Merhaba sevgili öğrencilerim! Bugün birlikte alıştırmalar ve problemler kısmındaki soruları çözeceğiz. Hazırsanız başlayalım!
1. Aşağıdaki eşitsizlikleri çözünüz.
a) 3x < 15
Bu soruda amacımız x’in alabileceği değerleri bulmak. Eşitsizlikte x’i yalnız bırakmamız gerekiyor. Bunun için her iki tarafı da 3’e bölelim.
Adım 1: Eşitsizliğin her iki tarafını 3’e bölün.
$$ frac{3x}{3} < frac{15}{3} $$
Adım 2: Bölme işlemini yapın.
$$ x < 5 $$
Sonuç: x, 5’ten küçüktür.
b) $$ frac{x}{8} > 1 $$
Burada da x’i yalnız bırakmak için her iki tarafı 8 ile çarpacağız.
Adım 1: Eşitsizliğin her iki tarafını 8 ile çarpın.
$$ frac{x}{8} times 8 > 1 times 8 $$
Adım 2: Çarpma işlemini yapın.
$$ x > 8 $$
Sonuç: x, 8’den büyüktür.
c) -6x ≤ 24
Bu soruda dikkat etmemiz gereken bir nokta var: Eşitsizliğin her iki tarafını negatif bir sayıyla çarptığımızda veya böldüğümüzde eşitsizlik yön değiştirir. Burada her iki tarafı -6’ya böleceğiz.
Adım 1: Eşitsizliğin her iki tarafını -6’ya bölün.
$$ frac{-6x}{-6} ge frac{24}{-6} $$
Adım 2: Bölme işlemini yapın ve eşitsizliğin yönünü değiştirin.
$$ x ge -4 $$
Sonuç: x, -4’e eşit veya -4’ten büyüktür.
ç) 4 – x ≥ 3
Şimdi x’i yalnız bırakmak için önce 4’ü eşitsizliğin diğer tarafına atalım. Karşıya geçerken işareti değişir.
Adım 1: Eşitsizliğin her iki tarafından 4 çıkarın.
$$ 4 – x – 4 ≥ 3 – 4 $$
Adım 2: Çıkarma işlemini yapın.
$$ -x ≥ -1 $$
Adım 3: Şimdi x’i pozitif yapmak için her iki tarafı -1’e bölelim. Unutmayalım, negatif bir sayıyla böldüğümüzde eşitsizlik yön değiştirir.
$$ frac{-x}{-1} le frac{-1}{-1} $$
Adım 4: Bölme işlemini yapın ve eşitsizliğin yönünü değiştirin.
$$ x le 1 $$
Sonuç: x, 1’e eşit veya 1’den küçüktür.
d) $$ frac{2x}{5} – 1 > 4 $$
Bu soruda önce -1’i eşitsizliğin diğer tarafına atalım.
Adım 1: Eşitsizliğin her iki tarafına 1 ekleyin.
$$ frac{2x}{5} – 1 + 1 > 4 + 1 $$
Adım 2: Toplama işlemini yapın.
$$ frac{2x}{5} > 5 $$
Adım 3: Şimdi kesirden kurtulmak için her iki tarafı 5 ile çarpalım.
$$ frac{2x}{5} times 5 > 5 times 5 $$
Adım 4: Çarpma işlemini yapın.
$$ 2x > 25 $$
Adım 5: Son olarak x’i yalnız bırakmak için her iki tarafı 2’ye bölelim.
$$ frac{2x}{2} > frac{25}{2} $$
Adım 6: Bölme işlemini yapın.
$$ x > 12.5 $$
Sonuç: x, 12.5’ten büyüktür.
e) -x + 1 ≤ 7
Önce +1’i eşitsizliğin diğer tarafına atalım.
Adım 1: Eşitsizliğin her iki tarafından 1 çıkarın.
$$ -x + 1 – 1 ≤ 7 – 1 $$
Adım 2: Çıkarma işlemini yapın.
$$ -x ≤ 6 $$
Adım 3: x’i pozitif yapmak için her iki tarafı -1’e bölelim ve eşitsizlik yönünü değiştirelim.
$$ frac{-x}{-1} ge frac{6}{-1} $$
Adım 4: Bölme işlemini yapın ve eşitsizliğin yönünü değiştirin.
$$ x ge -6 $$
Sonuç: x, -6’ya eşit veya -6’dan büyüktür.
f) $$ frac{-4x+2}{3} > 14 $$
Bu soruda önce paydadaki 3’ten kurtulalım.
Adım 1: Eşitsizliğin her iki tarafını 3 ile çarpın.
$$ frac{-4x+2}{3} times 3 > 14 times 3 $$
Adım 2: Çarpma işlemini yapın.
$$ -4x+2 > 42 $$
Adım 3: Şimdi +2’yi eşitsizliğin diğer tarafına atalım.
$$ -4x + 2 – 2 > 42 – 2 $$
Adım 4: Çıkarma işlemini yapın.
$$ -4x > 40 $$
Adım 5: x’i yalnız bırakmak için her iki tarafı -4’e bölelim ve eşitsizlik yönünü değiştirelim.
$$ frac{-4x}{-4} < frac{40}{-4} $$
Adım 6: Bölme işlemini yapın ve eşitsizliğin yönünü değiştirin.
$$ x < -10 $$
Sonuç: x, -10’dan küçüktür.
g) 2x – 1 ≥ 5
Önce -1’i eşitsizliğin diğer tarafına atalım.
Adım 1: Eşitsizliğin her iki tarafına 1 ekleyin.
$$ 2x – 1 + 1 ≥ 5 + 1 $$
Adım 2: Toplama işlemini yapın.
$$ 2x ≥ 6 $$
Adım 3: x’i yalnız bırakmak için her iki tarafı 2’ye bölün.
$$ frac{2x}{2} ≥ frac{6}{2} $$
Adım 4: Bölme işlemini yapın.
$$ x ge 3 $$
Sonuç: x, 3’e eşit veya 3’ten büyüktür.
ğ) 3(x – 1) ≤ 7
Bu soruda önce parantezin içini dağıtabiliriz veya her iki tarafı 3’e bölebiliriz. Ben her iki tarafı 3’e bölmeyi tercih ediyorum.
Adım 1: Eşitsizliğin her iki tarafını 3’e bölün.
$$ frac{3(x – 1)}{3} le frac{7}{3} $$
Adım 2: Sadeleştirme işlemini yapın.
$$ x – 1 le frac{7}{3} $$
Adım 3: Şimdi -1’i eşitsizliğin diğer tarafına atalım.
$$ x – 1 + 1 le frac{7}{3} + 1 $$
Adım 4: Toplama işlemini yapın. Paydaları eşitlemeyi unutmayın!
$$ x le frac{7}{3} + frac{3}{3} $$
$$ x le frac{10}{3} $$
Sonuç: x, $$ frac{10}{3} $$’e eşit veya $$ frac{10}{3} $$’ten küçüktür.
2. Aşağıdaki ifadelere uygun eşitsizlikleri yazınız ve çözünüz.
a) Hakan’ın yaşının 8 fazlası 20’den küçüktür.
Hakan’ın yaşına ‘h’ diyelim. “Yaşının 8 fazlası” demek, yaşının üzerine 8 eklemek demektir. “20’den küçüktür” ise 20’den küçük olduğunu gösterir.
Eşitsizlik: $$ h + 8 < 20 $$
Adım 1: Eşitsizliğin her iki tarafından 8 çıkarın.
$$ h + 8 – 8 < 20 – 8 $$
Adım 2: Çıkarma işlemini yapın.
$$ h < 12 $$
Sonuç: Hakan’ın yaşı 12’den küçüktür.
b) Bilge’nin harçlığının 2 katı 30 TL’ye eşit veya 30 TL’den büyüktür.
Bilge’nin harçlığına ‘b’ diyelim. “Harçlığının 2 katı” demek, harçlığını 2 ile çarpmak demektir. “30 TL’ye eşit veya 30 TL’den büyüktür” ise 30’a eşit veya 30’dan büyük olduğunu gösterir.
Eşitsizlik: $$ 2b ge 30 $$
Adım 1: Eşitsizliğin her iki tarafını 2’ye bölün.
$$ frac{2b}{2} ge frac{30}{2} $$
Adım 2: Bölme işlemini yapın.
$$ b ge 15 $$
Sonuç: Bilge’nin harçlığı 15 TL’ye eşit veya 15 TL’den büyüktür.
c) Cem’in bilyelerinin sayısının $$ frac{3}{4} $$’ü 12’den azdır.
Cem’in bilyelerinin sayısına ‘c’ diyelim. “Bilyelerinin sayısının $$ frac{3}{4} $$’ü” demek, bilye sayısını $$ frac{3}{4} $$ ile çarpmak demektir. “12’den azdır” ise 12’den küçük olduğunu gösterir.
Eşitsizlik: $$ frac{3}{4}c < 12 $$
Adım 1: Eşitsizliğin her iki tarafını 4 ile çarpın.
$$ frac{3}{4}c times 4 < 12 times 4 $$
Adım 2: Çarpma işlemini yapın.
$$ 3c < 48 $$
Adım 3: Eşitsizliğin her iki tarafını 3’e bölün.
$$ frac{3c}{3} < frac{48}{3} $$
Adım 4: Bölme işlemini yapın.
$$ c < 16 $$
Sonuç: Cem’in bilyelerinin sayısı 16’dan azdır.
ç) Bir sayının yarısı ile $$ frac{1}{3} $$’ünün toplamı 10’dan büyüktür.
Bilinmeyen sayımıza ‘s’ diyelim. “Bir sayının yarısı” $$ frac{s}{2} $$’dir. “$$ frac{1}{3} $$’ünün” ise $$ frac{s}{3} $$’tür. “Toplamı 10’dan büyüktür” ise toplama işleminin sonucunun 10’dan büyük olduğunu gösterir.
Eşitsizlik: $$ frac{s}{2} + frac{s}{3} > 10 $$
Adım 1: Kesirleri toplamak için paydaları eşitleyin. En küçük ortak payda 6’dır.
$$ frac{3s}{6} + frac{2s}{6} > 10 $$
Adım 2: Toplama işlemini yapın.
$$ frac{5s}{6} > 10 $$
Adım 3: Eşitsizliğin her iki tarafını 6 ile çarpın.
$$ frac{5s}{6} times 6 > 10 times 6 $$
Adım 4: Çarpma işlemini yapın.
$$ 5s > 60 $$
Adım 5: Eşitsizliğin her iki tarafını 5’e bölün.
$$ frac{5s}{5} > frac{60}{5} $$
Adım 6: Bölme işlemini yapın.
$$ s > 12 $$
Sonuç: Bu sayı 12’den büyüktür.
d) Bir ABC eşkenar üçgeninin çevresinin uzunluğu 24 cm’ye eşit veya 24 cm’den küçüktür.
Eşkenar üçgenin tüm kenar uzunlukları birbirine eşittir. Bir kenar uzunluğuna ‘a’ diyelim. Çevresi ise 3a’dır. “24 cm’ye eşit veya 24 cm’den küçüktür” ifadesi, çevrenin 24’ten küçük veya eşit olduğunu gösterir.
Eşitsizlik: $$ 3a le 24 $$
Adım 1: Eşitsizliğin her iki tarafını 3’e bölün.
$$ frac{3a}{3} le frac{24}{3} $$
Adım 2: Bölme işlemini yapın.
$$ a le 8 $$
Sonuç: Eşkenar üçgenin bir kenar uzunluğu 8 cm’ye eşit veya 8 cm’den küçüktür.
e) Bir sayının -3 katının 2 fazlası 15’e eşit veya 15’ten büyüktür.
Bilinmeyen sayımıza ‘y’ diyelim. “Bir sayının -3 katı” -3y’dir. “2 fazlası” ise -3y + 2’dir. “15’e eşit veya 15’ten büyüktür” ifadesi, sonucun 15’ten büyük veya eşit olduğunu gösterir.
Eşitsizlik: $$ -3y + 2 ge 15 $$
Adım 1: Eşitsizliğin her iki tarafından 2 çıkarın.
$$ -3y + 2 – 2 ge 15 – 2 $$
Adım 2: Çıkarma işlemini yapın.
$$ -3y ge 13 $$
Adım 3: x’i yalnız bırakmak için her iki tarafı -3’e bölelim ve eşitsizlik yönünü değiştirelim.
$$ frac{-3y}{-3} le frac{13}{-3} $$
Adım 4: Bölme işlemini yapın ve eşitsizliğin yönünü değiştirin.
$$ y le -frac{13}{3} $$
Sonuç: Bu sayı $$ -frac{13}{3} $$’e eşit veya $$ -frac{13}{3} $$’ten küçüktür.
3. Yandaki ABCD karesinin çevresinin uzunluğu 36 cm’den küçük ve bir kenarının uzunluğu bir tam sayıdır. Bu karenin bir kenarının uzunluğunun en çok kaç santimetre olabileceğini bulunuz.
ABCD bir kare olduğuna göre, tüm kenar uzunlukları birbirine eşittir. Karenin bir kenar uzunluğuna ‘k’ diyelim. Karenin çevresi 4k olur. Bize verilen bilgiye göre çevre 36 cm’den küçükmüş.
Eşitsizlik: $$ 4k < 36 $$
Adım 1: Eşitsizliğin her iki tarafını 4’e bölün.
$$ frac{4k}{4} < frac{36}{4} $$
Adım 2: Bölme işlemini yapın.
$$ k < 9 $$
Bize soruda bir kenar uzunluğunun bir tam sayı olduğu söylenmiş. k’nın 9’dan küçük en büyük tam sayı değeri soruluyor. Bu da 8’dir.
Sonuç: Karenin bir kenarının uzunluğu en çok 8 cm olabilir.
4. Yandaki şekilde x bir tam sayı olmak üzere ABC üçgeninin kenar uzunlukları üzerinde verilmiştir. Bu üçgenin çevresinin uzunluğu 38 cm’den küçük olduğuna göre x uzunluğunun en çok kaç santimetre olabileceğini bulunuz.
Üçgenin kenar uzunlukları x + 3 cm, x cm ve x + 2 cm olarak verilmiş. Üçgenin çevresi, tüm kenar uzunluklarının toplamıdır. Çevrenin 38 cm’den küçük olduğu bilgisi verilmiş.
Adım 1: Kenar uzunluklarını toplayarak çevreyi bulun.
Çevre = $$(x + 3) + x + (x + 2)$$
Adım 2: Benzer terimleri birleştirerek çevreyi sadeleştirin.
Çevre = $$3x + 5$$
Adım 3: Çevrenin 38 cm’den küçük olduğunu belirten eşitsizliği yazın.
$$3x + 5 < 38$$
Adım 4: Eşitsizliğin her iki tarafından 5 çıkarın.
$$3x + 5 – 5 < 38 – 5$$
Adım 5: Çıkarma işlemini yapın.
$$3x < 33$$
Adım 6: Eşitsizliğin her iki tarafını 3’e bölün.
$$ frac{3x}{3} < frac{33}{3} $$
Adım 7: Bölme işlemini yapın.
$$ x < 11 $$
Bize soruda x’in bir tam sayı olduğu söylenmiş. x’in 11’den küçük en büyük tam sayı değeri soruluyor. Bu da 10’dur.
Sonuç: x uzunluğunun en çok 10 cm olabileceğini bulunuz.
5. Arzu, “Boya kalemlerimin sayısının 3 katının 6 fazlasının yarısı 22’den küçüktür.” diyor. Arzu’nun boya kalemlerinin sayısının en çok kaç olabileceğini bulunuz.
Arzu’nun boya kalemlerinin sayısına ‘a’ diyelim. “Boya kalemlerimin sayısının 3 katı” 3a’dır. “6 fazlası” 3a + 6 olur. “Bu ifadenin yarısı” ise $$ frac{3a + 6}{2} $$’dir. “22’den küçüktür” ifadesi ise bu sonucun 22’den küçük olduğunu gösterir.
Eşitsizlik: $$ frac{3a + 6}{2} < 22 $$
Adım 1: Eşitsizliğin her iki tarafını 2 ile çarpın.
$$ frac{3a + 6}{2} times 2 < 22 times 2 $$
Adım 2: Çarpma işlemini yapın.
$$ 3a + 6 < 44 $$
Adım 3: Eşitsizliğin her iki tarafından 6 çıkarın.
$$ 3a + 6 – 6 < 44 – 6 $$
Adım 4: Çıkarma işlemini yapın.
$$ 3a < 38 $$
Adım 5: Eşitsizliğin her iki tarafını 3’e bölün.
$$ frac{3a}{3} < frac{38}{3} $$
Adım 6: Bölme işlemini yapın.
$$ a < 12.66… $$
Boya kalemlerinin sayısı bir tam sayı olmalı. Bu sayının 12.66…’dan küçük en büyük tam sayı değeri soruluyor. Bu da 12’dir.
Sonuç: Arzu’nun boya kalemlerinin sayısı en çok 12 olabilir.
6. Hasan’ın yaşının 2 katını -35’ten çıkarınca bulunan sayı 7’ye eşit veya 7’den büyük olmaktadır. Hasan’ın yaşının en az kaç olabileceğini bulunuz.
Hasan’ın yaşına ‘h’ diyelim. “Hasan’ın yaşının 2 katı” 2h’dir. “Bunu -35’ten çıkarınca” demek, -35’ten 2h’yi çıkarmak demektir. “Bulunan sayı 7’ye eşit veya 7’den büyük olmaktadır” ifadesi ise sonucun 7’den büyük veya eşit olduğunu gösterir.
Eşitsizlik: $$ -35 – 2h ge 7 $$
Adım 1: Eşitsizliğin her iki tarafına 35 ekleyin.
$$ -35 – 2h + 35 ge 7 + 35 $$
Adım 2: Toplama işlemini yapın.
$$ -2h ge 42 $$
Adım 3: h’yi yalnız bırakmak için her iki tarafı -2’ye bölelim ve eşitsizlik yönünü değiştirelim.
$$ frac{-2h}{-2} le frac{42}{-2} $$
Adım 4: Bölme işlemini yapın ve eşitsizliğin yönünü değiştirin.
$$ h le -21 $$
Bir kişinin yaşı negatif olamaz. Soruda bir hata olabilir ya da ben soruyu yanlış anlamış olabilirim. Eğer soruda “Hasan’ın yaşının 2 katından 35 çıkarılınca” deseydi, o zaman eşitsizlik $$ 2h – 35 ge 7 $$ olurdu. Bu durumda:
$$ 2h ge 42 $$
$$ h ge 21 $$
Bu durumda Hasan’ın yaşı en az 21 olurdu. Ancak soruda verilen ifadeyle devam edersek:
Sonuç: Verilen ifadeye göre Hasan’ın yaşı -21’e eşit veya -21’den küçüktür. Ancak yaş negatif olamayacağı için soruda bir tutarsızlık bulunmaktadır. Eğer soru “Hasan’ın yaşının 2 katından 35 çıkarılınca…” şeklinde olsaydı, sonuç Hasan’ın yaşının en az 21 olacağı şeklinde olurdu.
Umarım bu çözümler anlaşılır olmuştur. Anlamadığınız yerleri lütfen sormaktan çekinmeyin!