduğu için hacmin bir tam sayının küpü (yani tam küp) olması gerekir. Şimdi şıkları inceleyelim:
- A) 216 cm³: 216 sayısı 6’nın küpüdür. (6 x 6 x 6 = 216). Eğer prizmanın ayrıtları 6, 6, 6 olursa bu bir küp olur ve karınca hangi yüzde yürürse yürüsün, 6×6’lık bir karede yürüyeceği için eğim kesinlikle 1 olur. Bu olabilir!
- B) 256 cm³: 256 bir sayının küpü değildir. (6³=216, 7³=343). Örneğin ayrıtlar 4, 4, 16 olabilir. Karınca 4×4’lük yüzde yürürse eğim 1 olur ama 4×16’lık yüzde yürürse eğim 1 olmaz. Yani “kesinlikle” şartını sağlamaz.
- C) 300 cm³: 300 bir tam küp sayı değildir.
- D) 320 cm³: 320 de bir tam küp sayı değildir.
Bu durumda, karıncanın eğiminin kesinlikle 1 olmasını sağlayan tek seçenek, prizmanın bir küp olduğu durumdur. Bu da A seçeneğindeki 216 cm³ hacmidir.
Doğru Cevap: A
B. Aşağıdaki ifadelerden doğru olanların önüne “D”, yanlış olanların önüne “Y” harfi yazınız.
Bu bölümde temel bilgilerimizi yoklayalım.
- (…) 1. x eksenine paralel olan doğruların eğimi 0’a eşittir.
(D) – Doğru! x eksenine paralel doğrular yatay doğrulardır. Yatay doğruların hiç “yokuşu” yani dikey değişimi yoktur. Bu yüzden eğimleri sıfırdır.
- (…) 2. ax + by + c = 0 biçimindeki denkleme ait doğrunun eğimi m = -b/a’dır.
(Y) – Yanlış! Bir doğrunun eğimini bulmak için y’yi yalnız bırakırız. ax + by + c = 0 denkleminde y’yi yalnız bırakalım: by = -ax – c olur. Her tarafı b’ye bölersek y = (-a/b)x – c/b olur. Eğim, x’in önündeki katsayıdır, yani -a/b‘dir. Soruda ise -b/a denmiş.
- (…) 3. Bir eşitliğin her iki yanına aynı işlem uygulanırsa eşitlik bozulmaz.
(D) – Doğru! Bu, terazinin iki kefesine de aynı ağırlığı koymak gibidir. Eşitliğin her iki tarafına aynı sayıyı ekler, çıkarır, çarpar veya (sıfır hariç) bölersek eşitlik korunur.
- (…) 4. Bir eşitsizliğin her iki yanı negatif bir sayı ile çarpılırsa eşitsizlik bozulmaz.
(Y) – Yanlış! Bu çok önemli bir kuraldır. Bir eşitsizliğin her iki tarafını negatif bir sayı ile çarpar veya bölersek, eşitsizlik yön değiştirir. Örneğin, 5 > 3 iken, her iki tarafı -2 ile çarparsak -10 < -6 olur. Gördüğün gibi büyüktür işareti, küçüktür işaretine dönüştü.
C. Aşağıdaki noktalı yerlere uygun ifadeleri yazınız.
Boşlukları doldurma zamanı!
- Koordinat sisteminin 1. bölgesinde 1 ve 2. terimler pozitiftir (+).
- Koordinat sisteminin 4. bölgesindeki 1. terim pozitif (+), 2. terim negatiftir (-).
- y = -4x + 5 denkleminde x değişkeni bağımsız, y değişkeni ise bağımlı değişkendir. (Çünkü y’nin değeri, x’e verdiğimiz değere bağlı olarak değişir.)
Ç. Aşağıda koordinat sistemindeki bölgelerle verilen noktaları eşleyiniz.
Noktaların adreslerini bulalım! Unutma, bir nokta (x, y) şeklinde gösterilir. x pozitifse sağda, negatifse solda; y pozitifse yukarıda, negatifse aşağıdadır.
- I. Bölge: x pozitif (+), y pozitif (+)
- II. Bölge: x negatif (-), y pozitif (+)
- III. Bölge: x negatif (-), y negatif (-)
- IV. Bölge: x pozitif (+), y negatif (-)
Şimdi noktaları yerleştirelim:
- A(-1, 3): x negatif, y pozitif. Bu nokta II. Bölge‘dedir.
- O(0, 0): Bu nokta tam merkez, yani orijin‘dir. Herhangi bir bölgede yer almaz, eksenlerin kesişim noktasıdır.
- B(-5, -8): x negatif, y negatif. Bu nokta III. Bölge‘dedir.
- C(6, 3): x pozitif, y pozitif. Bu nokta I. Bölge‘dedir.
- D(+8, -1): x pozitif, y negatif. Bu nokta IV. Bölge‘dedir.
Umarım tüm çözümler anlaşılır olmuştur. Harika bir iş çıkardın! Başarılar dilerim.