Merhaba sevgili 8. sınıf öğrencim! Matematik dersinde bu hafta silindirlerin hacmini ve bazı geometrik şekillerin dönüşümlerini öğreniyoruz. Hazırsan, gönderdiğin soruları birlikte adım adım inceleyip çözelim. Eminim hepsini kolayca anlayacaksın!
5. Yandaki dik dairesel silindir biçimindeki varilin yarıçapı 32 cm ve yüksekliği 1,2 m’dir. Varilin 3/5’i motor yağı ile dolu ve yağın litresi 12 TL’den satılmaktadır. Yağın tamamı satıldığında kaç Türk lirası elde edilir (π yerine 3 alınız.)?
Bu soruda, motor yağı dolu bir varilin hacmini bulup, sonra bu hacimdeki yağın kaç para edeceğini hesaplayacağız.
Öncelikle varilin hacmini bulmak için silindirin hacim formülünü kullanacağız. Silindirin hacmi = $pi times r^2 times h$ formülüyle bulunur.
Burada $r$ yarıçap, $h$ ise yüksekliktir.
Yarıçapımız 32 cm verilmiş. Yüksekliğimiz ise 1,2 metre. Birimleri aynı yapmamız gerekiyor. Metreyi santimetreye çevirelim: 1,2 m = 120 cm.
Şimdi hacmi hesaplayalım:
Hacim = $3 times (32 text{ cm})^2 times 120 text{ cm}$
Hacim = $3 times 1024 text{ cm}^2 times 120 text{ cm}$
Hacim = $3 times 122880 text{ cm}^3$
Hacim = $368640 text{ cm}^3$
Bu varilin tamamı dolu olsaydı hacmi bu olurdu. Ama varilin sadece 3/5’i doluymuş.
Dolu olan yağın hacmi = $368640 text{ cm}^3 times frac{3}{5}$
Dolu olan yağın hacmi = $1105920 div 5 text{ cm}^3$
Dolu olan yağın hacmi = $221184 text{ cm}^3$
Soruda bize yağın litresi üzerinden fiyat verilmiş. Bu yüzden hacmi litreye çevirmemiz gerekiyor. 1 litre = 1000 cm³ olduğunu biliyoruz.
Yağın litre cinsinden hacmi = $221184 text{ cm}^3 div 1000$
Yağın litre cinsinden hacmi = $221,184$ litre
Şimdi de bu yağın parasal değerini bulalım. Yağın litresi 12 TL’den satılıyormuş.
Toplam kazanç = $221,184 text{ litre} times 12 text{ TL/litre}$
İşlemi yapalım:
221,184
x 12
——–
442,368 (221,184 x 2)
+ 2211,84 (221,184 x 10)
——–
2654,208
Sonuç olarak, yağın tamamı satıldığında 2654,208 TL elde edilir.
6. Dik dairesel silindir biçimindeki kaşar peynirinin yarıçapı 10 cm ve yüksekliği 14 cm’dir. Kaşar peyniri, çapı boyunca dikey olarak kesilince yandaki gibi bir cisim oluşmuştur. Bu cismin hacmi kaç santimetreküptür (π yerine 3 alınız.)?
Bu soruda, silindir şeklindeki bir peynirin yarısını alıyoruz. Yandaki görselde de görüldüğü gibi, silindiri tam ortadan ikiye bölmüşler. Yani oluşan cisim, silindirin hacminin yarısı kadar olacaktır.
Önce tam silindir şeklindeki peynirin hacmini bulalım:
Silindirin hacmi = $pi times r^2 times h$
Burada $r = 10$ cm ve $h = 14$ cm. $pi$ yerine de 3 alacağız.
Hacim = $3 times (10 text{ cm})^2 times 14 text{ cm}$
Hacim = $3 times 100 text{ cm}^2 times 14 text{ cm}$
Hacim = $300 text{ cm}^2 times 14 text{ cm}$
Çarpma işlemini yapalım:
300
x 14
—–
1200 (300 x 4)
+ 3000 (300 x 10)
—–
4200
Tam silindirin hacmi 4200 cm³’tür.
Ancak bize sorulan, bu silindirin yarısı kesilmiş halinin hacmi.
Oluşan cismin hacmi = Tam silindirin hacmi / 2
Oluşan cismin hacmi = $4200 text{ cm}^3 div 2$
Oluşan cismin hacmi = $2100 text{ cm}^3$
Bu kesilmiş kaşar peynirinin hacmi 2100 cm³‘tür.
7. Dik dairesel silindir biçimindeki bir su borusunun taban yarıçapı 40 cm, kalınlığı 8 cm ve boyu 6 m’dir. Bu borunun tamamı dolduğunda kaç litre su alır (π yerine 3 alınız.)?
Bu soruda, bir su borusunun iç hacmini bulmamız gerekiyor. Borunun dış ölçüleri verilmiş ama içindeki su miktarını hesaplamak için iç yarıçapı kullanmalıyız.
Borunun dış yarıçapı 40 cm. Kalınlığı da 8 cm.
İç yarıçapı bulmak için dış yarıçaptan kalınlığı çıkarmalıyız:
İç yarıçap ($r_{iç}$) = Dış yarıçap – Kalınlık
$r_{iç}$ = 40 cm – 8 cm = 32 cm
Borunun boyu (yüksekliği) ise 6 metre verilmiş. Bunu da santimetreye çevirelim:
Yükseklik ($h$) = 6 m = 600 cm
Şimdi borunun iç hacmini hesaplayalım. Boru bir silindir şeklindedir.
Silindirin iç hacmi = $pi times r_{iç}^2 times h$
Burada $pi = 3$, $r_{iç} = 32$ cm ve $h = 600$ cm.
Hacim = $3 times (32 text{ cm})^2 times 600 text{ cm}$
Hacim = $3 times 1024 text{ cm}^2 times 600 text{ cm}$
Hacim = $3072 text{ cm}^2 times 600 text{ cm}$
Çarpma işlemini yapalım:
3072
x 600
——
00 (3072 x 0)
000 (3072 x 0)
+ 1843200 (3072 x 600)
——–
1843200
Borunun iç hacmi 1.843.200 cm³’tür.
Soruda bizden bu hacmin kaç litre olduğu isteniyor. 1 litre = 1000 cm³ olduğunu biliyoruz.
Litre cinsinden hacim = $1843200 text{ cm}^3 div 1000$
Litre cinsinden hacim = $1843,2$ litre
Bu su borusu tam dolduğunda 1843,2 litre su alır.
8. Boyu 16 cm, eni 12 cm olan dikdörtgensel bölge biçimindeki karton, uzun kenarı etrafında 360° ve kısa kenarı etrafında ise 180° döndürülüyor. Oluşan cisimlerin hacimleri farkı kaç santimetreküptür (π yerine 3 alınız.)?
Bu soruda iki farklı silindir oluşturacağız ve hacimlerini karşılaştıracağız.
İlk durumda, dikdörtgenin uzun kenarı (16 cm) etrafında 360° döndürülüyor. Bu durumda, uzun kenar silindirin yüksekliği ($h_1$) olur ve kısa kenar (12 cm) da silindirin yarıçapı ($r_1$) olur.
$h_1 = 16$ cm
$r_1 = 12$ cm
Bu silindirin hacmi ($V_1$):
$V_1 = pi times r_1^2 times h_1$
$V_1 = 3 times (12 text{ cm})^2 times 16 text{ cm}$
$V_1 = 3 times 144 text{ cm}^2 times 16 text{ cm}$
$V_1 = 432 text{ cm}^2 times 16 text{ cm}$
Çarpma işlemini yapalım:
432
x 16
—–
2592 (432 x 6)
+ 4320 (432 x 10)
—–
6912
İlk silindirin hacmi $V_1 = 6912$ cm³’tür.
İkinci durumda, dikdörtgenin kısa kenarı (12 cm) etrafında 180° döndürülüyor. Dikkat edelim, burada 180° döndürme var, tam tur değil. Bu önemli!
Kısa kenar etrafında döndürüldüğünde, kısa kenar silindirin yüksekliği ($h_2$) olur. Uzun kenar (16 cm) ise silindirin yarıçapı ($r_2$) olur.
Ancak, bu döndürme 180° olduğu için oluşan cisim yarım bir silindir olacaktır.
$h_2 = 12$ cm
$r_2 = 16$ cm
Tam silindir hacmi = $pi times r_2^2 times h_2$
Tam silindir hacmi = $3 times (16 text{ cm})^2 times 12 text{ cm}$
Tam silindir hacmi = $3 times 256 text{ cm}^2 times 12 text{ cm}$
Tam silindir hacmi = $768 text{ cm}^2 times 12 text{ cm}$
Çarpma işlemini yapalım:
768
x 12
—–
1536 (768 x 2)
+ 7680 (768 x 10)
—–
9216
Tam silindirin hacmi 9216 cm³’tür.
Ama oluşan cisim yarım silindir olduğu için, hacmi bu değerin yarısı olacaktır.
İkinci cismin hacmi ($V_2$) = $9216 text{ cm}^3 div 2$
$V_2 = 4608$ cm³
Şimdi bu iki cismin hacimleri farkını bulalım:
Hacimler farkı = $V_1 – V_2$
Hacimler farkı = $6912 text{ cm}^3 – 4608 text{ cm}^3$
Çıkarma işlemini yapalım:
6912
– 4608
——
2304
Oluşan cisimlerin hacimleri farkı 2304 cm³‘tür.
9. Dik dairesel silindir biçimindeki su ile dolu kaptan 72 cm³ su alan bir bardakla 12 kere su alınınca kaptaki suyun 3/4’ü boşalmaktadır. Kabın yüksekliği 15 cm olduğuna göre bu kabın yarıçapı kaç santimetredir (π yerine 3 alınız.)?
Bu soruda, bir kaptan kaç bardak su alındığında ne kadar suyun boşaldığını ve bunun kap hacminin bir kesri olduğunu biliyoruz. Bu bilgileri kullanarak kabın yarıçapını bulacağız.
Önce, bardaklarla toplam kaç cm³ su alındığını bulalım:
Toplam alınan su = Bardak sayısı × Bir bardağın hacmi
Toplam alınan su = $12 times 72 text{ cm}^3$
Çarpma işlemini yapalım:
72
x 12
—-
144 (72 x 2)
+ 720 (72 x 10)
—-
864
Toplamda 864 cm³ su alınmış.
Bu alınan su, kabın tamamındaki suyun 3/4’üne eşitmiş. Yani, kabın içindeki su miktarının tamamı (yani kabın hacminin 3/4’ü) 864 cm³’tür.
Eğer kabın tamamının hacmi V ise, o zaman $V times frac{3}{4} = 864 text{ cm}^3$ olur.
Kabın tamamının hacmini bulmak için:
$V = 864 text{ cm}^3 div frac{3}{4}$
$V = 864 text{ cm}^3 times frac{4}{3}$
$V = (864 div 3) times 4 text{ cm}^3$
$V = 288 times 4 text{ cm}^3$
Çarpma işlemini yapalım:
288
x 4
—–
1152
Kabın hacmi 1152 cm³’tür.
Şimdi bu kabın yarıçapını bulmak için silindirin hacim formülünü kullanacağız:
Silindirin hacmi = $pi times r^2 times h$
Burada V = 1152 cm³, $pi = 3$ ve yükseklik ($h$) = 15 cm.
$1152 text{ cm}^3 = 3 times r^2 times 15 text{ cm}$
$1152 text{ cm}^3 = 45 times r^2 text{ cm}$
$r^2$ değerini bulmak için 1152’yi 45’e böleceğiz:
$r^2 = 1152 div 45$
Bölme işlemini yapalım:
25,6
____
45|1152,0
– 90
—-
252
-225
—-
270
-270
—-
0
$r^2 = 25,6$ cm²
Şimdi yarıçapı bulmak için 25,6’nın karekökünü almamız gerekiyor. Ancak soruda verilen sayılarla tam bir sonuç çıkmıyor gibi görünüyor. Belki bir yerde bir işlem hatası yaptım ya da soruda bir basım hatası olabilir.
Tekrar kontrol edelim. Bardakla alınan su 864 cm³. Bu, kabın 3/4’ü.
Tam hacim = $864 times frac{4}{3} = 1152$ cm³.
Formül: $V = pi r^2 h$.
$1152 = 3 times r^2 times 15$
$1152 = 45 r^2$
$r^2 = 1152 / 45$.
Evet, bölme işlemi doğru yapılmış. Belki de soruda $pi$ yerine başka bir değer almamız istenmiştir veya sonuç tam sayı çıkmayabilir.
Eğer bizde bir hata yoksa, $r^2 = 25.6$ ise $r = sqrt{25.6}$ olur. Bu da yaklaşık 5.06 cm’dir.
Bir daha kontrol edelim. Belki de bardak hacmi farklı bir şekilde verilmiştir. Yok, bardak hacmi 72 cm³ olarak verilmiş.
Hmm, bu soruda bir gariplik var. Genellikle bu tür sorularda tam sayı sonuçlar çıkar.
Acaba kabın tamamı dolu değil miydi de 3/4’ü boşalınca 72 cm³’lük 12 bardak su alınmış? “su ile dolu kaptan” dediği için dolu kabul ediyoruz.
“Kaptaki suyun 3/4’ü boşalmaktadır.” Bu ifade, kaptaki suyun başlangıçtaki miktarının 3/4’ünün boşaldığı anlamına gelir.
Eğer başlangıçta kap tam doluysa, o zaman alınan su kabın hacminin 3/4’üdür.
Eğer soru şöyle olsaydı: “Kaptaki suyun 3/4’ü kadar su alınıyor” o zaman farklı olurdu.
“Kaptaki suyun 3/4’ü boşalmaktadır.” Bu ifadeyi doğru anladık.
Şimdi başka bir ihtimali düşünelim. Acaba 72 cm³ tam olarak bir bardak hacmi mi, yoksa başka bir şey mi? “72 cm³ su alan bir bardakla” ifadesi gayet net.
Bir de şu ihtimal var: Belki de sorunun kendisinde bir yuvarlama hatası veya eksiklik vardır.
Eğer $r^2$ tam kare bir sayı çıksaydı, mesela 25 çıksaydı, o zaman $r=5$ olurdu. O zaman da hacim $3 times 5^2 times 15 = 3 times 25 times 15 = 75 times 15 = 1125$ cm³ olurdu.
Eğer hacim 1125 olsaydı, $1125 times frac{3}{4} = 843,75$ cm³ alınması gerekirdi. Bu da 12 bardakla 864 cm³ alınmasıyla uyuşmuyor.
Sanırım bu sorunun sayılarında bir problem var. Ancak verilen bilgilere göre yaptığımız hesaplama doğru.
Eğer soruda bir hata yoksa ve $r^2 = 25.6$ ise, bu durumda yarıçap $sqrt{25.6}$’dır. Bu da yaklaşık 5.06 cm’dir.
Eğer soruyu çözerken “acaba sayılar tam çıkmalı mı?” diye düşünürsek, belki de soruyu hazırlayan kişi, sayılarla biraz oynamış olabilir.
Ama matematiksel olarak, yaptığımız işlemler doğrudur.
Sonucu $sqrt{25.6}$ cm olarak bırakabiliriz veya yaklaşık değerini verebiliriz.
Hesaplamaları tekrar gözden geçirelim:
Alınan su: $12 times 72 = 864$ cm³.
Bu, kabın hacminin 3/4’ü.
Kabın hacmi: $864 times frac{4}{3} = 1152$ cm³.
Hacim formülü: $V = pi r^2 h$.
$1152 = 3 times r^2 times 15$.
$1152 = 45 r^2$.
$r^2 = frac{1152}{45}$.
Sadeleştirme yapalım: Her iki tarafı 9’a bölelim:
$1152 div 9 = 128$.
$45 div 9 = 5$.
Yani $r^2 = frac{128}{5} = 25.6$.
Bu durumda, yarıçapın karesi 25.6 cm²’dir.
Yarıçap $r = sqrt{25.6}$ cm’dir.
Eğer sorunun orijinalinde $pi$ yerine 3 değil de başka bir değer kullanılmış olsaydı veya sayılar farklı olsaydı tam sonuç çıkabilirdi.
Şimdilik, verilenlere göre cevabımız bu şekilde.
Sonuç olarak, bu kabın yarıçapı $sqrt{25.6}$ cm‘dir (yaklaşık 5.06 cm).
10. Bir dik dairesel silindirin yüksekliği 2 katına çıkarılıp yarıçapı yarısı kadar azaltılıyor. Bu durumda ilk silindirin hacminde nasıl bir değişiklik olur (π yerine 3 alınız.)?
Bu soruda, bir silindirin boyutları değiştiğinde hacminin nasıl etkilendiğini inceleyeceğiz.
Önce ilk silindirimizin hacmini bir formüle dökelim.
İlk silindirin yarıçapı $r$ ve yüksekliği $h$ olsun.
İlk silindirin hacmi ($V_1$) = $pi times r^2 times h$.
Şimdi yeni silindirimizin özelliklerini belirleyelim.
Yeni silindirin yüksekliği, ilk silindirin yüksekliğinin 2 katına çıkarılmış.
Yeni yükseklik ($h_{yeni}$) = $2h$.
Yeni silindirin yarıçapı ise ilk silindirin yarıçapının yarısı kadar azaltılmış.
Yarıçapı yarısı kadar azaltmak demek, yeni yarıçapın ilk yarıçapın yarısı olması demektir.
Yani, yeni yarıçap ($r_{yeni}$) = $frac{r}{2}$.
Şimdi yeni silindirimizin hacmini ($V_{yeni}$) hesaplayalım:
$V_{yeni} = pi times (r_{yeni})^2 times h_{yeni}$
$V_{yeni} = pi times (frac{r}{2})^2 times (2h)$
$V_{yeni} = pi times frac{r^2}{4} times 2h$
$V_{yeni} = pi times frac{2 times r^2 times h}{4}$
$V_{yeni} = pi times frac{r^2 times h}{2}$
Şimdi ilk hacimle yeni hacmi karşılaştıralım.
$V_1 = pi times r^2 times h$
$V_{yeni} = frac{1}{2} times (pi times r^2 times h)$
Buradan görüyoruz ki, yeni hacim, ilk hacmin yarısı kadardır.
Yani, silindirin hacmi yarıya iner.
Soruda $pi$ yerine 3 almamız istenmişti, ancak bu soruda $pi$’nin değeri sonucu değiştirmez, çünkü oranlama yapıyoruz. Ama yine de formülümüze $pi=3$ koyarak da görebiliriz:
$V_1 = 3 times r^2 times h$
$V_{yeni} = 3 times (frac{r}{2})^2 times (2h)$
$V_{yeni} = 3 times frac{r^2}{4} times 2h$
$V_{yeni} = 3 times frac{2 r^2 h}{4}$
$V_{yeni} = 3 times frac{r^2 h}{2}$
$V_{yeni} = frac{1}{2} times (3 times r^2 times h)$
$V_{yeni} = frac{1}{2} times V_1$
Bu durumda ilk silindirin hacmi yarıya iner. Yani hacminde yarıya düşme olur.