Merhaba sevgili öğrencim. Seninle bu görseldeki geometri ve yansıma (simetri) sorularını adım adım inceleyelim. Konumuz koordinat sistemi ve yansıma. Bu konu, şekillerin aynadaki görüntüleri gibidir; yerleri değişir ama boyutları ve şekilleri asla değişmez.
Haydi, “Uygulama Basamakları” kısmındaki soruyla başlayalım.
Uygulama Basamakları Sorusu: Yandaki ABCD dörtgeninin x ve y eksenlerine göre yansımalarını çiziniz. Yansıma sonucunda oluşan görüntülerin ABCD dörtgenine eş olup olmadığını söyleyiniz.
Bu soruyu çözmek için önce şeklimizin köşe noktalarının koordinatlarını bulmamız gerekiyor. Görsele dikkatlice bakalım ve her bir köşenin (x, y) değerlerini yazalım.
Adım 1: ABCD dörtgeninin köşe koordinatlarını belirleyelim.
Görseldeki koordinat sistemine baktığımızda:
- A noktası: x ekseninde -5, y ekseninde 4 hizasında. Yani A(-5, 4)
- B noktası: x ekseninde -2, y ekseninde 4 hizasında. Yani B(-2, 4)
- C noktası: x ekseninde -3, y ekseninde 5 hizasında. Yani C(-3, 5)
- D noktası: x ekseninde -5, y ekseninde 5 hizasında. Yani D(-5, 5)
Adım 2: Şeklin x eksenine göre yansımasını bulalım.
Bir noktanın x eksenine göre yansımasını alırken, x değeri aynen kalır, y değerinin işareti değişir (artı ise eksi, eksi ise artı olur).
- A(-5, 4) → A'(-5, -4)
- B(-2, 4) → B'(-2, -4)
- C(-3, 5) → C'(-3, -5)
- D(-5, 5) → D'(-5, -5)
Bu yeni noktaları koordinat sisteminde işaretleyip birleştirdiğinde, şeklin x ekseninin (yatay çizginin) altına “takla atmış” halini görürsün.
Adım 3: Şeklin y eksenine göre yansımasını bulalım.
Bir noktanın y eksenine göre yansımasını alırken, y değeri aynen kalır, bu sefer x değerinin işareti değişir.
- A(-5, 4) → A”(5, 4)
- B(-2, 4) → B”(2, 4)
- C(-3, 5) → C”(3, 5)
- D(-5, 5) → D”(5, 5)
Bu noktaları birleştirdiğinde, şeklin y ekseninin (dikey çizginin) sağına geçmiş halini görürsün.
Adım 4: Eşlik durumunu kontrol edelim.
Sorunun ikinci kısmında “Yansıma sonucunda oluşan görüntülerin ABCD dörtgenine eş olup olmadığını söyleyiniz” deniliyor.
Cevabımız çok net: Evet, eşittir (eştir).
Açıklama: Yansıma hareketi, bir şeklin sadece yerini ve yönünü değiştirir. Şeklin boyutlarını, kenar uzunluklarını veya açılarını değiştirmez. Bu yüzden elde ettiğimiz yeni dörtgenler, ilk baştaki ABCD dörtgeni ile tıpatıp aynı büyüklüktedir.
Alıştırmalar
1. Soru: Aşağıdaki noktaların verilen doğrulara göre yansımalarını bulunuz.
Burada koordinat sistemi yok, kareli kağıt üzerinde “birim sayma” yöntemi kullanacağız. Kuralımız şu: Noktanın doğruya (aynaya) olan dik uzaklığı ne kadarsa, görüntüsü de doğrunun diğer tarafında o kadar uzaklıkta olur.
a. Y noktası ve n doğrusu
Çözüm:
- Y noktasına bakıyoruz. Altındaki yatay çizgiye (n doğrusuna) olan uzaklığını sayalım.
- Y noktası, çizginin tam 2 kare yukarısında duruyor.
- O halde yansıması, çizginin 2 kare aşağısında olmalıdır.
- Sonuç: Y noktasından aşağıya doğru düz bir çizgi inip, n doğrusunu geçtikten sonra 2 kare daha sayıp noktayı koymalısın.
b. B noktası ve p doğrusu
Çözüm:
- B noktasına bakıyoruz. Yanındaki dikey çizgiye (p doğrusuna) olan uzaklığını sayalım.
- B noktası, p doğrusunun 3 kare sağında duruyor.
- O halde yansıması, çizginin 3 kare solunda olmalıdır.
- Sonuç: B noktasından sola doğru sayarak çizgiye gel, çizgiden sonra sola doğru 3 kare daha say ve noktayı işaretle.
c. K noktası ve l doğrusu
Çözüm:
Burada durum biraz farklı çünkü aynamız (l doğrusu) çapraz duruyor. Sayarken de çapraz (dik) bakmamız gerekir.
- K noktasına ve çapraz duran l doğrusuna bakalım.
- K noktasından doğruya en kısa yoldan (dik olarak) gitmek istersek, tam 1 karenin köşegeni kadar mesafe olduğunu görürüz. (K noktasından sağ-aşağı çapraz gidersen hemen çizgiye değersin).
- Yansıma kuralı gereği, aynanın diğer tarafına da aynı mesafede gitmeliyiz.
- Yani çizgiye değdiğimiz yerden, aynı yönde (sağ-aşağı çapraz) 1 köşegen daha ilerlemeliyiz.
- Pratik Yöntem: K noktası bir kare köşesinde. Doğruya ulaşmak için 2 birim sağa gitseydik çizginin üzerinden geçerdik, 2 birim aşağı gitseydik yine çizginin üzerinden geçerdik. Simetrisi için K noktasından 2 birim sağa ve 2 birim aşağıya gittiğimiz noktayı işaretleyebilirsin.
- Sonuç: K noktasının yansıması, K’nın 2 kare sağında ve 2 kare aşağısındaki noktadır.