Soru 1: Aşağıda cebir karoları ile modellenmiş dörtgensel bölgelerin alanlarını veren cebirsel ifadeleri yazınız. Bu cebirsel ifadeleri, dörtgensel bölgelerin kenarlarının uzunluklarından yararlanarak çarpanlarına ayırınız.
Merhaba sevgili öğrencim. Cebir karoları, soyut matematiksel ifadeleri somutlaştırarak görmemizi sağlayan harika araçlardır. Bu soruda bize verilen şekillerin alanlarını bulup, kenar uzunluklarını çarparak çarpanlarına ayırma işlemi yapacağız. Öncelikle bize verilen ipuçlarını hatırlayalım:
- Mavi Kare: Bir kenarı x birimdir. Alanı x . x = x² olur.
- Pembe Dikdörtgen: Bir kenarı x, diğer kenarı 1 birimdir. Alanı x . 1 = x olur.
- Sarı Kare: Bir kenarı 1 birimdir. Alanı 1 . 1 = 1 olur.
Şimdi şıkları tek tek inceleyelim ve çözelim.
a) Şıkkının Çözümü:
Bu şekildeki parçaları sayalım ve toplam alanı bulalım.
- Adım 1 (Parçaları Sayma): Şekilde 1 tane mavi kare (x²) ve 2 tane pembe dikdörtgen (x) var.
- Adım 2 (Toplam Alanı Yazma): Parçaların alanlarını toplarsak cebirsel ifademiz: x² + 2x olur.
- Adım 3 (Kenar Uzunluklarını Bulma): Şekil bir dikdörtgendir.
- Dik kenar (yükseklik): Mavi karenin bir kenarı kadardır, yani x birimdir.
- Yatay kenar (genişlik): Mavi karenin kenarı (x) ile yanındaki iki pembe dikdörtgenin kısa kenarlarının (1 + 1) toplamıdır. Yani x + 2 birimdir.
- Adım 4 (Çarpanlarına Ayırma): Alan, iki kenarın çarpımına eşittir. O halde:
Sonuç:x² + 2x = x . (x + 2)
b) Şıkkının Çözümü:
Burada daha büyük bir dikdörtgen görüyoruz. İçindeki parçaları sayalım.
- Adım 1 (Parçaları Sayma): Şekilde 4 tane mavi kare (4x²) ve 8 tane pembe dikdörtgen (8x) var.
- Adım 2 (Toplam Alanı Yazma): Cebirsel ifademiz: 4x² + 8x olur.
- Adım 3 (Kenar Uzunluklarını Bulma):
- Dik kenar: İki mavi kare üst üste gelmiş. Uzunluk x + x = 2x birimdir.
- Yatay kenar: İki mavi kare ve dört pembe dikdörtgen yan yana. Uzunluk x + x + 1 + 1 + 1 + 1 = 2x + 4 birimdir.
- Adım 4 (Çarpanlarına Ayırma): Alanı kenarların çarpımı şeklinde yazalım.
Sonuç:4x² + 8x = 2x . (2x + 4)
c) Şıkkının Çözümü:
Bu şekil bir kareye benziyor. Bakalım içinde neler var.
- Adım 1 (Parçaları Sayma): 1 tane mavi kare (x²), 2 tane pembe dikdörtgen (2x) ve 1 tane sarı kare (1) var.
- Adım 2 (Toplam Alanı Yazma): Cebirsel ifademiz: x² + 2x + 1 olur.
- Adım 3 (Kenar Uzunluklarını Bulma):
- Dik kenar: Bir mavi kare kenarı ve altında bir pembe dikdörtgenin kısa kenarı var. Uzunluk x + 1 birimdir.
- Yatay kenar: Bir mavi kare kenarı ve yanında bir pembe dikdörtgenin kısa kenarı var. Uzunluk x + 1 birimdir.
- Adım 4 (Çarpanlarına Ayırma): Bu bir tam kare ifadedir.
Sonuç:x² + 2x + 1 = (x + 1) . (x + 1) = (x + 1)²
ç) Şıkkının Çözümü:
Bu dikdörtgeni inceleyelim.
- Adım 1 (Parçaları Sayma): 2 tane mavi kare (2x²), 3 tane pembe dikdörtgen (3x) ve 1 tane sarı kare (1) var.
- Adım 2 (Toplam Alanı Yazma): Cebirsel ifademiz: 2x² + 3x + 1 olur.
- Adım 3 (Kenar Uzunluklarını Bulma):
- Dik kenar: Sol tarafta bir mavi kare (x) ve altında bir pembe dikdörtgenin kısa kenarı (1) var. Uzunluk x + 1 birimdir.
- Yatay kenar: Üst tarafta iki mavi kare (x + x) ve bir pembe dikdörtgenin kısa kenarı (1) var. Uzunluk 2x + 1 birimdir.
- Adım 4 (Çarpanlarına Ayırma): Kenarları çarpım şeklinde yazalım.
Sonuç:2x² + 3x + 1 = (x + 1) . (2x + 1)
d) Şıkkının Çözümü:
Büyük bir karemiz var. İçindeki parçaları dikkatlice sayalım.
- Adım 1 (Parçaları Sayma): 9 tane mavi kare (9x²), 6 tane pembe dikdörtgen (6x) ve 1 tane sarı kare (1) var.
- Adım 2 (Toplam Alanı Yazma): Cebirsel ifademiz: 9x² + 6x + 1 olur.
- Adım 3 (Kenar Uzunluklarını Bulma):
- Dik kenar: Üç tane mavi kare üst üste ve en altta bir sarı kare hizası (1 birim) var. Uzunluk 3x + 1 birimdir.
- Yatay kenar: Üç tane mavi kare yan yana ve en sağda bir sarı kare hizası (1 birim) var. Uzunluk 3x + 1 birimdir.
- Adım 4 (Çarpanlarına Ayırma): Kenarlar eşit olduğu için bu bir tam karedir.
Sonuç:9x² + 6x + 1 = (3x + 1) . (3x + 1) = (3x + 1)²