Merhaba sevgili öğrencim. Seninle bu sayfadaki Matematik 8. Sınıf “Cebirsel İfadeler ve Özdeşlikler” ünitesine ait soruları ve etkinlikleri inceleyelim. Burada çarpanlara ayırma konusuna giriş yapıyoruz. Hadi gel, soruları adım adım ve anlaşılır bir şekilde çözelim.
SORU 1: Havuz Problemi
Soru Metni: Dikdörtgen biçimindeki bir havuzun üst yüzünün boyu x metre, eni (x – 10) m’dir. Bu havuzun üst yüzünün çevresinin uzunluğunu veren cebirsel ifadeler, dikdörtgenin çevre uzunluğunu veren Ç = 2 . a + 2 . b ve Ç = 2 . (a + b) eşitliklerinden yararlanarak,
Ç = [2 . x + 2 . (x – 10)] ve Ç = 2 . [x + (x – 10)]
= 2x + 2x – 20
= (4x – 20)m biçiminde yazıldı.
Havuzun üst yüzünün çevresinin uzunluğunu veren cebirsel ifadeleri ve bu ifadeler arasındaki ilişkiyi açıklayınız.
ÇÖZÜM:
Burada bize dikdörtgenin çevresini bulmanın iki farklı yolu gösterilmiş ve aslında bu iki yolun bizi aynı sonuca götürdüğü anlatılmak istenmiş. Gel seninle bu ilişkiyi inceleyelim.
Adım 1: Verilenleri Belirleyelim
- Havuzun boyu (uzun kenar diyelim): x metre
- Havuzun eni (kısa kenar diyelim): (x – 10) metre
Adım 2: Birinci Yöntemle Çevre Hesabı
Dikdörtgenin çevresi, bütün kenarlarının toplamıdır. Yani 2 tane uzun kenar ve 2 tane kısa kenar vardır. Formülümüz: Ç = 2 . (Uzun Kenar) + 2 . (Kısa Kenar)
Ç = 2 . x + 2 . (x – 10)
Burada 2’yi parantez içine dağıtmamız gerekir:
Ç = 2x + (2 . x) – (2 . 10)
Ç = 2x + 2x – 20
Benzer terimleri (x’li olanları) toplarsak:
Ç = 4x – 20
Adım 3: İkinci Yöntemle Çevre Hesabı
Dikdörtgenin çevresi, kısa kenar ile uzun kenarın toplamının 2 katıdır. Formülümüz: Ç = 2 . (Uzun Kenar + Kısa Kenar)
Ç = 2 . [x + (x – 10)]
Önce parantez içini toplayalım:
Ç = 2 . [2x – 10]
Şimdi dışarıdaki 2 çarpanını içeriye dağıtalım:
Ç = (2 . 2x) – (2 . 10)
Ç = 4x – 20
Sonuç ve İlişki Açıklaması:
Gördüğün gibi her iki yöntemle de sonuç 4x – 20 çıktı. Bu iki ifade arasındaki ilişki “Ortak Çarpan Parantezine Alma” ve “Dağılma Özelliği”dir. Birinci ifadede terimler ayrı ayrı yazılmışken, ikinci ifadede 2 ortak çarpan parantezine alınmıştır. Matematiksel olarak bu iki ifade birbirine özdeştir (eşittir).
SORU 2: Uygulama Basamakları (Etkinlik)
Soru Metni: Aşağıdaki uygulama basamaklarını takip ederek istenen cebirsel ifadeleri bulunuz.
ÇÖZÜM:
Bu bir “yaparak yaşayarak öğrenme” etkinliği. Seninle bu etkinliği zihnimizde canlandırarak ve kağıt üzerinde işlem yaparak tamamlayalım.
Adım 1: Şekilleri Oluşturma
- Bir dikdörtgen çiziyoruz: Kısa kenarı a birim, uzun kenarı b birim.
- Bir kare çiziyoruz: Bir kenarının uzunluğu b birim.
Adım 2: Alanları Bulma ve Toplama
Bizden bu şekillerin alanlarını bulmamız ve toplamamız isteniyor.
- Dikdörtgenin Alanı = Kısa Kenar x Uzun Kenar = a . b
- Karenin Alanı = Kenar x Kenar = b . b = b²
- Alanların Toplamı:a.b + b²
Adım 3: Şekilleri Birleştirme
Soruda diyor ki: “Aynı uzunlukta olan kenarları (b kenarları) yan yana gelecek şekilde birleştiriniz.”
Bu durumda elimizde daha büyük, tek parça yeni bir dikdörtgen oluşur.
Adım 4: Yeni Oluşan Şeklin Kenar Uzunlukları
- Birleşen kenarlar (yükseklik gibi düşünelim) değişmedi, uzunluğu hala: b birim.
- Diğer kenarlar uç uca eklendiği için uzadı. Dikdörtgenden gelen a kenarı ile kareden gelen b kenarı birleşti.
- Yeni uzun kenar: (a + b) birim oldu.
Adım 5: Yeni Şeklin Alanını Çarpım Olarak Yazma
Yeni oluşan büyük dikdörtgenin alanı, kenarlarının çarpımıdır.
- Alan = Kısa Kenar x Uzun Kenar
- Alan = b . (a + b)
Adım 6: Matematik Cümlesi (İlişki)
Başlangıçta ayrı ayrı hesapladığımız alanların toplamı (Adım 2), birleştirdikten sonra bulduğumuz alana (Adım 5) eşit olmak zorundadır. Çünkü kağıt eklemedik veya çıkarmadık.
Matematik Cümlesi:
a.b + b² = b . (a + b)
Adım 7: Ortak Çarpanı Söyleme
İfadede a.b ve b² terimlerine baktığımızda, her iki terimde de ortak olan harf (değişken) hangisidir?
Evet, her ikisinde de b harfi vardır. O halde:
Ortak Çarpan: b‘dir.
Bu etkinlik sana “Ortak Çarpan Parantezine Alma” yönteminin geometrik olarak ne anlama geldiğini göstermektedir. Harikasın!