8. Sınıf Matematik Ders Kitabı Cevapları Koza Yayınları Sayfa 201
Merhaba sevgili öğrencim. Bugün seninle Pisagor Bağıntısı konusunu ve bu bağıntının nasıl ortaya çıktığını inceleyeceğiz. Görseldeki “Uygulama Basamakları” bölümündeki soruları adım adım çözerek, dik üçgenin kenarları arasındaki o gizemli ilişkiyi keşfedeceğiz. Hazırsan başlayalım!
Soru 1: ABC dik üçgenin hipotenüsünün uzunluğunu bu üçgenin alanı ve yükseklik uzunluğundan yararlanarak bulunuz.
Çözüm:
Bu soruda bizden istenen, üçgenin alan formülünü tersten kullanarak en uzun kenar olan hipotenüsü (AC kenarını) bulmamız.
- Adım 1: Üçgenin alanının bize 24 br² olduğu verilmiş. Ayrıca hipotenüse inen dikme yani yükseklik (BH) 4,8 br olarak verilmiş.
- Adım 2: Üçgenin alan formülünü hatırlayalım: Alan = (Taban x Yükseklik) / 2. Burada tabanımız hipotenüs olan |AC| kenarıdır.
- Adım 3: Verilenleri formülde yerine koyalım:
24 = (|AC| x 4,8) / 2 - Adım 4: Şimdi işlemi yapalım. Eşitliğin her iki tarafını 2 ile çarpalım ki bölü 2’den kurtulalım.
24 x 2 = |AC| x 4,8
48 = |AC| x 4,8 - Adım 5: |AC| uzunluğunu bulmak için 48’i 4,8’e bölmemiz gerekir.
|AC| = 48 / 4,8
|AC| = 10 br
Sonuç: Alan formülünü kullanarak hipotenüs uzunluğunu 10 birim bulduk.
Soru 2: Şimdi de ABC üçgeninin dik kenarlarının uzunluklarının karelerini bulunuz. Bulduğunuz değerleri toplayınız.
Çözüm:
Burada dik açıyı oluşturan kısa kenarların (dik kenarların) karelerini alıp toplayacağız.
- Adım 1: Dik kenarlarımız görselde |AB| = 6 br ve |BC| = 8 br olarak verilmiş.
- Adım 2: Birinci dik kenarın karesini alalım:
6² = 6 x 6 = 36 - Adım 3: İkinci dik kenarın karesini alalım:
8² = 8 x 8 = 64 - Adım 4: Şimdi bu iki değeri toplayalım:
36 + 64 = 100
Soru 3: Elde ettiğiniz toplamın karekökünü hesaplayınız.
Çözüm:
- Adım 1: Bir önceki adımda dik kenarların kareleri toplamını 100 bulmuştuk.
- Adım 2: Şimdi 100 sayısının karekökünü alıyoruz. Hangi sayıyı kendisiyle çarparsak 100 eder?
√100 = 10
Soru 4: Bulduğunuz karekök değeri ile alandan yararlanarak bulduğunuz hipotenüs uzunluğunu karşılaştırınız.
Çözüm:
- Adım 1: İlk soruda alan formülünü kullanarak hipotenüsü (|AC|) 10 br bulmuştuk.
- Adım 2: Üçüncü soruda dik kenarların karelerinin toplamının karekökünü de 10 bulduk.
- Sonuç: Gördüğün gibi her iki yöntemle bulduğumuz sonuçlar birbirine eşittir.
Soru 5: Elde ettiğiniz sonuca göre bir dik üçgende dik kenarların uzunlukları ile hipotenüsün uzunluğu arasında nasıl bir ilişki olduğunu açıklayınız.
Çözüm ve Açıklama:
Bu yaptığımız işlemler bize matematiğin en ünlü bağıntılarından biri olan Pisagor Bağıntısını ispatladı. İlişkiyi şöyle özetleyebiliriz:
Bir dik üçgende, dik kenarların uzunluklarının kareleri toplamı, hipotenüsün (90 derecenin karşısındaki en uzun kenarın) uzunluğunun karesine eşittir.
Formül olarak ifade edersek; kenarları a, b ve c olan bir dik üçgende (hipotenüs b olsun):
a² + c² = b²
Bizim örneğimizde de tam olarak bunu doğruladık: 6² + 8² = 10² (36 + 64 = 100).
Aferin! Dik üçgenlerin sırrını çözdün. Bu kuralı geometrideki birçok soruyu çözerken kullanacağız.