5. Aşağıda koordinat sistemlerinde verilen doğruların eğimlerini bulunuz.
Sevgili öğrencim, bir doğrunun eğimini grafikten bulurken “Dikey Uzunluk bölü Yatay Uzunluk” kuralını kullanırız. Ayrıca doğrunun yönüne bakarak işaretini belirleriz. Eğer doğru sağa yatıksa (yokuş yukarı gibi) eğim pozitif (+), sola yatıksa (yokuş aşağı gibi) eğim negatif (-) olur.
a.
- Adım 1: Grafiğe baktığımızda doğrunun x eksenini -2’de, y eksenini 4’te kestiğini görüyoruz. Burada oluşan dik üçgeni hayal edelim.
- Adım 2: Dikey uzunluk (y ekseni üzerindeki mesafe) 4 birimdir.
- Adım 3: Yatay uzunluk (x ekseni üzerindeki mesafe, 0 ile -2 arası) 2 birimdir.
- Adım 4: Doğru sağa yatık olduğu için eğim pozitiftir.
- Adım 5: Eğim (m) = Dikey / Yatay = 4 / 2 = 2
Sonuç: Bu doğrunun eğimi 2‘dir.
b.
- Adım 1: Grafikte doğru y eksenini -1’de, x eksenini 4’te kesiyor.
- Adım 2: Dikey uzunluk (0 ile -1 arası mesafe) 1 birimdir.
- Adım 3: Yatay uzunluk (0 ile 4 arası mesafe) 4 birimdir.
- Adım 4: Doğru sağa yatık olduğu için eğim pozitiftir.
- Adım 5: Eğim (m) = Dikey / Yatay = 1 / 4
Sonuç: Bu doğrunun eğimi 1/4‘tür.
6. Yandaki koordinat sisteminde verilen doğrunun eğimi m = -5/3 olduğuna göre a kaçtır?
Burada bize eğimi vermiş ve grafikteki bilinmeyen ‘a’ değerini soruyor. Doğru sola yatık olduğu için eğimin negatif olması gayet normal. Hadi işlemi yapalım.
- Adım 1: Doğrunun geçtiği noktaları belirleyelim. Doğru y eksenini ‘a’ noktasında, x eksenini 3 noktasında kesiyor.
- Adım 2: Dikey uzunluğumuz ‘a’ birim, yatay uzunluğumuz 3 birimdir.
- Adım 3: Doğru sola yatık olduğu için eğim formülümüz: m = – (Dikey / Yatay) şeklinde olacaktır.
- Adım 4: Formülü yerine koyalım: Eğim = – a / 3
- Adım 5: Soruda eğimin -5/3 olduğu söylenmiş. Bu iki değeri eşitleyelim.
– a / 3 = – 5 / 3 - Adım 6: Her iki taraftaki eksiler ve paydadaki 3’ler birbirini götürürse geriye sadece paylar kalır.
- Adım 7: a = 5
Sonuç: a değeri 5‘tir.
7. Aşağıdaki denklemlere ait doğruların grafiklerini çizip eğimlerini bulunuz.
Denklemi verilen bir doğrunun eğimini bulmanın en pratik yolu, “y” harfini yalnız bırakmaktır. Denklem y = mx + n haline geldiğinde, x’in önündeki katsayı (m) bize eğimi verir. Grafik çizmek için ise x’e 0 verip y’yi, y’ye 0 verip x’i buluruz.
a. -x + 2y = 6
- Adım 1 (Eğim Bulma): y’yi yalnız bırakalım. -x’i karşıya atalım.
2y = x + 6 - Adım 2: Her iki tarafı 2’ye bölelim.
y = (1/2)x + 3 - Adım 3: x’in katsayısı 1/2 oldu. Demek ki eğimimiz 1/2.
- Adım 4 (Grafik İpucu): x=0 için y=3, y=0 için x=-6 olur. Bu noktalardan geçen bir doğru çizebilirsin.
Sonuç: Eğim 1/2‘dir.
b. 2x – 8 = 4y
- Adım 1 (Eğim Bulma): y’yi yalnız bırakmak için her tarafı 4’e bölelim.
(2x – 8) / 4 = y - Adım 2: Kesri parçalayalım.
y = (2/4)x – (8/4) - Adım 3: Sadeleştirme yapalım.
y = (1/2)x – 2 - Adım 4: x’in katsayısı yine 1/2 çıktı.
- Adım 5 (Grafik İpucu): x=0 için y=-2, y=0 için x=4 noktalarından geçer.
Sonuç: Eğim 1/2‘dir.
c. 3x – 4y = 12
- Adım 1 (Eğim Bulma): y’yi yalnız bırakalım. 3x’i karşıya atalım.
-4y = -3x + 12 - Adım 2: Her tarafı -4’e bölelim.
y = (-3/-4)x + (12/-4) - Adım 3: Eksiler artıya dönüşür.
y = (3/4)x – 3 - Adım 4: x’in önündeki sayı 3/4’tür.
- Adım 5 (Grafik İpucu): x=0 için y=-3, y=0 için x=4 noktalarından geçer.
Sonuç: Eğim 3/4‘tür.
8. -4x – 3y = 12 doğrusunun eğimini bulunuz.
Yine aynı taktiği uyguluyoruz: “y” harfini tek başına bırak!
- Adım 1: -3y ifadesini eşitliğin bir tarafında, diğerlerini diğer tarafta toplayalım.
-3y = 4x + 12 ( -4x karşıya +4x olarak geçti) - Adım 2: y’yi yalnız bırakmak için her tarafı -3’e bölelim.
y = (4 / -3)x + (12 / -3) - Adım 3: Düzenlersek:
y = -(4/3)x – 4 - Adım 4: x’in katsayısı bizim eğimimizdir.
Sonuç: Eğim -4/3‘tür.
9. 2x – (1/3)y – 6 = 0 doğrusunun eğimini bulunuz.
Bu soruda kesirli bir ifade var ama korkma, yöntemimiz değişmiyor.
- Adım 1: -(1/3)y ifadesini pozitif yapmak için eşitliğin karşı tarafına atalım.
2x – 6 = (1/3)y - Adım 2: y’nin başındaki 1/3’ten kurtulmak için (bölüm durumundaki 3’ü yok etmek için) denklemin her iki tarafını 3 ile çarpalım.
3 * (2x – 6) = y - Adım 3: Parantezi açalım.
6x – 18 = y - Adım 4: Denklem y = 6x – 18 haline geldi. x’in katsayısı 6’dır.
Sonuç: Eğim 6‘dır.
10. -3x – 8 = -2y doğrusunun eğimini bulunuz.
Son sorumuzda da amacımız y’yi yalnız bırakmak.
- Adım 1: Denklemde y zaten sağ tarafta duruyor ama başında -2 var. Her tarafı -2’ye bölelim.
(-3x – 8) / -2 = y - Adım 2: Kesri ayıralım. Unutma, eksinin eksiye bölümü artıdır.
y = (-3x / -2) + (-8 / -2) - Adım 3: İşaretleri düzenleyelim.
y = (3/2)x + 4 - Adım 4: x’in önündeki katsayı 3/2 oldu.
Sonuç: Eğim 3/2‘dir.