Merhaba sevgili öğrencim. Seninle birlikte bu matematik sorularını adım adım, sanki yan yanaymışız gibi inceleyelim ve çözelim. Bu sorular Cebirsel İfadeler ve Özdeşlikler konusuyla ilgili. Haydi başlayalım!
13. Yandaki dikdörtgenin alanı 63 cm², kısa ve uzun kenarların karelerinin toplamı 130 cm²’dir. Bu dikdörtgenin çevresinin uzunluğu kaç santimetredir?
- A. 24
- B. 28
- C. 32
- D. 40
Çözüm:
Bu soruyu çözmek için tam kare özdeşliğini kullanacağız. Öncelikle dikdörtgenin kenarlarına isim verelim:
Kısa kenar = x
Uzun kenar = y olsun.
Adım 1: Bize verilenleri matematik diline çevirelim.
- Dikdörtgenin Alanı: x . y = 63
- Kenarların kareleri toplamı: x² + y² = 130
- Bizden istenen Çevre: 2 . (x + y) = ?
Adım 2: Şimdi şu meşhur özdeşliğimizi hatırlayalım: (x + y)² = x² + y² + 2xy
Elimizdeki sayıları bu formülde yerine koyalım:
(x + y)² = 130 + 2 . (63)
(x + y)² = 130 + 126
(x + y)² = 256
Adım 3: Hangi sayının karesi 256 eder? 16’nın karesidir. Demek ki kenarlar toplamı (x + y) 16’dır.
Adım 4: Çevreyi bulmak için kenarlar toplamını 2 ile çarpmalıyız.
Çevre = 2 . (x + y)
Çevre = 2 . 16 = 32 cm
Cevap: C Seçeneğidir.
14. Bir özdeşlikte a² – b² = 160 ve a – b = 8 olduğuna göre a + b’nin değeri aşağıdakilerden hangisidir?
- A. 20
- B. 18
- C. 16
- D. 14
Çözüm:
Burada kullanmamız gereken özdeşlik “İki Kare Farkı” özdeşliğidir.
Adım 1: Özdeşliğimizi yazalım.
a² – b² = (a – b) . (a + b)
Adım 2: Soruda bize verilen sayıları yerlerine yerleştirelim.
160 = 8 . (a + b)
Adım 3: (a + b)’yi bulmak için, 160’ı 8’e bölmemiz gerekir.
a + b = 160 / 8
a + b = 20
Cevap: A Seçeneğidir.
15. 2010² – 2000² işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?
- A. 40 400
- B. 40 100
- C. 40 010
- D. 40 001
Çözüm:
Sakın bu koca sayıların karesini tek tek almaya çalışma! Burada da az önceki gibi “İki Kare Farkı” özdeşliğini kullanacağız. Bu yöntem işimizi çok kolaylaştıracak.
Adım 1: Özdeşliği hatırla: x² – y² = (x – y) . (x + y)
Adım 2: Sayıları yerine koyalım.
2010² – 2000² = (2010 – 2000) . (2010 + 2000)
Adım 3: Parantez içindeki işlemleri yapalım.
Birinci parantez: 2010 – 2000 = 10
İkinci parantez: 2010 + 2000 = 4010
Adım 4: Şimdi bu iki sonucu çarpalım.
10 . 4010 = 40 100
Cevap: B Seçeneğidir.
16. Yanda cebir karoları ile modellenmiş dikdörtgensel bölgenin alanını veren ifadenin çarpanlarına ayrılmış biçimi aşağıdakilerden hangisidir?
- A. 2x² + 5x + 2 = (x + 2) . (2x + 1)
- B. 2x² + 5x + 2 = (x – 2) . (2x + 1)
- C. x² + 5x + 2 = (2x – 1) . (x + 2)
- D. 2x² + 5x + 2 = (2x – 1) . x
Çözüm:
Bu soruyu çözmek için şeklin kenar uzunluklarını bulmamız yeterli.
Adım 1: Şeklin parçalarına bakalım.
- Mavi büyük karelerin bir kenarı x birimdir.
- Pembe dikdörtgenlerin uzun kenarı x, kısa kenarı 1 birimdir.
- Sarı küçük karelerin bir kenarı 1 birimdir.
Adım 2: Şimdi oluşturulan büyük dikdörtgenin kenarlarını ölçelim.
Dikey (Sol) Kenar: En üstte bir mavi kare kenarı (x), altında iki tane pembe dikdörtgen kısa kenarı (1 ve 1) var.
Yani Dikey Kenar = x + 2
Yatay (Üst) Kenar: Yan yana iki mavi kare kenarı (x ve x) ve en sağda bir pembe dikdörtgen kısa kenarı (1) var.
Yani Yatay Kenar = 2x + 1
Adım 3: Alan, bu iki kenarın çarpımıdır.
Alan = (x + 2) . (2x + 1)
Toplam alana bakarsak: 2 tane x² (mavi), 5 tane x (pembe), 2 tane 1 (sarı) var. Yani 2x² + 5x + 2.
Şıklara baktığımızda bu eşitliği A şıkkında görüyoruz.
Cevap: A Seçeneğidir.
17. 8x² – 4x ifadesinin çarpanlarına ayrılmış biçimi aşağıdakilerden hangisidir?
- A. x . (8x – 4x)
- B. 4x . (x² – 4)
- C. 4x . (x² – 2)
- D. 4x . (2x – 1)
Çözüm:
Burada “Ortak Çarpan Parantezine Alma” yöntemini kullanacağız.
Adım 1: Her iki terimdeki ortak olan sayıları ve harfleri bulalım.
- Sayılar: 8 ve 4. İkisi de 4’e bölünür. Ortak çarpan: 4
- Harfler: x² ve x. İkisinde de x var. Ortak çarpan: x
Yani en büyük ortak çarpanımız: 4x
Adım 2: İfadeyi 4x parantezine alalım.
8x²’yi 4x’e bölersek ->2x kalır.
-4x’i 4x’e bölersek ->-1 kalır.
Sonuç: 4x . (2x – 1)
Cevap: D Seçeneğidir.
18. –30t + 25t² + 9 ifadesinin çarpanlarına ayrılmış biçimi aşağıdakilerden hangisidir?
- A. (5t – 3) . (5t + 3)
- B. (5t + 3)²
- C. (5t – 3)²
- D. (5t + 3) . 2t
Çözüm:
Öncelikle ifadeyi daha düzgün, kuvvetlerine göre sıralı bir şekilde yazalım.
25t² – 30t + 9
Adım 1: Bu ifade üç terimli bir ifadedir. Acaba bir “Tam Kare” mi diye kontrol edelim.
- Birinci terim: 25t² neyin karesidir? ->5t‘nin.
- Üçüncü terim: 9 neyin karesidir? ->3‘ün.
Adım 2: Ortadaki terimi kontrol edelim. Birinci ve ikincinin çarpımının 2 katı ortayı veriyor mu?
2 . (5t) . (3) = 30t. Evet, veriyor!
Adım 3: İşarete dikkat edelim. Ortadaki terimin işareti eksi (–) olduğu için bu bir farkın karesidir.
Sonuç: (5t – 3)²
Cevap: C Seçeneğidir.
19. 1 – 49n² ifadesinin çarpanlarına ayrılmış biçimi aşağıdakilerden hangisidir?
- A. (1 – 7n) . (1 + 7n)
- B. (1 – 7n)²
- C. (1 + 7n)²
- D. (1 – 49n) . (1 + 49n)
Çözüm:
Yine karşımızda iki terim var ve arada eksi işareti var. Bu bize “İki Kare Farkı”nı hatırlatmalı.
Adım 1: Terimlerin neyin karesi olduğunu bulalım.
- 1 neyin karesidir? ->1‘in.
- 49n² neyin karesidir? ->7n‘nin.
Adım 2: İki kare farkı kuralını uygulayalım: Bir eksilisini, bir artılısını yazıp çarpıyoruz.
(1 – 7n) . (1 + 7n)
Cevap: A Seçeneğidir.