Merhaba canım öğrencim! Matematik dersinde üçgenlerle ilgili alıştırmaları çözerken sana yardımcı olmak için buradayım. Hadi gel, bu soruları birlikte adım adım çözelim ve iyice anlayalım.
1. Yandaki üçgenin açılarının büyükten küçüğe doğru sıralayınız.
Bu soruda bize bir üçgen verilmiş ve kenar uzunlukları üzerinde yazıyor. Üçgenin kenar uzunlukları ile o kenarın karşısındaki açının büyüklüğü arasında bir ilişki vardır. Büyük kenarın karşısında büyük açı, küçük kenarın karşısında küçük açı bulunur.
Adım 1: Üçgenin kenar uzunluklarını belirleyelim.
- AB kenarı: 9 cm
- BC kenarı: 8 cm
- AC kenarı: 5 cm
Adım 2: Kenar uzunluklarını büyükten küçüğe doğru sıralayalım.
- 9 cm > 8 cm > 5 cm
Adım 3: Kenar uzunluklarının karşısındaki açıları bulalım.
- En uzun kenar AB (9 cm) ise, karşısındaki açı C açısıdır.
- Ortanca kenar BC (8 cm) ise, karşısındaki açı A açısıdır.
- En kısa kenar AC (5 cm) ise, karşısındaki açı B açısıdır.
Adım 4: Açılar arasındaki ilişkiyi kenar uzunluklarına göre kuralım.
- 9 cm > 8 cm > 5 cm
- Açılar da bu sıraya göre sıralanacaktır: C > A > B
Sonuç: Üçgenin açıları büyükten küçüğe doğru C, A, B olarak sıralanır.
2. Yandaki üçgenin kenarlarını büyükten küçüğe doğru sıralayınız.
Bu soruda bize bir üçgen verilmiş ve üç açısının ölçüsü verilmiş. Burada da az önceki sorunun tam tersi bir durum söz konusu. Büyük açının karşısında büyük kenar, küçük açının karşısında küçük kenar bulunur.
Adım 1: Üçgenin açılarını belirleyelim.
- Açılar: 38°, 83°, 59°
Adım 2: Açıları büyükten küçüğe doğru sıralayalım.
- 83° > 59° > 38°
Adım 3: Açıların karşısındaki kenarları bulalım.
- En büyük açı 83° ise, karşısındaki kenar EF kenarıdır.
- Ortanca açı 59° ise, karşısındaki kenar DE kenarıdır.
- En küçük açı 38° ise, karşısındaki kenar DF kenarıdır.
Adım 4: Kenar uzunlukları arasındaki ilişkiyi kurarak büyükten küçüğe doğru sıralayalım.
- 83° > 59° > 38°
- Kenarlar da bu sıraya göre sıralanacaktır: EF > DE > DF
Sonuç: Üçgenin kenarları büyükten küçüğe doğru EF, DE, DF olarak sıralanır.
3. Aşağıdaki üçgenlerin en kısa kenarını verilen ölçülerden yararlanarak bulunuz.
Bu soruda bize üç farklı üçgen verilmiş ve her birinde bazı açılar veya kenarlar arasındaki eşitlikler belirtilmiş. Bizden bu üçgenlerdeki en kısa kenarı bulmamız isteniyor. Hatırlayalım, en kısa kenarın karşısındaki açı en küçüktür ve aynı ölçüdeki iki açının karşısındaki kenarlar da eşittir.
a)
Bu üçgende D açısı 56° olarak verilmiş. E ve F köşelerindeki açılar hakkında bilgi verilmemiş ama iki kenarında da çift çizgi olduğunu görüyoruz. Bu, bu iki kenarın birbirine eşit olduğu anlamına gelir.
Adım 1: Eşit kenarların karşısındaki açıları belirleyelim.
- DF kenarı ile DE kenarı eşit uzunluktadır (çift çizgilerle gösterilmiş).
- DF kenarının karşısındaki açı E açısıdır.
- DE kenarının karşısındaki açı F açısıdır.
Adım 2: Eşit açıları bulalım.
- DF = DE olduğundan, E açısı = F açısı olmalıdır.
Adım 3: Üçgenin iç açılarının toplamından E ve F açılarının ölçüsünü bulalım.
- Üçgenin iç açıları toplamı 180°’dir.
- D açısı = 56°
- E açısı + F açısı + D açısı = 180°
- E açısı + F açısı + 56° = 180°
- E açısı + F açısı = 180° – 56°
- E açısı + F açısı = 124°
Adım 4: E ve F açılarının değerini bulalım.
- E açısı = F açısı olduğundan, 124°’yi ikiye böleriz.
- E açısı = 124° / 2 = 62°
- F açısı = 124° / 2 = 62°
Adım 5: Açıları büyükten küçüğe doğru sıralayalım.
- F açısı = 62°
- E açısı = 62°
- D açısı = 56°
Adım 6: En küçük açıyı ve onun karşısındaki kenarı belirleyelim.
- En küçük açı D açısıdır (56°).
- D açısının karşısındaki kenar EF kenarıdır.
Sonuç (a): En kısa kenar EF kenarıdır.
b)
Bu üçgende A açısı 48° olarak verilmiş. B köşesinde dik açı (90°) var ve C köşesindeki açı hakkında bilgi verilmemiş. Bu bir dik üçgendir.
Adım 1: Üçgenin iç açılarının toplamından C açısının ölçüsünü bulalım.
- A açısı = 48°
- B açısı = 90°
- A açısı + B açısı + C açısı = 180°
- 48° + 90° + C açısı = 180°
- 138° + C açısı = 180°
- C açısı = 180° – 138°
- C açısı = 42°
Adım 2: Açıları büyükten küçüğe doğru sıralayalım.
- B açısı = 90°
- A açısı = 48°
- C açısı = 42°
Adım 3: En küçük açıyı ve onun karşısındaki kenarı belirleyelim.
- En küçük açı C açısıdır (42°).
- C açısının karşısındaki kenar AB kenarıdır.
Sonuç (b): En kısa kenar AB kenarıdır.
c)
Bu üçgende K açısı 3x + 8°, L açısı 4x, M açısı ise 3x + 52° olarak verilmiş. Bu bir üçgen olduğundan iç açılarının toplamı 180° olmalıdır.
Adım 1: Üçgenin iç açılarının toplamını kullanarak x’in değerini bulalım.
- K açısı + L açısı + M açısı = 180°
- (3x + 8°) + (4x) + (3x + 52°) = 180°
Adım 2: Denklemi çözelim.
- x’li terimleri ve sabit terimleri ayrı ayrı toplayalım:
- (3x + 4x + 3x) + (8° + 52°) = 180°
- 10x + 60° = 180°
- 10x = 180° – 60°
- 10x = 120°
- x = 120° / 10
- x = 12°
Adım 3: Bulduğumuz x değerini kullanarak her bir açının ölçüsünü hesaplayalım.
- K açısı = 3x + 8° = 3 * 12° + 8° = 36° + 8° = 44°
- L açısı = 4x = 4 * 12° = 48°
- M açısı = 3x + 52° = 3 * 12° + 52° = 36° + 52° = 88°
Adım 4: Açıları büyükten küçüğe doğru sıralayalım.
- M açısı = 88°
- L açısı = 48°
- K açısı = 44°
Adım 5: En küçük açıyı ve onun karşısındaki kenarı belirleyelim.
- En küçük açı K açısıdır (44°).
- K açısının karşısındaki kenar LM kenarıdır.
Sonuç (c): En kısa kenar LM kenarıdır.
4. Yandaki dik üçgenin en kısa kenarının hangi kenar olduğunu belirleyiniz.
Bu soruda bize bir dik üçgen verilmiş ve açılarının ölçüleri $3x – 4°$, $2x + 9°$ ve 90° olarak verilmiş. Dik üçgen olduğu için bir açısı 90°’dir. Bizden en kısa kenarı bulmamız isteniyor. Yine hatırlayalım, en kısa kenarın karşısındaki açı en küçüktür.
Adım 1: Üçgenin iç açılarının toplamını kullanarak x’in değerini bulalım.
- A açısı = $3x – 4°$
- C açısı = $2x + 9°$
- B açısı = 90°
- A açısı + B açısı + C açısı = 180°
- $(3x – 4°) + 90° + (2x + 9°) = 180°$
Adım 2: Denklemi çözelim.
- x’li terimleri ve sabit terimleri ayrı ayrı toplayalım:
- $(3x + 2x) + (-4° + 90° + 9°) = 180°$
- $5x + 95° = 180°$
- $5x = 180° – 95°$
- $5x = 85°$
- $x = 85° / 5$
- $x = 17°$
Adım 3: Bulduğumuz x değerini kullanarak A ve C açılarının ölçüsünü hesaplayalım.
- A açısı = $3x – 4° = 3 * 17° – 4° = 51° – 4° = 47°$
- C açısı = $2x + 9° = 2 * 17° + 9° = 34° + 9° = 43°$
Adım 4: Üçgenin açılarını büyükten küçüğe doğru sıralayalım.
- B açısı = 90°
- A açısı = 47°
- C açısı = 43°
Adım 5: En küçük açıyı ve onun karşısındaki kenarı belirleyelim.
- En küçük açı C açısıdır (43°).
- C açısının karşısındaki kenar AB kenarıdır (küçük ‘a’ harfi ile gösterilmiş).
Sonuç: Bu dik üçgenin en kısa kenarı AB kenarıdır.
5. Yandaki ABD ve BCD üçgenlerindeki açı ölçülerinden yararlanarak en uzun kenarı belirleyiniz.
Bu soruda bize iki üçgen bir arada verilmiş: ABD ve BCD. Bu üçgenlerdeki açıları kullanarak en uzun kenarı bulmamız isteniyor. En uzun kenarın karşısındaki açı en büyüktür kuralını hatırlayarak ilerleyeceğiz.
Adım 1: ABD üçgenindeki açıları bulalım.
- A açısı = 78°
- B açısı (ABD açısı) = 26°
- ABD üçgeninin iç açıları toplamı 180° olmalıdır.
- ADB açısı = 180° – (78° + 26°)
- ADB açısı = 180° – 104°
- ADB açısı = 76°
Adım 2: ABD üçgenindeki açıları büyükten küçüğe doğru sıralayalım.
- A açısı = 78°
- ADB açısı = 76°
- ABD açısı = 26°
Adım 3: ABD üçgenindeki en büyük açıyı ve onun karşısındaki kenarı belirleyelim.
- En büyük açı A açısıdır (78°).
- A açısının karşısındaki kenar BD kenarıdır.
Adım 4: BCD üçgenindeki açıları bulalım.
- C açısı = 28°
- BDC açısı = 180° – ADB açısı (çünkü bunlar bütünler açılardır ve toplamları 180° olmalıdır).
- BDC açısı = 180° – 76°
- BDC açısı = 104°
- BCD üçgeninin iç açıları toplamı 180° olmalıdır.
- CBD açısı = 180° – (BDC açısı + C açısı)
- CBD açısı = 180° – (104° + 28°)
- CBD açısı = 180° – 132°
- CBD açısı = 48°
Adım 5: BCD üçgenindeki açıları büyükten küçüğe doğru sıralayalım.
- BDC açısı = 104°
- CBD açısı = 48°
- C açısı = 28°
Adım 6: BCD üçgenindeki en büyük açıyı ve onun karşısındaki kenarı belirleyelim.
- En büyük açı BDC açısıdır (104°).
- BDC açısının karşısındaki kenar BC kenarıdır.
Adım 7: İki üçgende de en uzun kenarları karşılaştıralım.
- ABD üçgeninde en uzun kenar BD kenarıdır.
- BCD üçgeninde en uzun kenar BC kenarıdır.
Adım 8: Şimdi BD ve BC kenarlarının uzunluklarını karşılaştırmamız gerekiyor. Bunu yapabilmek için iki üçgendeki tüm açıları ve kenarları incelemeliyiz.
ABD üçgeninde en uzun kenar BD’dir. BCD üçgeninde en uzun kenar BC’dir. Bu iki kenardan hangisinin daha uzun olduğunu kesin olarak belirlemek için daha fazla bilgiye ihtiyacımız olabilir. Ancak soruda bizden ‘en uzun kenarı belirleyin’ deniliyor ve bu genelde şekle göre veya verilen bilgilerle yorumlanabilecek bir durumdur.
Dikkatli bakarsak, BDC açısı 104° ile en büyük açıdır. Bu açının karşısındaki kenar BC’dir. Dolayısıyla, bu iki üçgenin oluşturduğu şeklin tamamındaki en uzun kenar BC kenarıdır.
Sonuç: Verilen üçgenlerdeki açı ölçülerinden yararlanarak yapılan incelemede, BC kenarı en uzun kenardır.
Umarım bu çözümler sana yardımcı olmuştur canım öğrencim. Anlamadığın bir yer olursa lütfen çekinmeden tekrar sor. Başarılar dilerim!