Merhaba sevgili öğrencim! Ben senin Matematik öğretmeninim. Bugün seninle kareköklü sayılarla ilgili harika bir konu tekrarı ve soru çözümü yapacağız. Konumuz kareköklü ifadeleri doğal sayı yapan çarpanları bulmak. Bu konu LGS sürecinde de karşına çıkacak temel konulardan biridir. Hazırsan, kağıdını kalemini al ve adım adım incelemeye başlayalım.
Sayfadaki örneklerin “Siz de…” kısımlarını ve alıştırmaları sırasıyla çözelim.
Örnek 2 (Devamı): Siz de √32’yi doğal sayı yapan başka kareköklü çarpanlar bulunuz.
Öncelikle √32 sayısını en sade haliyle yazalım ki hangi köklü ifadeye ihtiyacımız olduğunu görelim.
Adım 1: √32 sayısını a√b şeklinde yazalım.
√32 = √(16 . 2) = 4√2
Adım 2: Mantığı kuralım.
Elimizde 4√2 var. Bir kareköklü ifadenin sonucunun doğal sayı olabilmesi için, kök içindeki sayının aynısıyla çarpılması gerekir. Yani bizim √2‘li bir ifadeye ihtiyacımız var.
Adım 3: Örnek çarpanlar bulalım.
- En basit çarpan √2‘dir. (4√2 . √2 = 4 . 2 = 8)
- 2√2 olabilir. Bu da √8 demektir.
- 3√2 olabilir. Bu da √18 demektir.
Cevap: √8, √18, √50 gibi içinde √2 barındıran sayılar olabilir.
Örnek 3 (Devamı): Siz de √(1/10) ile çarpıldığında sonucu doğal sayı yapan başka kareköklü çarpanlar bulunuz.
Adım 1: İfadeyi düzenleyelim.
√(1/10) = 1 / √10
Adım 2: Mantığı kuralım.
Paydadaki √10’dan kurtulmamız lazım. Bunun için pay kısmında √10 olan bir sayıyla çarpmalıyız.
Adım 3: Örnek çarpanlar bulalım.
- 2√10 olabilir. Bu sayı kök içine alırsak √40 eder.
- 3√10 olabilir. Bu sayı kök içine alırsak √90 eder.
Kontrol edelim: √(1/10) . √40 = √(40/10) = √4 = 2 (Doğal sayı oldu!)
Alıştırmalar 1. Aşağıdaki kareköklü ifadeler ile çarpıldığında sonucu doğal sayı yapan kareköklü çarpanlar bulunuz.
Buradaki kuralımız şu: Sayıyı a√b şeklinde yaz, kökün içinde ne kalıyorsa (b sayısı), o köklü ifadeyle çarpman gerekir.
a. √12
Adım 1: √12 = √(4 . 3) = 2√3
Adım 2: Kök içinde 3 kaldı. Demek ki bize √3 lazım.
Cevap: √3, 2√3 (√12), 3√3 (√27) gibi sayılar.
b. √20
Adım 1: √20 = √(4 . 5) = 2√5
Adım 2: Kök içinde 5 kaldı. Demek ki bize √5 lazım.
Cevap: √5, 2√5 (√20), 3√5 (√45) gibi sayılar.
c. √48
Adım 1: √48 = √(16 . 3) = 4√3
Adım 2: Kök içinde 3 kaldı. Demek ki bize √3 lazım.
Cevap: √3, 2√3 (√12) gibi sayılar.
ç. √60
Adım 1: √60 = √(4 . 15) = 2√15
Adım 2: Kök içinde 15 kaldı. 15 daha fazla dışarı çıkamaz.
Cevap: √15 veya katları.
Alıştırmalar 2. Aşağıdaki kareköklü ifadelerle çarpıldığında sonucu doğal sayı yapan kareköklü çarpanlar kutularda verilmiştir. Eşleştiriniz.
Şimdi dedektif gibi iz süreceğiz. Hangi sayı hangisiyle çarpılırsa kökten kurtulur bulalım.
1. İfade: √35
Bu sayı dışarı çıkamaz. Kendisiyle çarpılmalı.
Eşleşme: Aşağıdaki kutulardan √35 ile eşleşir (Ortadaki kutu).
İşlem: √35 . √35 = 35
2. İfade: √(1/5)
Bunu 1/√5 olarak düşünebiliriz. Paydadaki kökten kurtulmak için √5 ile çarpmalıyız.
Eşleşme: Aşağıdaki kutulardan √5 ile eşleşir (Soldan ikinci kutu).
İşlem: √(1/5) . √5 = √(5/5) = √1 = 1
3. İfade: √216
Önce sadeleştirelim: √216 = √(36 . 6) = 6√6. Bize √6’lı bir ifade lazım.
Aşağıdaki seçeneklere bakıyorum: √(1/6) var. Bakalım oluyor mu?
Eşleşme: Aşağıdaki kutulardan √(1/6) ile eşleşir (En sağdaki kutu).
İşlem: √216 . √(1/6) = √(216/6) = √36 = 6
4. İfade: √12
Önce sadeleştirelim: √12 = √(4 . 3) = 2√3. Bize √3’lü bir ifade lazım.
Aşağıdaki seçeneklere bakıyorum: √(1/3) var.
Eşleşme: Aşağıdaki kutulardan √(1/3) ile eşleşir (Sağdan ikinci kutu).
İşlem: √12 . √(1/3) = √(12/3) = √4 = 2
5. İfade: √(1/8)
Bu ifade √1 / √8 demektir. √8 ise 2√2’dir. Yani elimizde 1/(2√2) var. Payı √2 olan veya sonucu tam sayı yapacak büyük bir √2’li sayı lazım.
Geriye kalan tek seçenek: √288. Bakalım oluyor mu?
√288 = √(144 . 2) = 12√2.
Eşleşme: Aşağıdaki kutulardan √288 ile eşleşir (En soldaki kutu).
İşlem: √(1/8) . √288 = √(288/8) = √36 = 6
Konuyu çok güzel pekiştirdik. Unutma, kareköklü sayılarda çarpma işlemi yaparken amacımız kök içini tam kare bir sayıya (36, 49, 100 gibi) dönüştürmektir. Başarılar dilerim!