8. Sınıf Matematik Ders Kitabı Cevapları Koza Yayınları Sayfa 154

4. Bir traktör ile günde ortalama 6 dönüm tarla sürülebilmektedir. Traktör ile 1, 2, 3, 4 … günde sürülen tarlanın alanı aşağıdaki tabloda verilmiştir. Tabloya göre soruları cevaplayınız.

Sevgili öğrencim, bu soru 8. sınıf “Doğrusal Denklemler” konusunun temelini oluşturan, değişkenler arasındaki ilişkiyi anlamamızı sağlayan güzel bir örnek. Gel seninle bu tabloyu inceleyip adım adım soruları cevaplayalım.

Çözüm Adımları:

Adım 1: Tabloyu Analiz Etme
Tabloya baktığımızda çok düzenli bir artış görüyoruz.

• 1. gün: $1 times 6 = 6$ dönüm
• 2. gün: $2 times 6 = 12$ dönüm
• 3. gün: $3 times 6 = 18$ dönüm
• Her gün sürülen alan, gün sayısının tam 6 katı oluyor.

Burada “Gün sayısı”nı x, “Sürülen tarla alanını” y olarak isimlendirmişler.

Adım 2: Soruları Cevaplama

a. Zaman ile traktörün sürdüğü alanın ilişkisine ait denklemi yazınız.
İlişkiyi fark ettin değil mi? Alan ($y$), gün sayısının ($x$) her zaman 6 katı. Matematik dilinde “katı” demek çarpma işlemi demektir. O halde denklemimiz şöyle olur:

y = 6x

(Burada $y$ toplam alan, $x$ ise geçen gün sayısıdır.)

b. Denkleme ait çizgi grafiğini çiziniz.
Burada sana grafiği nasıl çizeceğini tarif edeceğim, sen de kareli defterine kolayca çizebilirsin:

• Bir koordinat sistemi çiz. Yatay eksene (x ekseni) “Gün Sayısı”, dikey eksene (y ekseni) “Alan (Dönüm)” yaz.
• Tablodaki noktaları işaretle: (1, 6), (2, 12), (3, 18), (4, 24).
• Bir de henüz hiç çalışılmayan zamanı düşün; 0. günde 0 dönüm sürülür, yani (0,0) noktasını da işaretle.
• Şimdi bu noktaları birleştiren dümdüz bir çizgi çek. İşte grafiğin hazır!

c. Grafiğin doğrusal olup olmadığını söyleyiniz.
Çizdiğin çizgiyi incele. Noktaları birleştirdiğinde ortaya kırık olmayan, dümdüz bir çizgi çıktı değil mi? Artış miktarı (her gün 6 dönüm) sabit olduğu için bu grafik doğrusaldır.

ç. Grafiğin orijinden geçip geçmediğini söyleyiniz.
Orijin, koordinat sisteminin tam göbeğindeki (0,0) noktasıdır. Traktör çalışmaya başlamadan önce (0. gün) sürülen tarla miktarı 0’dır. Yani grafik (0,0) noktasından başlar. Bu yüzden grafik orijinden geçer.

d. Grafiğin eksenlere paralel olup olmadığını söyleyiniz.
Grafiğimiz (0,0)’dan başlayıp sağ yukarı doğru yükselen bir rampaya benziyor. Ne yatay (x eksenine paralel) ne de dikey (y eksenine paralel) duruyor. Eğik bir çizgidir. Bu yüzden grafik eksenlere paralel değildir.

e. Değişkenlerden hangisinin bağımlı, hangisinin bağımsız olduğunu söyleyiniz.
Bu kısım çok önemli, mantığını şöyle kurabilirsin:

• Tarla miktarı neye göre değişiyor? Geçen zamana (güne) göre.
• Zaman kendi kendine akar (Bağımsız).
• Ama sürülen alan zamana bağlı olarak artar (Bağımlı).

Sonuç olarak:
Bağımsız Değişken: Gün sayısı (x)
Bağımlı Değişken: Tarla alanı (y)

5. Bir iş makinesi ile saatte ortalama 3 m kanal kazılmaktadır. Daha önceden 5 m kanal kazılmış ve iş makinesi ile kanal kazılmaya devam edilmiştir. Buna göre 1, 2, 3 … saat sonunda kazılmış toplam kanal uzunluklarını bir tabloda gösteriniz. Tablodan yararlanarak soruları cevaplayınız.

Şimdi ikinci soruya geçelim. Burada dikkat etmen gereken küçük bir tuzak var: “Daha önceden kazılmış 5 metre”. Yani işe sıfırdan başlamıyoruz, elimizde zaten 5 metre var.

Çözüm Adımları:

Adım 1: Tabloyu Oluşturma
Önce zihnimizde canlandıralım. Başlangıçta 5 metre var. Her saat buna 3 metre ekleyeceğiz.

• Başlangıç (0. saat): 5 metre (Hazırda var)
• 1. Saat: 5 (eski) + 3 (yeni) = 8 metre
• 2. Saat: 5 (eski) + 3 + 3 = 11 metre (veya $5 + 2 times 3$)
• 3. Saat: 5 (eski) + 3 + 3 + 3 = 14 metre (veya $5 + 3 times 3$)

Tabloyu şöyle düşünebilirsin:
Saat (x): 1, 2, 3
Uzunluk (y): 8, 11, 14

Adım 2: Soruları Cevaplama

a. Kazılmış kanal uzunluğu ile zaman arasındaki ilişkiye ait denklemi yazınız.
Denklemi kurarken şu formülü kullanırız: Toplam = Başlangıç Değeri + (Değişim Miktarı $times$ Zaman)

• Başlangıçta elimizde ne var? 5 metre.
• Her saat ne kadar artıyor? 3 metre.
• Zaman (saat) ne? x.
• Toplam uzunluk ne? y.

Denklemimiz:

y = 3x + 5

(Burada $3x$, çalışılan sürede kazılan miktar; $+5$ ise önceden var olan miktardır.)

b. Denkleme ait çizgi grafiğini oluşturunuz.
Yine hayali defterimize çizelim:

• Koordinat sistemini çiz. Yatay eksen “Zaman (Saat)”, dikey eksen “Uzunluk (m)”.
• Dikkat! Zaman 0 iken uzunluk 0 değil, 5’tir. Yani grafiğimiz y ekseni üzerindeki 5 noktasından başlayacak.
• Noktaları işaretle: (0, 5), (1, 8), (2, 11).
• 5’ten başlayıp sağ yukarı doğru giden düz bir çizgi çiz.

c. Denklemin doğrusal olup olmadığını söyleyiniz.
Her saat düzenli olarak 3 metre artış olduğu için değişim sabittir. Grafiği çizdiğimizde de düz bir çizgi elde ederiz. Bu yüzden bu denklem ve ilişki doğrusaldır.

Not: Bu grafik orijinden (0,0) geçmez, çünkü başlangıçta 5 metrelik bir uzunluk vardır.