8. Sınıf Matematik Ders Kitabı Cevapları Koza Yayınları Sayfa 218

Merhaba sevgili öğrencilerim, bugün birlikte matematik sorularını çözeceğiz. Hazırsanız başlayalım!

7. Yandaki şekilde $|AD| = |DC|$, $m(widehat{DAC}) = 42^circ$ ve $m(widehat{B}) = 74^circ$ dir. ABD ve ADC üçgenlerinin kenarlarından en kısa olanı aşağıdakilerden hangisidir?

Bu soruda, verilen bilgilere göre hangi kenarın en kısa olduğunu bulmamız gerekiyor. Dikkatli bakarsak, ABC üçgeninde C açısı 90 dereceye yakın görünüyor. Ancak bize verilen bilgilerle açıları ve kenarları karşılaştırmamız daha doğru olacaktır. Soruda ADC üçgeninin ikizkenar olduğu belirtilmiş ($|AD| = |DC|$). Bu da A ve C açılarının toplamının 180’den çıkarılıp ikiye bölünmesiyle bulunabileceğini gösterir. Ama bu bilgi tek başına yeterli değil. ABC üçgenine odaklanalım. B açısı 74 derece verilmiş. Bir üçgende en uzun kenar, en büyük açının karşısındaki kenardır. En kısa kenar ise en küçük açının karşısındaki kenardır. Bu bilgiyi unutmayalım.

Şimdi şekle ve verilenlere tekrar bakalım. ABD ve ADC üçgenleri var. ADC üçgeninde $|AD| = |DC|$ olduğu için bu üçgen ikizkenar bir üçgendir. Bu durumda $widehat{DAC} = 42^circ$ ise, $widehat{DCA}$ ve $widehat{DAC}$ açıları birbirine eşit olamaz çünkü $widehat{DAC}$ zaten verilmiş. Bu eşitlik $|AD| = |DC|$ olduğu için, bu kenarların karşısındaki açılar eşittir. Yani, $widehat{DAC}$ açısı D köşesinden çıkan bir ışınla A’yı ikiye bölüyor olabilir. Şekilde A açısının bir kısmının 42 derece olduğu gösterilmiş. ADC üçgeninde $|AD|=|DC|$ ise, $widehat{DAC}$ açısı ile $widehat{DCA}$ açısının eşit olması gerekmez. Eşit olan kenarların karşısındaki açılar eşittir. Yani $widehat{DAC}$’nin karşısındaki kenar DC, $widehat{DCA}$’nın karşısındaki kenar AD’dir. Eğer $|AD|=|DC|$ ise, bu kenarların karşısındaki açılar eşittir. Yani $widehat{ACD} = widehat{CAD}$. Ancak soruda $widehat{DAC}=42^circ$ verilmiş. Bu durum, D noktasının A’dan çıkan bir ışın üzerinde olduğunu ve bu ışının AC’yi kestiğini gösterir. Şekilde, D noktası BC kenarı üzerinde değil, AC kenarı üzerinde de değil. D noktası AB ve BC kenarlarını birleştiren bir doğru parçası üzerinde. Şekle göre A, D, C bir üçgen oluşturuyor. Ve A, B, C bir üçgen oluşturuyor. Verilenler $m(widehat{DAC}) = 42^circ$ ve $m(widehat{B}) = 74^circ$ dir. Ayrıca $|AD| = |DC|$. Bu eşitlik ADC üçgeninde iki kenarın eşit olduğunu gösteriyor. Eşit kenarların karşısındaki açılar eşittir. Yani $widehat{DAC}$’nin karşısındaki kenar DC, $widehat{DCA}$’nın karşısındaki kenar AD’dir. Eğer $|AD| = |DC|$ ise, $widehat{DAC} = widehat{DCA}$ olmalıdır. Ama $m(widehat{DAC}) = 42^circ$ verilmiş. Bu durumda $widehat{DCA}$ da $42^circ$ olmalı. ADC üçgeninin iç açıları toplamı $180^circ$ olacağından, $widehat{ADC} = 180^circ – (42^circ + 42^circ) = 180^circ – 84^circ = 96^circ$.
Şimdi ABC üçgenine bakalım. $m(widehat{B}) = 74^circ$.
D noktası AB kenarı üzerinde olduğuna göre, $widehat{ADC}$ açısı ile $widehat{BDC}$ açısı bütünlerdir, yani toplamları $180^circ$ olmalıdır.
$widehat{ADC} = 96^circ$ bulmuştuk. O zaman $widehat{BDC} = 180^circ – 96^circ = 84^circ$.
ABC üçgeninde $widehat{B} = 74^circ$ ve $widehat{BDC} = 84^circ$. Bu bir üçgenin iç açısı olamaz çünkü $widehat{ADC}$ bir üçgenin iç açısıdır ve $widehat{BDC}$ de bir üçgenin iç açısıdır. Şekilde D noktası AB kenarı üzerinde değil, AC kenarı üzerinde de değil. D noktası BC kenarı üzerinde yer alıyor gibi görünüyor.
Soruda verilenlere göre A, B, C bir üçgen oluşturuyor ve D noktası bu üçgenin içinde. Şekilde D noktası AB kenarı üzerinde işaretlenmiş.
Tekrar şekle ve bilgilere bakalım: $|AD| = |DC|$, $m(widehat{DAC}) = 42^circ$ ve $m(widehat{B}) = 74^circ$.
Eğer $|AD| = |DC|$ ise, ADC üçgeni ikizkenar bir üçgendir. Bu durumda $widehat{DAC}$ ve $widehat{DCA}$ açıları eşit olamaz, çünkü $widehat{DAC}$ açısı A köşesinden çıkan bir ışınla ADC üçgeninin bir parçasıdır. Eşit kenarların karşısındaki açılar eşittir. Yani AD kenarının karşısındaki açı $widehat{ACD}$ ve DC kenarının karşısındaki açı $widehat{CAD}$’dir. Bu durumda $widehat{ACD} = widehat{CAD}$ olmalıdır. Ancak $widehat{DAC} = 42^circ$ verilmiş. Bu, $widehat{CAD}$’nin $42^circ$ olduğunu gösterir. O zaman $widehat{ACD}$ de $42^circ$ olmalıdır.
ADC üçgeninin iç açıları toplamı: $widehat{ADC} = 180^circ – (42^circ + 42^circ) = 180^circ – 84^circ = 96^circ$.
Şimdi ABC üçgenine bakalım. $m(widehat{B}) = 74^circ$.
D noktası AB kenarı üzerinde ise, $widehat{ADC}$ ve $widehat{BDC}$ bütünlerdir. Yani $widehat{ADC} + widehat{BDC} = 180^circ$.
$widehat{ADC} = 96^circ$ bulduk. O zaman $widehat{BDC} = 180^circ – 96^circ = 84^circ$.
ABC üçgeninde $widehat{B} = 74^circ$ ve $widehat{BDC} = 84^circ$. Bu bir üçgenin iç açıları olamaz.
Soruda verilenlere göre D noktası AB kenarı üzerinde değil, AC kenarı üzerinde değil. Şekilde D noktası BC kenarı üzerinde.
Eğer D noktası BC kenarı üzerindeyse, o zaman $widehat{ADB}$ ve $widehat{ADC}$ bütünlerdir.
Tekrar verilenlere bakalım: $|AD| = |DC|$, $m(widehat{DAC}) = 42^circ$ ve $m(widehat{B}) = 74^circ$.
D noktası BC kenarı üzerinde ise, ADC üçgeninde $|AD|=|DC|$ olduğundan $widehat{CAD} = widehat{ACD}$ olmalıdır.
Ancak $widehat{DAC} = 42^circ$ verilmiş. Bu durumda $widehat{CAD} = 42^circ$. O zaman $widehat{ACD}$ de $42^circ$ olmalıdır.
ADC üçgeninin iç açıları toplamı: $widehat{ADC} = 180^circ – (42^circ + 42^circ) = 180^circ – 84^circ = 96^circ$.
ABC üçgeninde $widehat{B} = 74^circ$.
D noktası BC kenarı üzerinde ise, $widehat{ADB}$ ve $widehat{ADC}$ bütünlerdir. Yani $widehat{ADB} + widehat{ADC} = 180^circ$.
$widehat{ADC} = 96^circ$ bulduk. O zaman $widehat{ADB} = 180^circ – 96^circ = 84^circ$.
ABC üçgeninde $widehat{B} = 74^circ$ ve $widehat{ADB} = 84^circ$.
ABC üçgeninin iç açıları toplamı: $widehat{A} + widehat{B} + widehat{C} = 180^circ$.
$widehat{A} = widehat{DAC} = 42^circ$.
$widehat{C} = widehat{ACD} = 42^circ$.
$widehat{A} + widehat{B} + widehat{C} = 42^circ + 74^circ + 42^circ = 158^circ$. Bu $180^circ$ olmalı. Demek ki bir yerde hata var.

Şekildeki işaretlemelere dikkat edelim. $|AD|=|DC|$ olması, ADC üçgeninin ikizkenar olduğunu gösterir. A’dan çıkan bir ışın D’ye gidiyor ve D’den C’ye gidiyor. A’dan çıkan ışın AC kenarını kesmiyor, AB kenarını kesiyor. D noktası BC kenarı üzerinde.
Tekrar verilen bilgilere odaklanalım: $|AD| = |DC|$, $m(widehat{DAC}) = 42^circ$, $m(widehat{B}) = 74^circ$.
ADC üçgeninde $|AD| = |DC|$ ise, bu kenarların karşısındaki açılar eşittir. $widehat{DAC}$ açısının karşısındaki kenar DC, $widehat{DCA}$ açısının karşısındaki kenar AD’dir. Yani $widehat{DAC} = widehat{DCA}$ olmalıdır.
Soruda $m(widehat{DAC}) = 42^circ$ verilmiş. Bu durumda $widehat{DCA}$ da $42^circ$ olmalıdır.
ADC üçgeninde $widehat{ADC} = 180^circ – (42^circ + 42^circ) = 180^circ – 84^circ = 96^circ$.
Şimdi ABC üçgenine bakalım. D noktası BC kenarı üzerinde.
ABC üçgeninde $widehat{B} = 74^circ$.
$widehat{ADC}$ ve $widehat{ADB}$ bütünlerdir, yani $widehat{ADC} + widehat{ADB} = 180^circ$.
$widehat{ADC} = 96^circ$ bulduk. O zaman $widehat{ADB} = 180^circ – 96^circ = 84^circ$.
ABC üçgeninde $widehat{B} = 74^circ$, $widehat{ADB} = 84^circ$.
Üçgenin iç açıları toplamı $180^circ$ olmalıdır.
$widehat{BAC} = widehat{BAD} + widehat{DAC}$.
ABC üçgeninde $widehat{A} + widehat{B} + widehat{C} = 180^circ$.
$widehat{A} + 74^circ + 42^circ = 180^circ$. Buradaki $widehat{C}$’nin $42^circ$ olması ADC üçgeninden geliyor.
$widehat{A} = 180^circ – 74^circ – 42^circ = 64^circ$.
Yani $widehat{BAC} = 64^circ$.
$widehat{BAC} = widehat{BAD} + widehat{DAC}$.
$64^circ = widehat{BAD} + 42^circ$.
$widehat{BAD} = 64^circ – 42^circ = 22^circ$.
Şimdi ABD üçgenine bakalım.
$widehat{B} = 74^circ$, $widehat{BAD} = 22^circ$.
$widehat{ADB} = 180^circ – (74^circ + 22^circ) = 180^circ – 96^circ = 84^circ$.
Bu $widehat{ADB}$ değeri, $widehat{ADC}$ ile bütünler olmalıydı. $widehat{ADC} = 96^circ$ bulmuştuk. $84^circ + 96^circ = 180^circ$. Bu tutuyor.
Şimdi kenarları karşılaştıralım. En kısa kenar en küçük açının karşısındaki kenardır.
ABC üçgeninde açılar: $widehat{A} = 64^circ$, $widehat{B} = 74^circ$, $widehat{C} = 42^circ$.
Bu durumda en küçük açı $widehat{C}$’dir. $widehat{C}$’nin karşısındaki kenar AB’dir.
ABD üçgeninde açılar: $widehat{BAD} = 22^circ$, $widehat{B} = 74^circ$, $widehat{ADB} = 84^circ$.
En küçük açı $widehat{BAD}$’dir. $widehat{BAD}$’nin karşısındaki kenar BD’dir.
ADC üçgeninde açılar: $widehat{DAC} = 42^circ$, $widehat{ACD} = 42^circ$, $widehat{ADC} = 96^circ$.
Bu üçgen ikizkenar bir üçgendir. $widehat{DAC} = widehat{ACD}$ olduğundan, karşısındaki kenarlar $|DC| = |AD|$ olur.

Şimdi seçeneklere bakalım:
a) $|AB|$
b) $|BC|$
c) $|AC|$
d) $|BD|$

Bizim bulduğumuz en küçük açı $widehat{C} = 42^circ$ (ABC üçgeninde), bunun karşısındaki kenar $|AB|$.
ABD üçgeninde en küçük açı $widehat{BAD} = 22^circ$, bunun karşısındaki kenar $|BD|$.
ADC üçgeninde en küçük açılar $widehat{DAC} = 42^circ$ ve $widehat{ACD} = 42^circ$. Bu açılara karşılık gelen kenarlar $|DC|$ ve $|AD|$’dir ve bunlar birbirine eşittir.

Şimdi kenarları karşılaştırmamız gerekiyor. En kısa kenar hangisidir?
ABC üçgeninde en küçük açı $widehat{C} = 42^circ$, karşısındaki kenar $|AB|$.
ABD üçgeninde en küçük açı $widehat{BAD} = 22^circ$, karşısındaki kenar $|BD|$.
ADC üçgeninde $|AD| = |DC|$ ve bu kenarlar $42^circ$ açıların karşısındadır.

BD kenarı, ABD üçgenindeki en küçük açı olan $22^circ$’nin karşısındadır. Bu nedenle $|BD|$ en kısa kenar olma ihtimali yüksektir.
Diğer kenarları da inceleyelim.
ABC üçgeninde $widehat{A}=64^circ$, $widehat{B}=74^circ$, $widehat{C}=42^circ$.
En uzun kenar $widehat{B}$’nin karşısındaki $|AC|$. En kısa kenar $widehat{C}$’nin karşısındaki $|AB|$.
ABD üçgeninde $widehat{BAD}=22^circ$, $widehat{B}=74^circ$, $widehat{ADB}=84^circ$.
En uzun kenar $widehat{ADB}$’nin karşısındaki $|AB|$. En kısa kenar $widehat{BAD}$’nin karşısındaki $|BD|$.
ADC üçgeninde $|AD| = |DC|$ ve bu kenarlar $42^circ$ açıların karşısındadır. $widehat{ADC}=96^circ$.

Şimdi kenarları birbiriyle karşılaştıralım.
ABD üçgeninde en kısa kenar $|BD|$’dir.
ABC üçgeninde en kısa kenar $|AB|$’dir.
ADC üçgeninde $|AD| = |DC|$.

$widehat{B} = 74^circ$ ve $widehat{BAC} = 64^circ$. O zaman $|AC| > |BC|$.
$widehat{B} = 74^circ$ ve $widehat{C} = 42^circ$. O zaman $|AC| > |AB|$.
$widehat{BAD} = 22^circ$ ve $widehat{B} = 74^circ$. O zaman $|BD| < |AD|$. $widehat{DAC} = 42^circ$ ve $widehat{ACD} = 42^circ$. O zaman $|DC| = |AD|$. Bizim bulduğumuz en küçük açı $22^circ$ ($widehat{BAD}$). Bu açının karşısındaki kenar $|BD|$. Bu yüzden $|BD|$ en kısa kenardır. Seçeneklerde $|BD|$ var. Sonuç:

Bu soruda, verilen bilgilere göre üçgenlerin iç açılarını bulup, en küçük açının karşısındaki kenarın en kısa kenar olduğunu kullanarak cevabı bulduk. Adım adım çözelim:

Adım 1: Verilen bilgilere göre ADC üçgeninin açılarını bulalım.

• $|AD| = |DC|$ olduğu için ADC üçgeni ikizkenar bir üçgendir.
• Eşit kenarların karşısındaki açılar eşittir, bu nedenle $widehat{CAD} = widehat{ACD}$ olmalıdır.
• Soruda $widehat{DAC} = 42^circ$ verilmiş. Bu, $widehat{CAD}$’nin $42^circ$ olduğunu gösterir.
• O halde $widehat{ACD}$ de $42^circ$’dir.
• ADC üçgeninin iç açıları toplamı $180^circ$’dir. Bu yüzden $widehat{ADC} = 180^circ – (widehat{CAD} + widehat{ACD}) = 180^circ – (42^circ + 42^circ) = 180^circ – 84^circ = 96^circ$.

Adım 2: ABC üçgeninin açılarını bulalım.

• D noktası BC kenarı üzerinde olduğu için $widehat{ADB}$ ve $widehat{ADC}$ bütünlerdir, yani toplamları $180^circ$’dir.
• $widehat{ADC} = 96^circ$ bulduk. O halde $widehat{ADB} = 180^circ – 96^circ = 84^circ$.
• ABC üçgeninde $m(widehat{B}) = 74^circ$ verilmiş.
• ABC üçgeninin iç açıları toplamı $180^circ$’dir. $widehat{BAC} + widehat{B} + widehat{C} = 180^circ$.
• $widehat{C}$ açısı, ADC üçgenindeki $widehat{ACD}$ açısı ile aynıdır, yani $widehat{C} = 42^circ$.
• $widehat{BAC} = 180^circ – (widehat{B} + widehat{C}) = 180^circ – (74^circ + 42^circ) = 180^circ – 116^circ = 64^circ$.

Adım 3: ABD üçgeninin açılarını bulalım.

• $widehat{BAC}$ açısı $widehat{BAD}$ ve $widehat{DAC}$’nin toplamıdır.
• $widehat{BAC} = 64^circ$ ve $widehat{DAC} = 42^circ$.
• O halde $widehat{BAD} = widehat{BAC} – widehat{DAC} = 64^circ – 42^circ = 22^circ$.
• ABD üçgeninde $widehat{B} = 74^circ$ ve $widehat{BAD} = 22^circ$.
• $widehat{ADB} = 180^circ – (widehat{B} + widehat{BAD}) = 180^circ – (74^circ + 22^circ) = 180^circ – 96^circ = 84^circ$. (Bu değerle daha önce bulduğumuz $widehat{ADB}$ tutuyor.)

Adım 4: Kenarları karşılaştıralım.

• Bir üçgende en kısa kenar, en küçük açının karşısındaki kenardır.
• ABC üçgeninde açılar: $64^circ, 74^circ, 42^circ$. En küçük açı $42^circ$ ($widehat{C}$), karşısındaki kenar $|AB|$.
• ABD üçgeninde açılar: $22^circ, 74^circ, 84^circ$. En küçük açı $22^circ$ ($widehat{BAD}$), karşısındaki kenar $|BD|$.
• ADC üçgeninde açılar: $42^circ, 42^circ, 96^circ$. En küçük açılar $42^circ$, karşısındaki kenarlar $|AD|$ ve $|DC|$’dir.

ABD üçgenindeki en küçük açı $22^circ$’dir ve bu açının karşısındaki kenar $|BD|$’dir. Bu nedenle $|BD|$ en kısa kenardır.

Sonuç: D. [BD]

8. Aşağıda verilen ölçülerden hangisi ile bir ABC üçgeni çizilemez?

Bir üçgen çizilebilmesi için bazı kurallar vardır. Bu kurallardan en önemlisi, üçgenin iki kenarının uzunlukları toplamının, üçüncü kenarının uzunluğundan büyük olmasıdır. Bir de açılarla ilgili kurallar var tabii ki. Bir üçgenin iç açılarının toplamı her zaman $180^circ$’dir. Bu soruda bize farklı üçgen çizim kuralları uygulanarak sorulmuş. Şıkları tek tek inceleyelim.

a) $|AB| = 8$ cm, $|BC| = 7$ cm, $m(widehat{B}) = 90^circ$

• Bu durumda bir dik üçgen çizebiliriz. $|AB|$ ve $|BC|$ kenarlarını biliyoruz ve aralarındaki açı $90^circ$. Bu üçgeni rahatlıkla çizebiliriz. Üçüncü kenar olan $|AC|$’yi Pisagor teoremi ile bulabiliriz: $|AC|^2 = |AB|^2 + |BC|^2 = 8^2 + 7^2 = 64 + 49 = 113$. $|AC| = sqrt{113}$ cm. Kenar uzunlukları $8, 7, sqrt{113}$ olur. $8+7 > sqrt{113}$ ($15 > approx 10.6$), $8+sqrt{113} > 7$, $7+sqrt{113} > 8$. Üçgen eşitsizliği sağlanıyor. Bu üçgen çizilebilir.

b) $m(widehat{A}) = 76^circ$, $|BC| = 12$ cm

• Bir açıyı ve bu açıya ait olmayan bir kenarı biliyoruz. Bir açıyı ve bu açıya komşu olmayan kenarı bildiğimizde, diğer açıları ve kenarları bulmak için yeterli bilgiye sahip olmayabiliriz. Örneğin, B açısı ve C açısı ne olursa olsun, A açısı $76^circ$ ve BC kenarı $12$ cm olabilir. Bu durumda sonsuz sayıda üçgen çizebiliriz. Yani bu bilgiyle tek bir üçgen çizemeyiz ama bir üçgen çizebiliriz. Soru “çizilemez” diyor. Bu şıkta bir sorun var. Bir açıyı ve karşıdaki kenarı bildiğimizde (sinüs teoremi ile) diğer kenarları ve açıları bulabiliriz. Burada sadece bir açı ve karşıdaki kenar verilmiş. Diğer açılar hakkında bilgi yok. Yani bu üçgen çizilebilir, ancak tek bir şekilde çizilemez. Soru “çizilemez” dediği için, bu şıkta bir problem var.

c) $|AB| = 4$ cm, $|AC| = 4$ cm, $m(widehat{A}) = 55^circ$

• İki kenar uzunluğunu ve bu kenarlar arasındaki açıyı biliyoruz. Bu bilgiyle bir üçgen çizebiliriz. Bu bir ikizkenar üçgen olacaktır. Üçüncü kenar $|BC|$’yi kosinüs teoremi ile bulabiliriz: $|BC|^2 = |AB|^2 + |AC|^2 – 2|AB||AC|cos(widehat{A}) = 4^2 + 4^2 – 2(4)(4)cos(55^circ) = 16 + 16 – 32cos(55^circ) = 32 – 32cos(55^circ)$. $cos(55^circ)$ yaklaşık 0.573’tür. $|BC|^2 approx 32 – 32(0.573) approx 32 – 18.336 approx 13.664$. $|BC| approx sqrt{13.664} approx 3.69$. Kenar uzunlukları $4, 4, approx 3.69$. Üçgen eşitsizliği sağlanır: $4+4 > 3.69$, $4+3.69 > 4$. Bu üçgen çizilebilir.

d) $m(widehat{B}) = 74^circ$, $m(widehat{C}) = 46^circ$, $|BC| = 9$ cm

• İki açıyı ve bu iki açı arasındaki kenarı biliyoruz. Bu bilgiyle bir üçgen çizebiliriz. Üçüncü açı $widehat{A} = 180^circ – (74^circ + 46^circ) = 180^circ – 120^circ = 60^circ$. Bir açıyı ve karşısındaki kenarı biliyoruz (sinüs teoremi ile diğer kenarları bulabiliriz). Bu üçgen çizilebilir.

Şimdi b şıkkına tekrar dönelim. Bir açıyı ve karşıdaki kenarı bilmek, tek bir üçgen çizmek için yeterli değildir. Örneğin, A açısı $76^circ$ ve BC kenarı $12$ cm ise, B açısı $30^circ$ olabilir, C açısı $74^circ$ olabilir. Ya da B açısı $60^circ$ olabilir, C açısı $44^circ$ olabilir. Bu durumda sonsuz sayıda üçgen çizebiliriz. Ancak soru “çizilemez” diyor. Bu, o ölçülerle HİÇBİR ÜÇGENİN OLUŞTURULAMAYACAĞI anlamına gelir. B şıkkında bir üçgen çizebiliriz, sadece tek bir şekilde değil. Bu durumda sorunun mantığına göre, tek bir şekilde çizilemeyen durumlar için “çizilemez” denmesi beklenir. Ancak matematiksel olarak, bu ölçülerle bir üçgen çizmek mümkündür.

Bir üçgenin çizilebilmesi için aşağıdaki koşullardan biri sağlanmalıdır:

• Üç kenar uzunluğu verilirse (üçgen eşitsizliği sağlanmalı).
• İki kenar uzunluğu ve aralarındaki açı verilirse.
• Bir kenar uzunluğu ve bu kenara ait iki açı verilirse (açıların toplamı $180^circ$’den küçük olmalı).
• İki kenar uzunluğu ve bu kenarlardan birinin karşısındaki açı verilirse (bu durumda iki farklı üçgen çizilebilme ihtimali vardır veya hiç çizilemez).

B şıkkında sadece bir açı ve karşıdaki kenar verilmiş. Bu durumda diğer iki açının ne olacağı belirsizdir. Sonsuz sayıda üçgen çizebiliriz. Ancak bu “çizilemez” anlamına gelmez. “Tek bir üçgen çizilemez” anlamına gelir. Soru “çizilemez” dediği için, bu genellikle o ölçülerle HİÇBİR ÜÇGENİN OLUŞTURULAMAYACAĞI anlamına gelir. Bu durumda, açılarla ilgili bir çelişki olmalı.

B şıkkında $m(widehat{A}) = 76^circ$ ve $|BC| = 12$ cm. Bu bilgiyle bir üçgen çizebiliriz. Örneğin:

• B açısı $30^circ$ ise, C açısı $180^circ – 76^circ – 30^circ = 74^circ$ olur.
• B açısı $60^circ$ ise, C açısı $180^circ – 76^circ – 60^circ = 44^circ$ olur.

Yani bu ölçülerle bir üçgen çizmek mümkündür.

Sorunun “çizilemez” ifadesini göz önünde bulundurarak, diğer şıklarda bir çelişki olup olmadığını kontrol edelim. A, C ve D şıklarında verilen bilgilerle tek bir üçgen çizmek mümkündür.

Bu tip sorularda “çizilemez” ifadesi genellikle şu anlamlara gelir:

• Üçgen eşitsizliğini sağlamayan kenar uzunlukları verilmişse.
• Açıların toplamı $180^circ$’yi aşıyorsa.
• Verilen bilgilerle çelişkili bir durum varsa.

B şıkkında, $m(widehat{A}) = 76^circ$ ve $|BC| = 12$ cm. Bu bilgilerle bir üçgen çizilebilir. Ancak tek bir şekilde çizilemez. Sorunun “çizilemez” ifadesi, matematiksel olarak HİÇBİR ÜÇGENİN OLUŞTURULAMAYACAĞI durumları ifade eder. Bu durumda, B şıkkındaki bilgilerle bir üçgen çizilebildiği için, bu şık doğru cevap olamaz. Bu, soruda bir hata olabileceği anlamına gelir veya “çizilemez” kelimesini farklı yorumlamamız gerekir.

Genellikle bu tür sorularda, “çizilemez” ifadesi, verilen bilgilerle bir üçgenin geometrik olarak oluşamayacağı durumları ifade eder. Örneğin, iki kenarın toplamı üçüncü kenardan küçükse çizilemez. Veya iki açının toplamı $180^circ$’den büyükse çizilemez.

Şimdi tekrar B şıkkına bakalım. $m(widehat{A}) = 76^circ$, $|BC| = 12$ cm. Bu bilgilerle bir üçgen çizmek mümkündür. Bu durumda, B şıkkı çizilebilen bir üçgeni temsil eder. Eğer soru “tek bir üçgen çizilemez” şeklinde olsaydı, cevap B olurdu.

Ancak soru “çizilemez” dediği için, bu ölçülerle HİÇBİR ÜÇGENİN OLUŞTURULAMAYACAĞI bir durum aranmalıdır. A, C ve D şıklarında belirtilen ölçülerle rahatlıkla birer üçgen çizebiliriz.

B şıkkında $m(widehat{A}) = 76^circ$ ve $|BC| = 12$ cm. Bu bilgiyle, $widehat{B}$ ve $widehat{C}$ açıları değiştiğinde farklı üçgenler elde ederiz. Bu, “bir üçgen çizilemez” anlamına gelmez, “tek bir üçgen çizilemez” anlamına gelir. Eğer sorunun kastettiği budursa, o zaman B şıkkı doğru cevap olurdu.

Ancak, sorunun “çizilemez” ifadesi, genellikle geometrik olarak imkansız bir durumu belirtir. A, C, D şıklarında bir çelişki yok. Bu durumda B şıkkı, “tek bir üçgen çizilemez” durumunu temsil ediyor. Matematiksel olarak, bu ölçülerle bir üçgen çizmek mümkündür.

Bu tür sorularda, “çizilemez” ifadesi, genellikle aşağıdaki durumlardan birini ifade eder:

• Üçgen eşitsizliğini sağlamayan kenar uzunlukları.
• Açıların toplamının $180^circ$’den büyük olması.
• Verilen kenar ve açılarla çelişkili bir durum.

B şıkkında bu tür bir çelişki görünmüyor. O zaman, sorunun “çizilemez” ifadesini “tek bir şekilde çizilemez” olarak yorumlamamız gerekiyor.

Eğer soru “Tek bir ABC üçgeni çizilemez?” şeklinde olsaydı, cevap kesinlikle B olurdu.

Ancak soru “çizilemez” dediği için ve A, C, D şıklarında çizilebilen üçgenler olduğu için, B şıkkında da bir üçgen çizmek mümkün olduğu için, soruda bir muamma var. Ancak, genellikle bu tür sorularda, “çizilemez” denildiğinde, bir açıyı ve karşıdaki kenarı bilmek, tek bir üçgen çizmek için yeterli değildir. Bu durumda, bu bilgiyle sonsuz sayıda üçgen çizilebileceği için, “tek bir üçgen çizilemez” anlamında B şıkkı doğru kabul edilebilir.

Ama eğer “çizilemez” kelimesi, “hiçbir şekilde çizilemez” anlamında kullanılıyorsa, o zaman B şıkkı doğru cevap olamaz çünkü B şıkkındaki bilgilerle bir üçgen çizmek mümkündür.

Bu sorunun en olası cevabı, “tek bir üçgen çizilemez” anlamında B şıkkıdır. Çünkü diğer şıklarda tek bir üçgen çizmek mümkündür.

Sonuç: B. $m(widehat{A}) = 76^circ$, $|BC| = 12$ cm

9. Yandaki ABC dik üçgeninde verilenlere göre $|AC|$ kaç santimetredir?

Bu bir dik üçgen sorusu. Şekle baktığımızda, C açısının $90^circ$ olduğunu görüyoruz. $|AB|$ kenarı hipotenüstür ve uzunluğu $18$ cm olarak verilmiş. $|BC|$ kenarının uzunluğu $12$ cm olarak verilmiş. Bizden $|AC|$ kenarının uzunluğunu bulmamız isteniyor.

Dik üçgenlerde kenar uzunluklarını bulmak için Pisagor teoremini kullanırız. Pisagor teoremi der ki: Dik kenarların karelerinin toplamı, hipotenüsün karesine eşittir.

Yani, formülümüz şu şekildedir:

$a^2 + b^2 = c^2$

Burada $a$ ve $b$ dik kenarların uzunlukları, $c$ ise hipotenüsün uzunluğudur.

Bizim sorumuzda:

• $|AC|$ dik kenarı (bunu bulmaya çalışıyoruz, buna ‘a’ diyelim)
• $|BC|$ dik kenarı (uzunluğu $12$ cm, buna ‘b’ diyelim)
• $|AB|$ hipotenüsü (uzunluğu $18$ cm, buna ‘c’ diyelim)

Şimdi Pisagor teoremini uygulayalım:

$|AC|^2 + |BC|^2 = |AB|^2$
$a^2 + 12^2 = 18^2$

Şimdi kareleri hesaplayalım:

$12^2 = 12 times 12 = 144$
$18^2 = 18 times 18$

Hesaplayalım:

$18 times 10 = 180$
$18 times 8 = 144$
$180 + 144 = 324$

Yani, $18^2 = 324$.

Denklemimiz şimdi şöyle oldu:

$a^2 + 144 = 324$

Şimdi $|AC|^2$’yi (yani $a^2$’yi) yalnız bırakmak için $144$’ü denklemin diğer tarafına atalım. Karşıya geçerken işaret değiştirir:

$a^2 = 324 – 144$

Çıkarma işlemini yapalım:

324
– 144
—–
180

Yani, $a^2 = 180$.

Şimdi $|AC|$’yi bulmak için $a^2$’nin karekökünü almalıyız:

$a = sqrt{180}$

Bu köklü ifadeyi sadeleştirmemiz gerekiyor. $180$’i çarpanlarına ayıralım ve tam kare olanları dışarı çıkaralım.

$180 = 18 times 10 = (9 times 2) times (2 times 5) = 9 times 2 times 2 times 5 = 9 times 4 times 5$

Burada $9$ ve $4$ tam kare sayılardır. $sqrt{9} = 3$ ve $sqrt{4} = 2$.

$sqrt{180} = sqrt{9 times 4 times 5} = sqrt{9} times sqrt{4} times sqrt{5} = 3 times 2 times sqrt{5} = 6sqrt{5}$

Yani, $|AC| = 6sqrt{5}$ cm.

Şimdi seçeneklere bakalım:

a) $6sqrt{5}$
b) $5sqrt{5}$
c) $4sqrt{5}$
d) $3sqrt{5}$

Bulduğumuz sonuç A şıkkı ile aynı.

Sonuç: A. $6sqrt{5}$

10. Koordinat sisteminde işaretleri A($-2, -2$) ve B($3, 3$) noktaları arasındaki uzaklık kaç birimdir?

Bu soruda, iki nokta arasındaki uzaklığı bulmamız gerekiyor. Noktalar koordinat sisteminde verilmiş. İki nokta arasındaki uzaklığı bulmak için uzaklık formülünü kullanırız. Uzaklık formülü, Pisagor teoreminin bir uygulamasıdır.

İki nokta ($x_1, y_1$) ve ($x_2, y_2$) arasındaki uzaklık formülü şöyledir:

$Uzaklık = sqrt{(x_2 – x_1)^2 + (y_2 – y_1)^2}$

Bizim noktalarımız:

• A noktası ($x_1, y_1$) = $(-2, -2)$
• B noktası ($x_2, y_2$) = $(3, 3)$

Şimdi bu değerleri formülde yerine koyalım:

$Uzaklık = sqrt{(3 – (-2))^2 + (3 – (-2))^2}$

Önce parantez içlerini hesaplayalım. Eksi ile eksinin çarpımı artı olur.

$3 – (-2) = 3 + 2 = 5$
$3 – (-2) = 3 + 2 = 5$

Şimdi bu değerleri formülde yerine koyalım:

$Uzaklık = sqrt{(5)^2 + (5)^2}$

Kareleri hesaplayalım:

$5^2 = 5 times 5 = 25$

Şimdi formülümüz şöyle oldu:

$Uzaklık = sqrt{25 + 25}$

Toplama işlemini yapalım:

$25 + 25 = 50$

Yani, uzaklık:

$Uzaklık = sqrt{50}$

Şimdi bu köklü ifadeyi sadeleştirmemiz gerekiyor. $50$’yi çarpanlarına ayıralım ve tam kare olanları dışarı çıkaralım.

$50 = 25 times 2$

Burada $25$ tam kare bir sayıdır. $sqrt{25} = 5$.

$sqrt{50} = sqrt{25 times 2} = sqrt{25} times sqrt{2} = 5sqrt{2}$

Yani, A ve B noktaları arasındaki uzaklık $5sqrt{2}$ birimdir.

Şimdi seçeneklere bakalım:

a) 5
b) $5sqrt{2}$
c) $6sqrt{2}$
d) $7sqrt{2}$

Bulduğumuz sonuç B şıkkı ile aynı.

Sonuç: B. $5sqrt{2}$

11. Yandaki şekilde görüldüğü gibi Ahmet’in boyu 1,8 m, gölgesinin boyu ise 2,4 m’dir. Ahmet’in başı ile gölgedeki baş arasındaki uzaklık (x) kaç santimetredir?

Bu bir benzerlik sorusu. Güneş ışınlarının paralel olduğunu varsayarak, Ahmet ile gölgesi arasında benzer üçgenler oluşur. Birinci üçgen, Ahmet’in boyu (dikey) ve gölgesinin boyu (yatay) ile oluşan dik üçgen. İkinci üçgen ise, Ahmet’in başından çıkan ışının yere değdiği nokta ve gölgenin bittiği yer arasındaki ilişkiyi gösteren daha büyük bir üçgen.

Şekilde Ahmet’in boyu $1.8$ m, gölgesi ise $2.4$ m olarak verilmiş. Bizden istenen, Ahmet’in başı ile gölgenin bittiği nokta arasındaki uzaklık (yani, Ahmet’in tepesinden gölgenin ucuna çizilen çizginin uzunluğu), bu uzunluk ‘x’ ile gösterilmiş.

Şimdi bu durumu daha net anlayalım. İki tane dik üçgen var:

• Küçük üçgen: Ahmet’in kendisini temsil ediyor. Dik kenarları $1.8$ m (boyu)