Merhaba sevgili öğrencim. Seninle birlikte bu sayfadaki geometri sorularını inceleyelim. Konumuz **Eşlik ve Benzerlik**.
Bu konuda bilmen gereken en temel kural şudur:
* **Eş Şekiller:** Şekillerin hem açıları aynı hem de kenar uzunlukları birebir aynıdır. Sadece duruşları (yönleri) farklı olabilir.
* **Benzer Şekiller:** Şekillerin açıları aynıdır ancak kenar uzunlukları belli bir oranda büyütülmüş veya küçültülmüştür. Yani biri diğerinin “zoom” yapılmış hali gibidir.
Şimdi sorularımızı sırasıyla çözelim.
1. Aşağıdaki şekilleri inceleyiniz. Eş veya benzer olup olmadığını belirleyiniz.
Bu soruda kareli zemin üzerindeki şekillerin kenar uzunluklarını birim kareleri sayarak karşılaştıracağız.
a. Şıkkı Çözümü:
İlk şekil bir yamuk. Üst tabanı 2 birim, alt tabanı 4 birim ve yüksekliği 3 birimdir. İkinci şekle baktığımızda, bu da bir yamuk ve yana yatırılmış. Onun da kısa tabanı 2 birim, uzun tabanı 4 birim ve yüksekliği 3 birimdir.
- İki şeklin ölçüleri birebir aynıdır.
- Sonuç: Bu iki şekil EŞ şekillerdir.
b. Şıkkı Çözümü:
Burada iki adet dikdörtgen görüyoruz.
- Birinci (yatay) dikdörtgen: Kısa kenarı 1 birim, uzun kenarı 2 birim. (Oran 1’e 2)
- İkinci (dikey) dikdörtgen: Kısa kenarı 2 birim, uzun kenarı 5 birim. (Oran 2’ye 5)
- Kenar oranları birbirini tutmuyor. Biri diğerinin sadece büyütülmüş hali değil, şekli bozulmuş (uzatılmış).
- Sonuç: Bu şekiller ne eş ne de benzerdir.
c. Şıkkı Çözümü:
Burada ev şeklinde iki beşgen görüyoruz. Kenarlarını sayalım:
- Büyük Şekil: Tabanı 6 birim, yan duvar yüksekliği 4 birim.
- Küçük Şekil: Tabanı 3 birim, yan duvar yüksekliği 2 birim.
- Dikkat edersen büyük şeklin ölçüleri, küçük şeklin tam 2 katıdır (6’ya 3 ve 4’e 2).
- Aralarında belli bir oran olduğu için bu şekiller benzerdir.
- Sonuç: Bu iki şekil BENZER şekillerdir.
ç. Şıkkı Çözümü:
Burada “E” harfine benzeyen iki şekil var.
- Büyük E: Yüksekliği 5 birim, genişliği 3 birim.
- Küçük E: Yüksekliği 3 birim, genişliği 2 birim.
- Oranlara bakalım: Yükseklik oranı 5/3 iken, genişlik oranı 3/2’dir. Bu oranlar birbirine eşit değildir. Şekil orantılı küçülmemiştir, biraz basıklaşmıştır.
- Sonuç: Bu şekiller ne eş ne de benzerdir.
2. Aşağıdaki üçgenlerden benzer olanları belirleyiniz. Benzer olanları sembol kullanarak yazınız.
Üçgenlerde benzerlik ararken en kolay yol açılarına bakmaktır. Eğer iki üçgenin iç açıları birbirinin aynısı ise bu üçgenler kesinlikle benzerdir.
Adım 1: Tüm üçgenlerin açılarını bulalım.
- ABC Üçgeni: B açısı 90°, C açısı 30°. Üçgenin iç açıları toplamı 180° olduğundan, A açısı = 180 – (90+30) = 60° olur.
(Açıları: 30°, 60°, 90°) - DEF Üçgeni: Tüm kenarları 8 br verilmiş. Bu bir eşkenar üçgendir. Eşkenar üçgenlerin tüm açıları 60° dir.
(Açıları: 60°, 60°, 60°) - PRS Üçgeni: İkizkenar bir üçgen (6 br ve 6 br). Tepe açısı (P) 50°. Taban açılarını bulmak için: 180 – 50 = 130. Bunu ikiye bölersek R ve S açıları 65° olur.
(Açıları: 50°, 65°, 65°) - M (Sol Alt Köşe) Üçgeni (MNR Olarak isimlendirilmiş): Taban açıları 55° ve 55° verilmiş. Tepe açısını bulalım: 55 + 55 = 110. 180 – 110 = 70°.
(Açıları: 70°, 55°, 55°) - KLM Üçgeni (Kırmızı dik üçgen): L açısı 90°, M açısı 60°. O halde K açısı = 180 – (90+60) = 30° olur.
(Açıları: 30°, 60°, 90°) - XYZ Üçgeni: Y açısı 60°, X açısı 60° (köşedeki 60 işareti X’e ait görünüyor). İki açısı 60 ise üçüncü açısı da 60° olmak zorundadır.
(Açıları: 60°, 60°, 60°)
Adım 2: Açıları aynı olan üçgenleri eşleştirelim ve sembolle yazalım.
1. Eşleşme (30-60-90 Üçgenleri):
ABC üçgeni ile KLM üçgeninin açıları aynıdır. Şimdi köşeleri doğru sırayla eşleştirmeliyiz:
- A açısı (60°) ile M açısı (60°) eşleşir.
- B açısı (90°) ile L açısı (90°) eşleşir.
- C açısı (30°) ile K açısı (30°) eşleşir.
Sonuç:
ABC ∼ MLK (ABC üçgeni benzerdir MLK üçgenine)
2. Eşleşme (60-60-60 Eşkenar Üçgenleri):
DEF üçgeni ile XYZ üçgeninin tüm açıları 60°’dir. Bu yüzden benzerdirler.
- D, E, F köşeleri ile X, Y, Z köşeleri sırasıyla eşleşebilir.
Sonuç:
DEF ∼ XYZ (DEF üçgeni benzerdir XYZ üçgenine)
Not: PRS ve MNR üçgenlerinin açıları diğerleriyle veya birbirleriyle uyuşmadığı için benzerleri yoktur.