Merhaba sevgili öğrencim. Senin için Türkçe, Matematik, Fen Bilimleri, İngilizce ve Sosyal Bilimler öğretmenin olarak bu soruları inceledim. Gördüğüm kadarıyla bu sayfa, matematikte **Pisagor Bağıntısı** ve **Özel Üçgenler** konusunu içeriyor. Şimdi seninle birlikte bu soruları tane tane, bir dedektif gibi inceleyerek çözelim.
Hazırsan başlayalım!
4. Soru ve Çözümü
Soru Metni: Bir kişi bisikleti ile A noktasından hareket edip 60 m yol aldıktan sonra B noktasına varıyor. B noktasından hareket edip güneye doğru 45 m yol alarak C noktasına varıyor. Bisikletli, B noktasına uğramadan A noktasından C noktasına gitseydi kaç metre daha az yol gitmiş olurdu?
Bu soruda karşımıza bir dik üçgen çıkıyor. Bisikletli önce doğuya (veya batıya), sonra güneye giderek dik bir açı oluşturmuş.
- Adım 1: Önce bisikletlinin gittiği toplam yolu bulalım.
A’dan B’ye: 60 m
B’den C’ye: 45 m
Toplam Yol = 60 + 45 = 105 metre. - Adım 2: Şimdi A’dan C’ye en kısa mesafeyi (hipotenüsü) bulmalıyız. Burada Pisagor bağıntısını kullanabiliriz ama daha kolayı var: 3-4-5 Özel Üçgeni!
Dik kenarlara bakalım:
45 sayısı, 3’ün 15 katıdır (3 x 15).
60 sayısı, 4’ün 15 katıdır (4 x 15).
O halde hipotenüs (AC yolu), 5’in 15 katı olmalıdır.
AC Uzunluğu = 5 x 15 = 75 metre. - Adım 3: Soru bizden ne kadar “daha az” yol gideceğini soruyor.
İlk durumdaki yol: 105 m
İkinci durumdaki yol (Kestirme): 75 m
Fark = 105 – 75 = 30 m
Sonuç: Bisikletli A’dan C’ye direkt gitseydi 30 metre daha az yol gitmiş olurdu.
5. Soru ve Çözümü
Soru Metni: Bir işçi badana yapmak için yandaki gibi bir merdiven kullanıyor. Resimde verilenlere göre merdivenin yerden yüksekliği kaç santimetredir?
Burada ikizkenar bir üçgen görüyoruz. Merdivenin iki ayağı da 120 cm uzunluğunda. Yüksekliği bulmak için üçgeni tam ortadan ikiye bölen dikmeye (h) odaklanalım.
- Adım 1: Merdivenin açık halindeki bir yarısını dik üçgen olarak düşünelim.
Hipotenüs (Merdiven boyu): 120 cm
Tabanın yarısı (Dik kenar): 40 cm
Yükseklik (Diğer dik kenar): h - Adım 2: Pisagor bağıntısını kuralım (a² + b² = c²).
h² + 40² = 120²
h² + 1600 = 14400 - Adım 3: h²’yi yalnız bırakalım.
h² = 14400 – 1600
h² = 12800 - Adım 4: h’yi bulmak için karekök alalım.
h = √12800
Bu sayıyı çarpanlarına ayıralım: 12800 = 6400 x 2
6400 dışarıya 80 olarak çıkar.
h = 80√2 cm
Sonuç: Merdivenin yerden yüksekliği 80√2 santimetredir (Yaklaşık 113 cm).
6. Soru ve Çözümü
Soru Metni: Balık tutmak isteyen bir kişi, oltasını denize atıyor. Resimde verilen uzunluklara göre oltanın uç kısmının deniz seviyesinden kaç santimetre yüksekte olduğunu bulunuz.
Bu soruda önce oltanın oluşturduğu üçgendeki bilinmeyen kenarı bulacağız, sonra da teknenin su üstündeki yüksekliğini buna ekleyeceğiz.
- Adım 1: Oltanın oluşturduğu dik üçgene bakalım.
Hipotenüs (İp uzunluğu): 160 cm
Yatay Dik Kenar: 128 cm
Dikey Dik Kenar (x): ? - Adım 2: Bu sayılar büyük görünüyor, sadeleştirip özel üçgen var mı bakalım.
Her iki sayıyı da 32’ye bölelim.
128 ÷ 32 = 4
160 ÷ 32 = 5
Aha! Bu yine bir 3-4-5 üçgeni. Hipotenüs 5’in katı, bir kenar 4’ün katı. O zaman diğer kenar (x) 3’ün katı olmalı. - Adım 3: x’i hesaplayalım.
Katımız 32 idi.
x = 3 x 32 = 96 cm.
Demek ki oltanın ucu, teknenin kenarından 96 cm yukarıda. - Adım 4: Toplam yüksekliği bulalım.
Üçgenin yüksekliği (x) + Teknenin sudan yüksekliği
Toplama işlemi:
96
+ 80
176
Sonuç: Oltanın uç kısmı deniz seviyesinden 176 santimetre yüksektedir.
7. Soru ve Çözümü
Soru Metni: Yandaki resim denizin altında seyreden iki denizaltıyı göstermektedir. Resimde oluşan dik üçgendeki |AC| = 135 m ve |BC| = 108 m’dir. Bu iki denizaltının arasındaki yükseklik farkı kaç metredir?
Burada A ve B noktaları arasındaki dikey mesafeyi (AB kenarını) bulmamız isteniyor.
- Adım 1: Verilenleri üçgene yerleştirelim.
Hipotenüs (|AC|): 135 m
Yatay Dik Kenar (|BC|): 108 m
Dikey Dik Kenar (|AB|): ? - Adım 2: Yine büyük sayılar var. Sadeleştirerek özel üçgen arayalım.
Sayıları 27’ye bölebiliriz (veya önce 9’a sonra 3’e bölebilirsin).
108 ÷ 27 = 4
135 ÷ 27 = 5
Harika! Bu da bir 3-4-5 üçgeni çıktı. - Adım 3: Bilinmeyen kenarı bulalım.
Üçgenimiz 3-4-5 kuralına uyuyor ve katımız 27.
Bilinmeyen kenar (3’ün katı olan) = 3 x 27
3 x 27 = 81 m
Sonuç: İki denizaltı arasındaki yükseklik farkı 81 metredir.
8. Soru ve Çözümü
Soru Metni: Aşağıdaki koordinat sistemlerinde işaretli noktalar arasındaki uzaklıkları bulunuz.
Bu soruda koordinat düzleminde iki nokta arasındaki en kısa mesafeyi bulmak için sanal bir dik üçgen oluşturacağız.
a. Şıkkı Çözümü:
- Noktalar: B(-3, 3) ve A(2, 2)
- Adım 1: Yatay uzaklığı (dik kenar) bulalım.
-3’ten 2’ye gitmek için: |-3| + 2 = 3 + 2 = 5 birim. - Adım 2: Dikey uzaklığı (diğer dik kenar) bulalım.
3’ten 2’ye inmek için: 3 – 2 = 1 birim. - Adım 3: Pisagor bağıntısı ile hipotenüsü (uzaklığı) bulalım.
d² = 5² + 1²
d² = 25 + 1
d² = 26
d = √26 - Sonuç a: A ve B arasındaki uzaklık √26 birimdir.
b. Şıkkı Çözümü:
- Noktalar: E(-3, -3) ve D(3, 3)
- Adım 1: Yatay uzaklığı bulalım.
-3’ten 3’e gitmek için: 3 – (-3) = 6 birim. - Adım 2: Dikey uzaklığı bulalım.
-3’ten 3’e gitmek için: 3 – (-3) = 6 birim. - Adım 3: Pisagor bağıntısını uygulayalım.
d² = 6² + 6²
d² = 36 + 36
d² = 72
d = √72 - Adım 4: Köklü sayıyı düzenleyelim.
72 = 36 x 2 olduğu için 36 dışarı 6 olarak çıkar.
d = 6√2 - Sonuç b: E ve D arasındaki uzaklık 6√2 birimdir.