Merhaba sevgili öğrencilerim,
Umarım iyisinizdir. Bana gönderdiğiniz bu güzel soruları şimdi sizin için bir öğretmeniniz olarak tane tane, adım adım çözeceğim. Unutmayın, matematikte en önemli şey adımları doğru takip etmek ve ne yaptığımızı anlamaktır. Haydi başlayalım!
7. Soru: Yanda cebir karoları ile modellenmiş işleme ait matematik cümlesi aşağıdakilerden hangisidir?
Bu tür sorularda modelin kenar uzunluklarını ve içindeki toplam alanı bularak işlemimizi oluştururuz. Tıpkı bir dikdörtgenin alanını bulur gibi, “kısa kenar çarpı uzun kenar” yapacağız.
- Adım 1: Öncelikle modelin kenarlarını bulalım.
Modelin üst kenarına baktığımızda iki tane ‘x’ karosu ve üç tane ‘1’ karosu görüyoruz. Bu durumda üst kenarın uzunluğu (2x + 3) olur.
Modelin sol kenarına baktığımızda ise bir tane ‘x’ karosu ve bir tane ‘1’ karosu görüyoruz. Bu durumda sol kenarın uzunluğu ise (x + 1) olur.
Bu iki kenarı çarptığımızda yapacağımız işlemi buluruz: (2x + 3) . (x + 1)
- Adım 2: Şimdi modelin içindeki toplam alanı, yani çarpımın sonucunu bulalım.
Modelin içine baktığımızda;
- 2 tane büyük mavi kare var. Her birinin alanı x . x = x²’dir. Toplamda 2x² yapar.
- 5 tane pembe dikdörtgen var. Her birinin alanı x . 1 = x’tir. Toplamda 5x yapar.
- 3 tane küçük sarı kare var. Her birinin alanı 1 . 1 = 1’dir. Toplamda 3 yapar.
Bunların hepsini topladığımızda modelin alanı, yani işlemin sonucu: 2x² + 5x + 3 olur.
- Adım 3: Son olarak bulduğumuz işlemi ve sonucu birleştirelim.
(2x + 3) . (x + 1) = 2x² + 5x + 3
Bu sonuç şıklara baktığımızda D seçeneği ile eşleşiyor.
Sonuç: D
8. Soru: (6x – 1) . (–3x + 4) işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?
Bu soruda parantez içindeki ifadeleri birbiriyle çarpacağız. Bunu yaparken dağılma özelliğini kullanırız. Yani, birinci parantezdeki her bir terimi, ikinci parantezdeki her bir terimle teker teker çarparız. İşaretlere çok dikkat edelim!
- Adım 1: Birinci parantezdeki 6x terimini ikinci parantezdeki terimlerle çarpalım.
(6x) . (–3x) = –18x²
(6x) . (+4) = +24x
- Adım 2: Şimdi de birinci parantezdeki –1 terimini ikinci parantezdeki terimlerle çarpalım.
(–1) . (–3x) = +3x (Unutma, eksi ile eksinin çarpımı artıdır!)
(–1) . (+4) = –4
- Adım 3: Bulduğumuz bütün sonuçları bir araya getirelim ve benzer terimleri toplayalım.
–18x² + 24x + 3x – 4
Burada ‘x’li terimler olan 24x ve 3x benzer terimlerdir. Bunları toplayabiliriz.
24x + 3x = 27x
Son haliyle ifademiz: –18x² + 27x – 4 olur.
- Adım 4: Şıklara baktığımızda bu sonucun B seçeneğinde olduğunu görüyoruz.
Sonuç: B
9. Soru: Aşağıdaki eşitliklerden hangisi özdeşlik değildir?
Çocuklar, bu soruyu çözmeden önce “özdeşlik” ve “denklem” arasındaki farkı hatırlayalım. Özdeşlik, içindeki değişkenlere hangi sayıyı verirsek verelim her zaman doğru çıkan eşitliklerdir. Denklem ise sadece belirli bir veya birkaç değer için doğru olan eşitliklerdir. Bizden özdeşlik olmayanı, yani denklemi bulmamız isteniyor.
- A) 24x = –5x + 58: Bu ifadeyi çözmeye çalışalım. –5x’i sol tarafa atarsak 24x + 5x = 58, yani 29x = 58 olur. Buradan x=2 buluruz. Gördüğünüz gibi bu eşitlik sadece x=2 için doğrudur. Bu yüzden bu bir denklemdir.
- B) 16a² – 4b² = (4a – 2b) . (4a + 2b): Bu, çok iyi bildiğimiz iki kare farkı özdeşliğidir. (x² – y²) = (x – y)(x + y). Burada x yerine 4a, y yerine 2b gelmiş. Bu bir özdeşliktir.
- C) (x + 3)² = x² + 6x + 9: Bu da tam kare özdeşliğidir. (a + b)² = a² + 2ab + b². Birincinin karesi (x²), birinci ile ikincinin çarpımının iki katı (2.x.3=6x), ikincinin karesi (3²=9). Bu bir özdeşliktir.
- D) x² – 10x + 25 = (x – 5) . (x – 5): Bu da (x-5)²’nin açılımıdır. Yani bir tam kare özdeşliğidir. (a – b)² = a² – 2ab + b². Bu da bir özdeşliktir.
Soru bizden özdeşlik olmayanı istediği için cevabımız A seçeneğidir.
Sonuç: A
10. Soru: Aşağıdakilerden hangisi (3y – 2n)² ifadesine eşittir?
Bu soruda tam kare özdeşliklerinden (a – b)² = a² – 2ab + b² formülünü kullanacağız. Formülü ezbere bilmek bize hız kazandırır!
- Adım 1: Formüldeki ‘a’ ve ‘b’ yerine sorudaki terimleri koyalım.
Burada birinci terimimiz ‘a’ = 3y
İkinci terimimiz ‘b’ = 2n
- Adım 2: Şimdi formülü uygulayalım: (Birincinin karesi) – (Birinci ile ikincinin çarpımının 2 katı) + (İkincinin karesi)
Birincinin karesi: (3y)² = 9y²
Birinci ile ikincinin çarpımının 2 katı: 2 . (3y) . (2n) = 12yn
İkincinin karesi: (2n)² = 4n²
- Adım 3: Bu terimleri formüldeki yerlerine yerleştirelim.
9y² – 12yn + 4n²
Bu sonuç C seçeneği ile aynıdır.
Sonuç: C
11. Soru: Aşağıdakilerden hangisi 3 . (4x² – 25y²) ifadesine eşittir?
Bu soruda hem ortak çarpan parantezi hem de iki kare farkı özdeşliği bir arada verilmiş. Gözümüz korkmasın, adım adım gidelim.
- Adım 1: Önce parantezin içindeki (4x² – 25y²) ifadesine odaklanalım. Bu ifade size de iki kare farkı özdeşliğini (a² – b²) hatırlattı mı? Harika!
Burada 4x², (2x)‘in karesidir.
25y² ise (5y)‘nin karesidir.
- Adım 2: İki kare farkı özdeşliği formülü olan (a² – b²) = (a – b)(a + b)’yi uygulayalım.
a = 2x ve b = 5y olduğuna göre;
(4x² – 25y²) = (2x – 5y) . (2x + 5y)
- Adım 3: Şimdi ifadenin en başındaki ‘3’ çarpanını unutmayalım ve bulduğumuz sonucun başına ekleyelim.
3 . (2x – 5y) . (2x + 5y)
Bu sonuç şıklardan B seçeneği ile uyuşuyor.
Sonuç: B
12. Soru: (■x – 7)² = 9x² – ▲x + 49 eşitliği bir özdeşliktir. Buna göre ■ ve ▲ yerine gelecek sayılar aşağıdakilerin hangisinde doğru verilmiştir?
Bu soru, bir önceki tam kare sorusunun tersten sorulmuş hali. Yine (a – b)² = a² – 2ab + b² özdeşliğini kullanacağız ve eksik parçaları bulacağız.
- Adım 1: Verilen eşitliği ve formülü alt alta yazıp karşılaştıralım.
( ■x – 7 )² = 9x² – ▲x + 49
( a – b )² = a² – 2ab + b²
- Adım 2: Bilinenlerden yola çıkarak bilinmeyenleri bulalım.
Eşitliğin en sonundaki +49, formüldeki b²‘ye karşılık gelir. Neyin karesi 49’dur? 7’nin. Zaten parantez içinde de ikinci terim 7 olarak verilmiş. Bu kısım tamam.
Eşitliğin başındaki 9x², formüldeki a²‘ye karşılık gelir. Parantez içindeki ilk terimimiz ‘■x’ olduğuna göre, (■x)² = 9x² olmalıdır. Hangi sayının karesi 9 eder? 3’ün. Demek ki ■ = 3 olmalı.
- Adım 3: Şimdi ortadaki terimi bulalım. Ortadaki terim formülde –2ab idi.
a’yı 3x olarak bulduk (çünkü ■=3).
b’yi 7 olarak biliyoruz.
O zaman –2ab = –2 . (3x) . (7) = –42x olur.
Eşitlikteki ortadaki terim ise –▲x idi. Demek ki –▲x = –42x olmalı. Buradan ▲ = 42 sonucuna ulaşırız.
- Adım 4: Sonuçlarımızı toparlayalım:
■ = 3
▲ = 42
Bu değerler D seçeneğinde doğru olarak verilmiştir.
Sonuç: D
Umarım çözümler anlaşılır olmuştur. Anlamadığınız bir yer olursa çekinmeden tekrar sorun. Başarılar dilerim