Merhaba sevgili öğrencim! Bugün seninle birlikte dik dairesel silindirlerin özelliklerini, açınımlarını ve yüzey alanlarını hesaplamayı öğreneceğiz. Matematik aslında bir yapboz gibidir, parçaları doğru yerleştirdiğimizde büyük resmi harika bir şekilde görebiliriz. Hazırsan hemen başlayalım!
1. Soru: Aşağıda yarıçap ve yükseklik uzunlukları verilen dik dairesel silindirlerin açınımlarını çiziniz ($pi$ yerine 3 alınız).
Bu soruda bizden silindirleri “açmamız” isteniyor. Bir silindiri açtığımızda ne görüyorduk? Hatırlayalım: Alt ve üstte olmak üzere 2 adet daire (tabanlar) ve yan yüzeyi oluşturan 1 adet dikdörtgen.
Burada en önemli kural şudur: Yan yüzeyi oluşturan dikdörtgenin uzun kenarı, tabandaki dairenin çevresine eşittir.
a. Seçeneği Çözümü:
- Verilenler: Yarıçap (r) = 3 cm, Yükseklik (h) = 6 cm.
- Adım 1: Önce dikdörtgenin uzun kenarını bulalım. Bu, dairenin çevresidir.
- Çevre Formülü: $2 times pi times r$
- Çevre = $2 times 3 times 3$ = 18 cm.
- Adım 2: Dikdörtgenin kısa kenarı zaten silindirin yüksekliğidir, yani 6 cm.
- Sonuç: Bu silindirin açınımını çizerken; uzun kenarı 18 cm, kısa kenarı 6 cm olan bir dikdörtgen ve bu dikdörtgenin alt ve üst kenarlarına değen yarıçapı 3 cm olan iki daire çizmelisin.
b. Seçeneği Çözümü:
- Verilenler: Yarıçap (r) = 4 cm, Yükseklik (h) = 8 cm.
- Adım 1: Dikdörtgenin uzun kenarını (dairenin çevresini) hesaplayalım.
- Çevre = $2 times pi times r$
- Çevre = $2 times 3 times 4$ = 24 cm.
- Adım 2: Dikdörtgenin yüksekliği zaten verilmiş: 8 cm.
- Sonuç: Bu silindirin açınımında; 24 cm’ye 8 cm boyutlarında bir dikdörtgen ve yarıçapı 4 cm olan iki daire bulunur.
2. Soru: Aşağıda açınımları, yarıçap ve yükseklik uzunlukları verilen dik dairesel silindirlerin yüzey alanlarını bulunuz ($pi$ yerine 3 alınız).
Bir silindirin yüzey alanını bulmak için şu formülü kullanırız: Tüm Alan = 2 tane Taban Alanı + Yan Yüzey Alanı.
Taban Alanı bir dairedir ($ pi times r^2 $).
Yan Yüzey Alanı ise bir dikdörtgendir (Taban Çevresi $times$ Yükseklik).
a. Seçeneği Çözümü ($r = 1 text{ cm}, h = 2,5 text{ cm}$):
- Adım 1: Taban Alanlarını Bulalım.
- Bir dairenin alanı = $pi times r^2 = 3 times 1^2 = 3 times 1 = 3 text{ cm}^2$.
- İki taban olduğu için: $3 times 2 = mathbf{6 text{ cm}^2}$.
- Adım 2: Yan Yüzey Alanını Bulalım.
- Yan Alan = Çevre $times$ Yükseklik = $(2 times pi times r) times h$.
- Yan Alan = $(2 times 3 times 1) times 2,5$.
- Yan Alan = $6 times 2,5 = mathbf{15 text{ cm}^2}$.
- Adım 3: Toplayalım.
- Toplam Alan = $6 + 15 = mathbf{21 text{ cm}^2}$.
b. Seçeneği Çözümü ($r = 2 text{ cm}, h = 3 text{ cm}$):
- Adım 1: Taban Alanlarını Bulalım.
- Bir dairenin alanı = $pi times r^2 = 3 times 2^2 = 3 times 4 = 12 text{ cm}^2$.
- İki taban olduğu için: $12 times 2 = mathbf{24 text{ cm}^2}$.
- Adım 2: Yan Yüzey Alanını Bulalım.
- Yan Alan = $(2 times pi times r) times h$.
- Yan Alan = $(2 times 3 times 2) times 3$.
- Yan Alan = $12 times 3 = mathbf{36 text{ cm}^2}$.
- Adım 3: Toplayalım.
- Toplam Alan = $24 + 36 = mathbf{60 text{ cm}^2}$.
c. Seçeneği Çözümü ($r = 2,5 text{ cm}, h = 4 text{ cm}$):
- Adım 1: Taban Alanlarını Bulalım.
- Burada ondalık sayılara dikkat edelim.
- Bir dairenin alanı = $pi times r^2 = 3 times (2,5)^2$.
- $2,5 times 2,5 = 6,25$ eder.
- Alan = $3 times 6,25 = 18,75 text{ cm}^2$.
- İki taban olduğu için: $18,75 times 2 = mathbf{37,5 text{ cm}^2}$.
- Adım 2: Yan Yüzey Alanını Bulalım.
- Yan Alan = $(2 times pi times r) times h$.
- Yan Alan = $(2 times 3 times 2,5) times 4$.
- İşlemi kolaylaştıralım: $2 times 2,5 = 5$ eder. $5 times 3 = 15$. Yani çevre 15 cm.
- Yan Alan = $15 times 4 = mathbf{60 text{ cm}^2}$.
- Adım 3: Toplayalım.
- Toplam Alan = $37,5 + 60 = mathbf{97,5 text{ cm}^2}$.
ç. Seçeneği Çözümü ($r = 3 text{ cm}, h = 3,5 text{ cm}$):
- Adım 1: Taban Alanlarını Bulalım.
- Bir dairenin alanı = $pi times r^2 = 3 times 3^2 = 3 times 9 = 27 text{ cm}^2$.
- İki taban olduğu için: $27 times 2 = mathbf{54 text{ cm}^2}$.
- Adım 2: Yan Yüzey Alanını Bulalım.
- Yan Alan = $(2 times pi times r) times h$.
- Yan Alan = $(2 times 3 times 3) times 3,5$.
- Yan Alan = $18 times 3,5$.
- Burada çarpma işlemini yapalım: $18 times 3 = 54$ ve $18$’in yarısı ($0,5$) $9$’dur. $54 + 9 = 63$.
- Yan Alan = $mathbf{63 text{ cm}^2}$.
- Adım 3: Toplayalım.
- Toplam Alan = $54 + 63 = mathbf{117 text{ cm}^2}$.
Aferin! Adım adım giderek tüm soruları başarıyla çözdük. Silindirlerin alanlarını hesaplarken formülleri dikkatli kullanmak ve işlem hatası yapmamak çok önemlidir. Başarılarının devamını dilerim!