Merhaba sevgili öğrencim. Seninle birlikte bu sayfadaki matematik alıştırmalarını inceleyeceğiz. Konumuz “Cebirsel İfadeler ve Özdeşlikler”. Bu konu 8. sınıfın en temel ve önemli konularından biridir, çünkü lise hayatın boyunca karşına çıkacak. Soruları çözerken sakin ol, kuralları hatırla ve adım adım ilerle.
Aşağıda soruların çözümlerini senin için detaylıca hazırladım.
1. Aşağıdaki eşitliklerden hangilerinin özdeşlik olduğunu bulunuz.
Öncelikle Özdeşlik ve Denklem arasındaki farkı hatırlayalım. Eğer bir eşitlik, bilinmeyenin **her değeri** için doğruysa buna “Özdeşlik” denir. Eğer sadece **belirli değerler** için doğruysa buna “Denklem” denir. Şimdi şıkları tek tek inceleyelim:
- a. 2x – 18 = -x + 54
Bu ifadede x’leri bir tarafa, sayıları diğer tarafa toplarsak: 3x = 72 olur ve x = 24 çıkar. Sadece x=24 için doğrudur. Bu bir Denklemdir, özdeşlik değildir. - b. (3x – 5)² = 9x² – 17x + 25 – 13x
Sol tarafı açalım: (3x – 5)² = (3x)² – 2.(3x).(5) + 5² = 9x² – 30x + 25
Sağ tarafı düzenleyelim: 9x² – (17x + 13x) + 25 = 9x² – 30x + 25
İki taraf birbirinin aynısı oldu mu? Evet. O halde bu bir Özdeşliktir. - c. 144a² – 16b² = (12a – 4b) . (12a + 4b)
Burada iki kare farkı özdeşliği var mı bakalım.
(12a)² = 144a² ve (4b)² = 16b² dir.
Kuralımız: x² – y² = (x-y).(x+y) idi.
Yani (12a)² – (4b)² ifadesi gerçekten de (12a – 4b).(12a + 4b) şeklinde açılır. Bu bir Özdeşliktir. - ç. 4x – 7 = 29
Bu basit bir denklem. 4x = 36, x = 9. Sadece tek bir değer için doğru. Bu bir Denklemdir. - d. 36a² – 64y² = 4(9a² – 16y²)
Sağ taraftaki 4’ü parantez içine dağıtalım:
4 . 9a² = 36a²
4 . (-16y²) = -64y²
Sonuç: 36a² – 64y². Sol taraf ile aynı oldu. Bu bir Özdeşliktir. - e. -3x + 5 = 5x – 11
X’leri bir tarafa toplayalım: 16 = 8x, buradan x = 2 çıkar. Sadece bir değer için doğru. Bu bir Denklemdir. - f. 4x² + 72x + 324 = 4(x + 9)²
Sağ tarafı inceleyelim. Önce parantez karesini alalım, sonra 4 ile çarpalım.
(x + 9)² = x² + 18x + 81
Şimdi bunu 4 ile çarpalım: 4.(x² + 18x + 81) = 4x² + 72x + 324
Sol taraf ile birebir aynı oldu. Bu bir Özdeşliktir. - g. 12x + 9 = 3x + 18
X’leri sola alalım: 9x = 9, buradan x=1 çıkar. Bu bir Denklemdir.
Sonuç: b, c, d ve f seçenekleri birer özdeşliktir.
———————————————————
2. Aşağıdaki ifadelerin eşitlerini özdeşliklerden yararlanarak bulunuz.
Burada kullanacağımız üç temel özdeşlik kuralını hatırlayalım:
1. İki terim toplamının karesi: (a + b)² = a² + 2ab + b²
2. İki terim farkının karesi: (a – b)² = a² – 2ab + b²
3. İki kare farkı: a² – b² = (a – b)(a + b)
- a. (2a + 3)²
Birincinin karesi + Birinci ile ikincinin çarpımının 2 katı + İkincinin karesi
Adım 1: (2a)² = 4a²
Adım 2: 2 . (2a) . (3) = 12a
Adım 3: 3² = 9
Sonuç: 4a² + 12a + 9 - b. (7 – 2x)²
Birincinin karesi – Birinci ile ikincinin çarpımının 2 katı + İkincinin karesi
Adım 1: 7² = 49
Adım 2: -2 . (7) . (2x) = -28x
Adım 3: (2x)² = 4x²
Sonuç: 49 – 28x + 4x² (veya 4x² – 28x + 49) - c. y² – 121
Bu iki kare farkıdır. 121 sayısı 11’in karesidir.
y² – 11² şeklinde yazabiliriz.
Sonuç: (y – 11) . (y + 11) - ç. (6x – 8)²
Adım 1: (6x)² = 36x²
Adım 2: -2 . (6x) . (8) = -96x
Adım 3: 8² = 64
Sonuç: 36x² – 96x + 64 - d. (3m + 2n)²
Adım 1: (3m)² = 9m²
Adım 2: 2 . (3m) . (2n) = 12mn
Adım 3: (2n)² = 4n²
Sonuç: 9m² + 12mn + 4n² - e. 9n² – 49t²
Bu iki kare farkıdır.
9n², (3n)’in karesidir.
49t², (7t)’nin karesidir.
O halde ifade: (3n)² – (7t)²
Sonuç: (3n – 7t) . (3n + 7t)
———————————————————
3. Yandaki karesel bölgenin bir kenarının uzunluğu 58 cm’dir. Bu karesel bölgenin alanını (a – b)² özdeşliğinden yararlanarak bulunuz.
Normalde 58 ile 58’i çarparak alanı bulabiliriz ama soru bizden **özdeşlik kullanmamızı** istiyor. 58 sayısını, sonu sıfır olan en yakın sayıdan çıkarma işlemi olarak yazalım. 60 sayısı 58’e çok yakındır.
Adım 1: 58 sayısını (60 – 2) olarak yazalım.
Karenin Alanı = 58² = (60 – 2)²
Adım 2: (a – b)² = a² – 2ab + b² özdeşliğini uygulayalım.
Burada a = 60 ve b = 2 dir.
(60 – 2)² = 60² – 2 . 60 . 2 + 2²
Adım 3: İşlemleri yapalım.
60² = 3600
2 . 60 . 2 = 240
2² = 4
İfade şuna dönüştü: 3600 – 240 + 4
Adım 4: Toplama ve çıkarma işlemini yapalım.
3600
– 240
——-
3360
Şimdi çıkan sonuca 4 ekleyelim.
3360
+ 4
——-
3364
Sonuç: Karesel bölgenin alanı 3364 cm² dir.
Umarım çözümler anlaşılır olmuştur. Bol bol pratik yaparak bu konuyu çok daha iyi kavrayabilirsin. Başarılar dilerim!