Merhabalar sevgili öğrencim. Ben Türkçe, Matematik, Fen Bilimleri, İngilizce ve Sosyal Bilimler öğretmeninim. Bugün seninle bu matematik çalışma sayfasındaki “Çarpanlar ve Katlar” ünitesine ait alıştırmaları birlikte çözeceğiz. Bu konu LGS matematik temelini oluşturduğu için çok önemli, o yüzden dikkatle takip etmeni istiyorum. Hazırsan başlayalım!
1. Soru: 140 sayısının pozitif tam sayı çarpanlarını ve bölenlerini bulunuz. Bulduğunuz sayıları karşılaştırınız.
Bu soruda bizden 140 sayısını kalansız bölen sayıları bulmamız isteniyor. Unutma, bir sayının çarpanı ile böleni aynı şeydir. Şimdi 1’den başlayarak hangi sayıların çarpımı 140 eder, bunları ikili gruplar (gökkuşağı yöntemi) halinde bulalım.
- Adım 1: Çarpımları 140 olan sayı çiftlerini yazalım.
- 1 x 140 = 140
- 2 x 70 = 140
- 4 x 35 = 140 (3’e bölünmez çünkü rakamları toplamı 5)
- 5 x 28 = 140 (Sonu 0 olduğu için 5’e bölünür)
- 7 x 20 = 140
- 10 x 14 = 140
Adım 2: Şimdi bu sayıları küçükten büyüğe sıralayalım:
1, 2, 4, 5, 7, 10, 14, 20, 28, 35, 70, 140
Sonuç ve Karşılaştırma: 140 sayısının pozitif çarpanları ile pozitif bölenleri aynı sayılardır. Her ikisi de yukarıdaki listedeki sayılardan oluşur.
2. Soru: Aşağıdaki sayıların pozitif tam sayı çarpanlarını çarpan ağacından yararlanarak bulunuz.
Çarpan ağacı yönteminde sayıyı iki dala ayırarak en uçta asal sayılar kalana kadar parçalarız. Hadi sırayla yapalım.
a. 70
- 70 sayısını 2 ve 35 olarak ayıralım (70 = 2 x 35).
- 2 asaldır, aynen kalır. 35 sayısını 5 ve 7 olarak ayıralım (35 = 5 x 7).
- Dalların ucundaki asal sayılar: 2, 5, 7
- Asal çarpanların çarpımı: 2 . 5 . 7
b. 98
- 98 sayısını 2 ve 49 olarak ayıralım (98 = 2 x 49).
- 2 asaldır. 49 sayısını 7 ve 7 olarak ayıralım (49 = 7 x 7).
- Dalların ucundaki asal sayılar: 2, 7, 7
- Asal çarpanların çarpımı: 2 . 72
c. 165
- 165 sayısı 3’e bölünür. 3 ve 55 olarak ayıralım (165 = 3 x 55).
- 3 asaldır. 55 sayısını 5 ve 11 olarak ayıralım (55 = 5 x 11).
- Dalların ucundaki asal sayılar: 3, 5, 11
- Asal çarpanların çarpımı: 3 . 5 . 11
ç. 252
- 252’yi 2 ve 126 olarak ayıralım.
- 126’yı 2 ve 63 olarak ayıralım.
- 63’ü 3 ve 21 olarak ayıralım.
- 21’i 3 ve 7 olarak ayıralım.
- Dalların ucundaki asal sayılar: 2, 2, 3, 3, 7
- Asal çarpanların çarpımı: 22 . 32 . 7
3. Soru: Aşağıda çarpım biçiminde verilen ifadeleri üslü biçimde yazınız.
Burada yapmamız gereken şey çok basit: Aynı sayıdan kaç tane yan yana çarpılmışsa, o sayıyı tabana, kaç tane olduğunu da üsse (kuvvete) yazacağız.
a. 2 . 2 . 2 . 2 . 2
Burada 5 tane 2 çarpılmış.
Cevap: 25
b. 2 . 3 . 3 . 3 . 5
Burada 1 tane 2, 3 tane 3 ve 1 tane 5 var.
Cevap: 2 . 33 . 5
c. 2 . 5 . 5 . 7 . 7
Burada 1 tane 2, 2 tane 5 ve 2 tane 7 var.
Cevap: 2 . 52 . 72
4. Soru: Aşağıdaki sayıların asal çarpanlarını bulunuz. Bulduğunuz çarpanları üslü ifade biçiminde yazınız.
Bunu “Bölen Listesi” (sayının yanına dikey çizgi çekme) yöntemiyle yapalım. En küçük asal sayıdan (2) başlayarak bölüyoruz.
a. 54
- 54 ÷ 2 = 27
- 27 ÷ 3 = 9 (2’ye bölünmez, 3’e geçtik)
- 9 ÷ 3 = 3
- 3 ÷ 3 = 1
- Asal çarpanlar: 2, 3, 3, 3
- Üslü Yazılışı: 2 . 33
b. 136
- 136 ÷ 2 = 68
- 68 ÷ 2 = 34
- 34 ÷ 2 = 17
- 17 ÷ 17 = 1 (17 asal sayıdır)
- Asal çarpanlar: 2, 2, 2, 17
- Üslü Yazılışı: 23 . 17
c. 348
- 348 ÷ 2 = 174
- 174 ÷ 2 = 87
- 87 ÷ 3 = 29 (8+7=15 olduğu için 3’e bölünür)
- 29 ÷ 29 = 1 (29 asal sayıdır)
- Asal çarpanlar: 2, 2, 3, 29
- Üslü Yazılışı: 22 . 3 . 29
ç. 720
- 720 ÷ 2 = 360
- 360 ÷ 2 = 180
- 180 ÷ 2 = 90
- 90 ÷ 2 = 45
- 45 ÷ 3 = 15
- 15 ÷ 3 = 5
- 5 ÷ 5 = 1
- Asal çarpanlar: 2, 2, 2, 2, 3, 3, 5
- Üslü Yazılışı: 24 . 32 . 5
5. Soru: Aşağıda asal çarpanları verilen sayıları bulunuz.
Bu soruda üslü sayıların değerini bulup hepsini birbiriyle çarpacağız.
a. 24 . 3 . 5
- 24 = 16 demektir.
- İşlem: 16 . 3 . 5
- 16 . 3 = 48
- 48 . 5 = 240
b. 22 . 3 . 52
- 22 = 4 ve 52 = 25 demektir.
- İşlem: 4 . 3 . 25
- 4 . 25 = 100 (Kolay yoldan çarpalım)
- 100 . 3 = 300
c. 32 . 7 . 11
- 32 = 9 demektir.
- İşlem: 9 . 7 . 11
- 9 . 7 = 63
- 63 . 11 = 693
ç. 23 . 33 . 72
- 23 = 8
- 33 = 27
- 72 = 49
- İşlem: 8 . 27 . 49
- 8 . 27 = 216
- 216 . 49 = 10584
6. Soru: 23 . 3 . a = 168 eşitliğinin doğru olması için a yerine kaç yazılmalıdır?
Bu bir denklem sorusu gibi düşünülebilir. Önce bildiğimiz üslü sayıların değerini hesaplayıp çarpalım, sonra bilinmeyeni bulalım.
Adım 1: Üslü ifadenin değerini bulalım.
23 = 2 . 2 . 2 = 8 eder.
Adım 2: Eşitliği tekrar yazalım.
8 . 3 . a = 168
Adım 3: Bildiğimiz sayıları çarpalım.
24 . a = 168
Adım 4: ‘a’ sayısını bulmak için 168’i 24’e bölmemiz gerekir (Çünkü çarpmanın tersi bölmedir).
a = 168 / 24
a = 7
Sonuç: a yerine 7 yazılmalıdır.