Merhaba sevgili öğrencim, Matematik dersimize hoş geldin! Bugün seninle “Üçgenler” ünitesindeki üçgen eşitsizliği konusunu pekiştireceğiz. Üçgen oluşturma kurallarını ve kenar uzunlukları arasındaki ilişkileri adım adım inceleyelim. Hazırsan başlayalım!
1. Aşağıda uzunlukları verilen doğru parçaları ile bir üçgen oluşturulup oluşturulamayacağını belirleyiniz.
Bir üçgen çizebilmemiz için altın kuralımız şudur: “Bir kenarın uzunluğu, diğer iki kenarın toplamından küçük, farkından büyük olmalıdır.” Hadi şıkları tek tek inceleyelim.
a. k = 19 cm, l = 10 cm, m = 8 cm
Burada en uzun kenar 19 cm. Diğer iki kenarın toplamına bakalım:
- 10 + 8 = 18
Kurala göre en uzun kenar (19), diğerlerinin toplamından (18) küçük olmalıydı. Ancak 19 > 18 olduğu için bu uzunluklarla üçgen oluşturulamaz.
b. d = 24 mm, e = 16 mm, f = 15 mm
Burada en uzun kenar 24 mm. Diğer iki kenarı toplayalım:
- 16 + 15 = 31
Şimdi kontrol edelim:
- 24 < 31 (Toplamlarından küçük, bu şart sağlandı.)
- Farklarına bakalım: 16 – 15 = 1
- 24 > 1 (Farklarından büyük, bu şart da sağlandı.)
Bu durumda, bu uzunluklarla üçgen oluşturulabilir.
c. p = 7,8 cm, r = 9,4 cm, t = 60 mm
Dikkat! Burada bir tuzak var. t kenarı “mm” cinsinden verilmiş. Önce hepsini aynı birime çevirmeliyiz.
- t = 60 mm = 6 cm
Şimdi kenarlarımız: 7,8 cm, 9,4 cm ve 6 cm. En uzun kenar 9,4 cm. Diğer ikisini toplayalım:
- 7,8 + 6 = 13,8
Kontrol edelim:
- 9,4 < 13,8 (Toplamlarından küçük, şart sağlandı.)
- Diğer iki kenarın farkına bakalım: 7,8 – 6 = 1,8
- 9,4 > 1,8 (Farklarından büyük, şart sağlandı.)
Bu durumda, bu uzunluklarla da üçgen oluşturulabilir.
2. Yandaki DEF üçgeninin DE kenarının uzunluğu bir tam sayıdır. Verilenlere göre DE kenarının uzunluğunun alabileceği değerleri bulunuz.
Bu soruda verilmeyen kenara “x” diyelim (DE kenarı). Üçgen eşitsizliği kuralını uygulayacağız. Bilinmeyen kenar, diğer iki kenarın farkından büyük, toplamından küçük olmalıdır.
Adım 1: Kenarların farkını ve toplamını bulalım.
- Fark: 10 – 8 = 2
- Toplam: 10 + 8 = 18
Adım 2: Eşitsizliği yazalım.
2 < x < 18
Adım 3: Aradaki tam sayıları yazalım.
DE kenarı 2 ile 18 arasındaki sayılar olabilir: 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17.
3. Yandaki KLM üçgeninin çevre uzunluğunun alabileceği en küçük tam sayı değeri kaçtır?
Çevrenin en küçük olması için, verilmeyen LM kenarının alabileceği en küçük tam sayı değerini bulmamız gerekir. LM kenarına “a” diyelim.
Adım 1: LM kenarı için aralığı bulalım.
- Fark: 7 – 4 = 3
- Toplam: 7 + 4 = 11
- Eşitsizlik: 3 < a < 11
Adım 2: En küçük kenarı seçelim.
Çevrenin en az olması için “a” en küçük seçilmelidir. 3’ten büyük en küçük tam sayı 4‘tür. (Üçgenin çeşitkenar olması şartı soruda belirtilmediği için 4 alabiliriz).
Adım 3: Çevreyi hesaplayalım.
Çevre = 7 + 4 + 4
7
4
+ 4
—–
15 cm
Cevap: Çevre uzunluğunun alabileceği en küçük tam sayı değeri 15‘tir.
4. Yandaki dörtgende EG köşegeninin uzunluğu bir tam sayıdır. Verilen kenar uzunluklarına göre |EG|’nun alabileceği en büyük ve en küçük tam sayı değerlerini bulunuz.
Burada EG köşegeni (g kenarı), iki farklı üçgenin ortak kenarıdır. Bu yüzden iki üçgen için de kuralı sağlamalıdır.
Adım 1: Üstteki DEG üçgeni için aralığı bulalım.
- Kenarlar: 5 ve 12
- Fark: 12 – 5 = 7
- Toplam: 12 + 5 = 17
- Aralık 1: 7 < g < 17
Adım 2: Alttaki EFG üçgeni için aralığı bulalım.
- Kenarlar: 9 ve 6
- Fark: 9 – 6 = 3
- Toplam: 9 + 6 = 15
- Aralık 2: 3 < g < 15
Adım 3: Ortak aralığı belirleyelim.
İki şartı da sağlaması için; alt sınırların büyüğünü (7), üst sınırların küçüğünü (15) alırız.
Ortak Aralık: 7 < g < 15
Sonuç:
- En küçük tam sayı değeri: 7’den büyük ilk sayı olan 8‘dir.
- En büyük tam sayı değeri: 15’ten küçük ilk sayı olan 14‘tür.
5. 60 cm uzunluğundaki bir çıta ile kenarlarının uzunlukları tam sayı olan bir üçgen yapılacaktır. Bu üçgenin en kısa kenarının kaç santimetre olabileceğini bulunuz.
Bu biraz mantık yürütmemiz gereken güzel bir soru. Üçgenin çevresi 60 cm olacak.
Adım 1: Üçgen eşitsizliği kuralını hatırlayalım.
Bir üçgende herhangi bir kenar, çevrenin yarısından kısa olmak zorundadır. Eğer bir kenar çevrenin yarısı (30 cm) veya daha fazla olursa, diğer iki kenarın toplamı onu kapatmaya yetmez.
Yani; En Uzun Kenar < (Çevre / 2)
En Uzun Kenar < 30 cm olmalıdır.
Adım 2: En kısa kenarı bulmak için strateji kuralım.
En kısa kenarı bulmak istiyorsak, diğer iki kenarı mümkün olduğunca büyük seçmeliyiz ki kısa kenara az pay kalsın.
Kenarlarımız a, b, c olsun ve a en kısa kenar olsun.
- En uzun kenarlar (b ve c) 30’dan küçük en büyük tam sayı ne olabilir? 29 cm olabilir.
Adım 3: Hesaplayalım.
Eğer iki uzun kenarı da 29 cm seçersek (ikizkenar üçgen olabilir):
- b = 29
- c = 29
- Toplamları: 29 + 29 = 58 cm
Çıtanın tamamı 60 cm idi. En kısa kenara (a) ne kalır?
- a = 60 – 58 = 2 cm
Sağlamasını yapalım: Kenarlar 2, 29, 29 oldu.
2 + 29 = 31 ve 31 > 29 olduğu için üçgen oluşur.
Peki kenar 1 cm olabilir mi?
Eğer kısa kenar 1 cm olsaydı, geriye 59 cm kalırdı. Kalan iki kenarın toplamı 59 olduğunda, en az bir kenar 30 cm veya daha büyük olmak zorunda kalırdı (örneğin 29 ve 30). Ancak bir kenar 30 cm olamaz demiştik.
Sonuç: Bu üçgenin en kısa kenarı 2 cm olabilir.