Merhaba sevgili öğrencim, bana gönderdiğin bu güzel soruları senin için adım adım, tane tane çözeceğim. Unutma, matematikte her sorunun bir mantığı vardır ve adımları takip edince ne kadar kolay olduğunu göreceksin. Haydi başlayalım!
10. Soru: √200 – ▲ = 4√2 eşitliğinin sağlanabilmesi için ▲ yerine aşağıdakilerden hangisi yazılmalıdır?
Bu soruda aslında bize “10 elmamdan kaç elma çıkarırsam 4 elmam kalır?” gibi bir soru soruluyor. Ama önce elmaları, yani köklü ifadeleri aynı cinsten yapmalıyız.
Adım 1: Eşitliğin sol tarafındaki √200 ifadesini a√b şeklinde yazalım. 200’ü çarpanlarına ayırdığımızda 100 x 2 olduğunu görürüz. 100 tam kare bir sayıdır ve kök dışına 10 olarak çıkar.
√200 = √(100 x 2) = 10√2
Adım 2: Şimdi bulduğumuz değeri denklemde yerine koyalım.
10√2 – ▲ = 4√2
Adım 3: ▲’yı bulmak için 10√2’den kaçı çıkarırsak 4√2 kalır diye düşünelim. Bu, 10√2 – 4√2 işlemini yapmakla aynı şeydir. Kök içleri aynı olduğu için katsayıları çıkarabiliriz.
▲ = 10√2 – 4√2 = (10 – 4)√2 = 6√2
Sonuç: Doğru cevap B) 6√2‘dir.
11. Soru: 8√10 ÷ 2√10 işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?
Köklü sayılarda bölme işlemi yaparken kuralımız çok basitti: Katsayıları kendi arasında, kök içindeki sayıları da kendi arasında bölüyoruz.
Adım 1: Katsayıları bölelim: 8 ÷ 2 = 4
Adım 2: Kök içindeki sayıları bölelim: √10 ÷ √10 = 1
Adım 3: Bulduğumuz sonuçları çarpalım: 4 x 1 = 4
Sonuç: İşlemin sonucu D) 4‘tür.
12. Soru: Bir dikdörtgenin çevresinin uzunluğu 16√2 birim ve kısa kenarının uzunluğu 3√2 birimdir. Bu dikdörtgenin alanı aşağıdakilerden hangisidir?
Bu soruda alanı bulmamız isteniyor. Alan için kısa kenar ile uzun kenarı çarpmamız lazım. Ama elimizde uzun kenar yok. Onu çevreden bulabiliriz!
Adım 1: Dikdörtgenin çevresi, iki kısa kenar ile iki uzun kenarın toplamıdır. Yani Çevre = 2 x (kısa kenar + uzun kenar).
16√2 = 2 x (3√2 + uzun kenar)
Adım 2: Eşitliğin her iki tarafını 2’ye bölerek bir kısa kenar ile bir uzun kenarın toplamını bulalım.
8√2 = 3√2 + uzun kenar
Adım 3: Uzun kenarı bulmak için 8√2’den 3√2’yi çıkaralım.
Uzun kenar = 8√2 – 3√2 = 5√2
Adım 4: Artık hem kısa kenarı (3√2) hem de uzun kenarı (5√2) biliyoruz. Alanı bulmak için bu ikisini çarpalım. Çarpma işleminde katsayılar kendi arasında, kökler kendi arasında çarpılır.
Alan = (3√2) x (5√2) = (3 x 5) x (√2 x √2) = 15 x 2 = 30
Sonuç: Dikdörtgenin alanı A) 30 br²‘dir.
13. Soru: (8√3 + 5√12) / √108 işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?
Bu işlem gözünü korkutmasın. Yapmamız gereken tek şey, kök içindeki sayıları en sade hallerine getirmek. Böylece toplama ve bölme yapabiliriz.
Adım 1: Kökleri a√b şeklinde yazalım. Genellikle en küçük kök bize ipucu verir. Burada √3 var, diğerlerini de √3’lü yazmayı deneyelim.
- √12 = √(4 x 3) = 2√3
- √108 = √(36 x 3) = 6√3
Adım 2: Şimdi bu değerleri işlemde yerlerine koyalım.
(8√3 + 5 x 2√3) / 6√3
Adım 3: Önce parantez içini, yani pay kısmını halledelim.
8√3 + 10√3 = 18√3
Adım 4: Şimdi işlemimiz şu hale geldi: 18√3 / 6√3. Bölme kuralını uygulayalım.
Katsayılar: 18 ÷ 6 = 3
Kökler: √3 ÷ √3 = 1
Sonuç: 3 x 1 = 3
Sonuç: İşlemin sonucu C) 3‘tür.
14. Soru: -4√3 . 5√5 işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?
Köklü sayılarla çarpma işlemi! Kuralımızı tekrar hatırlayalım: katsayılar katsayılarla, kök içleri kök içleriyle çarpılır. İşaretlere dikkat!
Adım 1: Katsayıları çarpalım. Burada -4 ve 5 var.
-4 x 5 = -20
Adım 2: Kök içindeki sayıları çarpalım. Burada √3 ve √5 var.
√3 x √5 = √(3 x 5) = √15
Adım 3: Bulduğumuz iki sonucu birleştirelim.
-20√15
Sonuç: Cevap C) -20√15‘tir.
15. Soru: Yandaki ABCD dörtgeni dikdörtgen, BEFG dörtgeni ise karedir. |DA| = 6√2 br, |CE| = |EB| ve ABCD dikdörtgeninin çevresinin uzunluğu 36√2 br olduğuna göre dikdörtgen ile karenin alanları farkı aşağıdakilerden hangisidir?
Bu soruda iki farklı şekil var. Sakince her birinin alanını ayrı ayrı bulup sonra farkını alacağız.
Adım 1: ABCD Dikdörtgeninin Alanını Bulalım
- Kısa kenar |DA| = 6√2 br verilmiş.
- Çevresi 36√2 br. Çevrenin yarısı, bir kısa kenar ile bir uzun kenarın toplamıdır: 36√2 / 2 = 18√2.
- Uzun kenarı (|AB|) bulmak için bu toplamdan kısa kenarı çıkarırız: |AB| = 18√2 – 6√2 = 12√2 br.
- Dikdörtgenin Alanı = Kısa Kenar x Uzun Kenar = (6√2) x (12√2) = (6 x 12) x (√2 x √2) = 72 x 2 = 144 br².
Adım 2: BEFG Karesinin Alanını Bulalım
- Karenin bir kenarını bulmamız lazım, mesela |EB|’yi.
- Dikdörtgenin kısa kenarı |BC|, |DA|’ya eşittir. Yani |BC| = 6√2 br.
- Soruda |CE| = |EB| verilmiş. Bu demek oluyor ki E noktası, BC kenarının tam ortasıdır.
- O halde karenin bir kenarı |EB| = |BC| / 2 = (6√2) / 2 = 3√2 br.
- Karenin Alanı = Kenar x Kenar = (3√2) x (3√2) = (3 x 3) x (√2 x √2) = 9 x 2 = 18 br².
Adım 3: Alanların Farkını Bulalım
Alan Farkı = Dikdörtgenin Alanı – Karenin Alanı = 144 – 18 = 126 br²
Sonuç: Alanları farkı B) 126 br²‘dir.
16. Soru: √2,25 – √1,44 + √0,04 işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?
Ondalıklı sayıların karekökü! En kolay yolu, bu sayıları kesir olarak yazmaktır.
Adım 1: Ondalıklı sayıları kesre çevirip kök dışına çıkaralım.
- √2,25 = √(225/100) = √225 / √100 = 15/10 = 1,5
- √1,44 = √(144/100) = √144 / √100 = 12/10 = 1,2
- √0,04 = √(4/100) = √4 / √100 = 2/10 = 0,2
Adım 2: Şimdi işlemi bu sayılarla yapalım.
1,5 – 1,2 + 0,2
Önce çıkarma: 1,5 – 1,2 = 0,3
Sonra toplama: 0,3 + 0,2 = 0,5
Sonuç: İşlemin sonucu A) 0,5‘tir.
17. Soru: √0,16 + √0,49 işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?
Tıpkı bir önceki soru gibi, hemen kesre çeviriyoruz.
Adım 1: Kökleri kesre çevirerek dışarı alalım.
- √0,16 = √(16/100) = 4/10 = 0,4
- √0,49 = √(49/100) = 7/10 = 0,7
Adım 2: Bulduğumuz değerleri toplayalım.
0,4 + 0,7 = 1,1
Sonuç: Cevap B) 1,1‘dir.
18. Soru: √(7/10 + 74/100) – √(0,0036 / 0,36) işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?
Bu son soru biraz daha karmaşık görünüyor ama adımlara böldüğümüzde çok kolaylaşacak. İki köklü ifadeyi ayrı ayrı hesaplayalım.
Adım 1: Birinci Köklü İfadeyi Çözelim
- Önce kök içindeki toplama işlemini yapmalıyız. Paydaları eşitleyelim.
- 7/10 + 74/100 = 70/100 + 74/100 = 144/100
- Şimdi kökünü alalım: √(144/100) = √144 / √100 = 12/10 = 1,2
Adım 2: İkinci Köklü İfadeyi Çözelim
- Kök içindeki ondalıklı bölme işlemini virgülden kurtararak yapalım. Payı ve paydayı 10000 ile çarpabiliriz (virgülden sonra en çok basamağı olana göre).
- 0,0036 / 0,36 = (0,0036 x 10000) / (0,36 x 10000) = 36 / 3600
- Bu kesri sadeleştirebiliriz: 36 / 3600 = 1 / 100
- Şimdi kökünü alalım: √(1/100) = √1 / √100 = 1/10 = 0,1
Adım 3: Sonuçları Birbirinden Çıkaralım
1,2 – 0,1 = 1,1
Sonuç: İşlemin sonucu A) 1,1‘dir.
Umarım çözümler anlaşılır olmuştur. Gördüğün gibi, kuralları bildiğimizde ve adım adım ilerlediğimizde en zor görünen sorular bile çözülebiliyor. Başarılar dilerim