Merhaba sevgili öğrencim. Bugün seninle Pisagor Bağıntısı konusunu ve bu bağıntının nasıl ortaya çıktığını inceleyeceğiz. Görseldeki “Uygulama Basamakları” bölümündeki soruları adım adım çözerek, dik üçgenin kenarları arasındaki o gizemli ilişkiyi keşfedeceğiz. Hazırsan başlayalım!
Soru 1: ABC dik üçgenin hipotenüsünün uzunluğunu bu üçgenin alanı ve yükseklik uzunluğundan yararlanarak bulunuz.
Çözüm:
Bu soruda bizden istenen, üçgenin alan formülünü tersten kullanarak en uzun kenar olan hipotenüsü (AC kenarını) bulmamız.
- Adım 1: Üçgenin alanının bize 24 br² olduğu verilmiş. Ayrıca hipotenüse inen dikme yani yükseklik (BH) 4,8 br olarak verilmiş.
- Adım 2: Üçgenin alan formülünü hatırlayalım: Alan = (Taban x Yükseklik) / 2. Burada tabanımız hipotenüs olan |AC| kenarıdır.
- Adım 3: Verilenleri formülde yerine koyalım:
24 = (|AC| x 4,8) / 2 - Adım 4: Şimdi işlemi yapalım. Eşitliğin her iki tarafını 2 ile çarpalım ki bölü 2’den kurtulalım.
24 x 2 = |AC| x 4,8
48 = |AC| x 4,8 - Adım 5: |AC| uzunluğunu bulmak için 48’i 4,8’e bölmemiz gerekir.
|AC| = 48 / 4,8
|AC| = 10 br
Sonuç: Alan formülünü kullanarak hipotenüs uzunluğunu 10 birim bulduk.
Soru 2: Şimdi de ABC üçgeninin dik kenarlarının uzunluklarının karelerini bulunuz. Bulduğunuz değerleri toplayınız.
Çözüm:
Burada dik açıyı oluşturan kısa kenarların (dik kenarların) karelerini alıp toplayacağız.
- Adım 1: Dik kenarlarımız görselde |AB| = 6 br ve |BC| = 8 br olarak verilmiş.
- Adım 2: Birinci dik kenarın karesini alalım:
6² = 6 x 6 = 36 - Adım 3: İkinci dik kenarın karesini alalım:
8² = 8 x 8 = 64 - Adım 4: Şimdi bu iki değeri toplayalım:
36 + 64 = 100
Soru 3: Elde ettiğiniz toplamın karekökünü hesaplayınız.
Çözüm:
- Adım 1: Bir önceki adımda dik kenarların kareleri toplamını 100 bulmuştuk.
- Adım 2: Şimdi 100 sayısının karekökünü alıyoruz. Hangi sayıyı kendisiyle çarparsak 100 eder?
√100 = 10
Soru 4: Bulduğunuz karekök değeri ile alandan yararlanarak bulduğunuz hipotenüs uzunluğunu karşılaştırınız.
Çözüm:
- Adım 1: İlk soruda alan formülünü kullanarak hipotenüsü (|AC|) 10 br bulmuştuk.
- Adım 2: Üçüncü soruda dik kenarların karelerinin toplamının karekökünü de 10 bulduk.
- Sonuç: Gördüğün gibi her iki yöntemle bulduğumuz sonuçlar birbirine eşittir.
Soru 5: Elde ettiğiniz sonuca göre bir dik üçgende dik kenarların uzunlukları ile hipotenüsün uzunluğu arasında nasıl bir ilişki olduğunu açıklayınız.
Çözüm ve Açıklama:
Bu yaptığımız işlemler bize matematiğin en ünlü bağıntılarından biri olan Pisagor Bağıntısını ispatladı. İlişkiyi şöyle özetleyebiliriz:
Bir dik üçgende, dik kenarların uzunluklarının kareleri toplamı, hipotenüsün (90 derecenin karşısındaki en uzun kenarın) uzunluğunun karesine eşittir.
Formül olarak ifade edersek; kenarları a, b ve c olan bir dik üçgende (hipotenüs b olsun):
a² + c² = b²
Bizim örneğimizde de tam olarak bunu doğruladık: 6² + 8² = 10² (36 + 64 = 100).
Aferin! Dik üçgenlerin sırrını çözdün. Bu kuralı geometrideki birçok soruyu çözerken kullanacağız.