Merhaba sevgili öğrencim! Bugün seninle kareköklü sayılar konusunu, özellikle de tam kare olmayan sayıların hangi iki doğal sayı arasında olduğunu bulmayı öğreneceğiz. Görseldeki etkinlikleri adım adım, sanki sınıfta tahtada çözüyormuşuz gibi inceleyelim.
Soru 1: Fuat Bey’in Hediye Kutusu Problemi
Fuat Bey, eşine hediye etmek üzere bir yüzük alıyor. Yüzüğün konulduğu küp biçimindeki kutunun bir ayrıtının uzunluğu $sqrt{75}$ cm’dir.
Bu kutunun bir ayrıtının uzunluğunun hangi tam sayılar arasında olduğunu nasıl bulabileceğinizi açıklayınız.
Çözüm:
Bu soruda bizden istenen, $sqrt{75}$ sayısının sayı doğrusunda hangi iki tam sayı (doğal sayı) arasına düştüğünü bulmamızdır. Bunu bulmak için şu yöntemi izleriz:
- Adım 1: Kök içindeki sayıya (75’e) en yakın olan “tam kare” sayıları düşünmeliyiz. Tam kare sayılar, bir sayının karesi olan sayılardır (1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100…).
- Adım 2: 75 sayısından küçük en büyük tam kare sayı 64‘tür ($8 times 8 = 64$).
- Adım 3: 75 sayısından büyük en küçük tam kare sayı 81‘dir ($9 times 9 = 81$).
- Adım 4: Bu durumda 75 sayısı, 64 ile 81 arasındadır.
$64 < 75 < 81$ - Adım 5: Şimdi her tarafın karekökünü alalım.
$sqrt{64} < sqrt{75} < sqrt{81}$ - Sonuç: $sqrt{64}$ dışarıya 8 olarak, $sqrt{81}$ dışarıya 9 olarak çıkar.
$8 < sqrt{75} < 9$
Yani kutunun bir ayrıtının uzunluğu 8 cm ile 9 cm arasındadır.
Soru 2: Uygulama Basamakları
Aşağıdaki karesel bölgelerin alanlarının kaçar birimkare olduğunu bulunuz.
(Görselde a = 3 br olan mavi kare ve b = 4 br olan sarı kare verilmiş.)
Çözüm:
- Mavi Karenin Alanı: Bir kenarı 3 birim olduğuna göre alanı; $3 times 3 = mathbf{9}$ birimkaredir.
- Sarı Karenin Alanı: Bir kenarı 4 birim olduğuna göre alanı; $4 times 4 = mathbf{16}$ birimkaredir.
Bulduğunuz alanlara karşılık gelen sayıları aşağıdaki sayı doğrusunda yuvarlak içine alınız.
Çözüm:
Sayı doğrusunda 9 ve 16 sayılarını yuvarlak içine almalısın. Çünkü mavi karenin alanı 9, sarı karenin alanı 16 çıktı.
Yuvarlak içine aldığınız sayılarla bu sayılar arasında kalan tam sayıları küçükten büyüğe doğru sıralayınız.
Çözüm:
9 ile 16 arasındaki (bu sayılar dahil) tam sayıları yazalım:
9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16
Aynı sıralamayı bu sayıları karekök içinde yazarak yapınız.
Çözüm:
Yukarıdaki sayıların hepsine karekök şapkası takıyoruz:
$sqrt{9}, sqrt{10}, sqrt{11}, sqrt{12}, sqrt{13}, sqrt{14}, sqrt{15}, sqrt{16}$
Sıraladığınız sayılardan tam kare olanları, kareköklerini alarak yaptığınız sıralamadaki yerlerine yazınız.
Çözüm:
Burada kök dışına tam olarak çıkabilen sayıları (tam kareleri) bulup normal hallerini yazacağız. Diğerleri kök içinde kalacak.
- $sqrt{9} = 3$
- $sqrt{16} = 4$
Yeni sıralamamız şöyle olur:
$3, sqrt{10}, sqrt{11}, sqrt{12}, sqrt{13}, sqrt{14}, sqrt{15}, 4$
(Bu sıralama bize, $sqrt{10}$’dan $sqrt{15}$’e kadar olan sayıların sayı doğrusunda 3 ile 4 arasında olduğunu gösterir.)
Oluşan sıralamaya göre $sqrt{14}$ sayısının hangi iki tam sayı arasında ve bu tam sayılardan hangisine daha yakın olduğunu söyleyiniz.
Çözüm:
Bu soruyu cevaplamak için son yaptığımız sıralamaya ve sayılar arasındaki mesafeye bakacağız.
- Adım 1 (Aralık Bulma): Sıralamamızda $sqrt{14}$ sayısı, 3 ($sqrt{9}$) ile 4 ($sqrt{16}$) arasındadır.
- Adım 2 (Yakınlık Bulma): $sqrt{14}$ sayısının 3’e mi yoksa 4’e mi daha yakın olduğunu anlamak için kök içindeki sayıların farkına bakarız.
- Alt sınıra uzaklık: $14 – 9 = 5$ birim.
- Üst sınıra uzaklık: $16 – 14 = 2$ birim.
- Sonuç: Aradaki fark 2 birim olduğu için 16’ya daha yakındır. Bu yüzden $sqrt{14}$ sayısı 4 tam sayısına daha yakındır.
Aferin! Bu adımları takip ederek kareköklü sayıların yerini tahmin etmeyi harika bir şekilde öğrendin.