Merhaba sevgili öğrencim! Ben senin Türkçe, Matematik, Fen Bilimleri, İngilizce ve Sosyal Bilimler öğretmeninim. Bugün seninle paylaştığın görseldeki Matematik sorularını, yani EBOB (En Büyük Ortak Bölen) ve EKOK (En Küçük Ortak Kat) problemlerini birlikte inceleyeceğiz. Bu konular bazen kafa karıştırıcı olabilir ama adım adım gidersek ne kadar mantıklı olduklarını göreceksin.
Haydi, 9. sorudan başlayarak sırayla çözelim.
9. Dikdörtgen biçimindeki bir arsanın eni 380 m, boyu 440 m’dir. Bu arsanın çevresi tel ile çevrilecektir. Telleri tutturmak için eşit ve en geniş aralıklarla direkler dikilecektir. Her köşeye bir direk dikmek üzere dikilecek direk sayısını ve direkler arasındaki uzaklığı bulunuz.
Çözüm:
Bu soruda bizden direkleri eşit ve en geniş aralıklarla dikmemiz isteniyor. “Eşit” ve “en büyük/en geniş” kelimelerini gördüğümüzde aklımıza hemen EBOB (En Büyük Ortak Bölen) gelmeli. Çünkü hem 380 metreyi hem de 440 metreyi tam bölebilen en büyük sayıyı bulmalıyız ki direk aralıkları eşit ve mümkün olduğunca geniş olsun.
Adım 1: 380 ve 440 sayılarının EBOB’unu bulalım.
- 380 ve 440 sayıları 10’a bölünür: 38 ve 44 kalır.
- 38 ve 44 sayıları 2’ye bölünür: 19 ve 22 kalır.
- 19 ve 22 sayılarının 1’den başka ortak böleni yoktur.
- EBOB(380, 440) = 10 x 2 = 20
Bulduğumuz bu 20 sayısı, iki direk arasındaki mesafedir (uzaklıktır).
Direkler arasındaki uzaklık: 20 metredir.
Adım 2: Şimdi kaç tane direk gerektiğini bulalım. Bunun için dikdörtgenin çevresini bulup, direk aralığına bölebiliriz.
Çevre = 2 x (Kısa Kenar + Uzun Kenar)
Çevre = 2 x (380 + 440) = 2 x 820 = 1640 metre.
Direk Sayısı = Çevre / Direk Aralığı
Direk Sayısı = 1640 / 20 = 82
Sonuç: Direkler arasındaki uzaklık 20 metredir ve toplam 82 adet direk gereklidir.
10. Doktor, Ayşe Nine’ye yazdığı ilaçlardan birini 8 saat, diğerini 12 saat arayla içmesini söyledi. Komşu Suzan Hanım, Ayşe Nine’ye ilaçlarını içeceği saatleri söyleyerek yardımcı olmaktadır. Ayşe Nine, ilaçlarını sabah saat 08.00’de birlikte aldığına göre;
a. Suzan Hanım, en erken saat kaçta iki ilacını birlikte almasını söyleyecektir?
b. Ayşe Nine, ikinci kez ilaçları birlikte aldığı zamanda 8 saatte bir aldığı ilaçtan kaç kez almış olur?
Çözüm:
Burada iki farklı zaman dilimi var ve bu zamanların ne zaman tekrar birleşeceğini arıyoruz. “Ne zaman tekrar buluşurlar/birleşirler” soruları EKOK (En Küçük Ortak Kat) sorularıdır.
Adım 1: 8 ve 12 sayılarının EKOK’unu bulalım.
- 8’in katları: 8, 16, 24, 32…
- 12’nin katları: 12, 24, 36…
- En küçük ortak kat (EKOK) = 24
Demek ki Ayşe Nine, her 24 saatte bir bu iki ilacı aynı anda içecek.
a. Şıkkının Çözümü:
İlk ilaçları sabah 08.00’de almış. Bir sonraki birlikte alma zamanı 24 saat sonra olacaktır.
08.00 + 24 saat = Ertesi gün sabah 08.00
Cevap a: En erken ertesi sabah saat 08.00’de birlikte alacaktır.
b. Şıkkının Çözümü:
Ayşe Nine ilaçları ilk kez 08.00’de birlikte aldı. İkinci kez birlikte aldığında aradan tam 24 saat geçmiş olacak. Soru bize bu süre zarfında 8 saatlik ilaçtan toplam kaç tane içtiğini soruyor. Sayarak yapalım:
- 1. İlaç: Saat 08.00 (Başlangıçta içti)
- 2. İlaç: Saat 16.00 (8 saat sonra)
- 3. İlaç: Saat 24.00 veya 00.00 (16 saat sonra)
- 4. İlaç: Saat 08.00 (24 saat sonra – İkinci kez birlikte aldıkları an)
Cevap b: Ayşe Nine, 8 saatte bir aldığı ilaçtan toplam 4 kez almış olur.
11. Bir manifaturacı, 52 m ve 60 m uzunluklarındaki perdelik kumaşları hiç artmayacak şekilde eşit ve en büyük uzunlukta parçalara ayırmıştır. Buna göre,
a. Bir parça kumaşın uzunluğu kaç metredir?
b. Kumaşlardan elde edilen parçaların toplam sayısı kaçtır?
Çözüm:
Yine “eşit” ve “en büyük” ipuçlarını görüyoruz. Kumaşları parçalara ayıracağımız (böleceğimiz) için bu bir EBOB sorusudur.
Adım 1: 52 ve 60 sayılarının EBOB’unu bulalım.
- 52 ve 60 sayıları 4’e bölünür: 13 ve 15 kalır.
- 13 ve 15 aralarında asaldır (ortak bölenleri yoktur).
- EBOB(52, 60) = 4
a. Şıkkının Çözümü:
EBOB bize bir parçanın uzunluğunu verir.
Cevap a: Bir parça kumaşın uzunluğu 4 metredir.
b. Şıkkının Çözümü:
Şimdi her kumaştan kaç parça çıktığını bulup toplayalım.
- 52 metrelik kumaş için: 52 / 4 = 13 parça
- 60 metrelik kumaş için: 60 / 4 = 15 parça
Toplam parça sayısını bulmak için toplama işlemi yapalım:
13
+ 15
—-
28
Cevap b: Toplam parça sayısı 28’dir.
12. Bir kavanozdaki bilyeler üçer ve beşer sayıldığında her seferinde 2 bilye artmaktadır. Bu kavanozdaki bilyelerin sayısı, 100 ile 110 arasındadır. Kavanozdaki bilyelerin sayısı kaçtır?
Çözüm:
Bilyeler 3’er ve 5’er sayılabiliyorsa, bilye sayısı hem 3’ün hem de 5’in bir katı olmalıdır. Ancak her seferinde 2 bilye artıyormuş. O zaman stratejimiz şu olacak: Önce 3 ve 5’in ortak katını bulacağız (EKOK), sonra bu kata artan 2 bilyeyi ekleyeceğiz.
Adım 1: 3 ve 5’in EKOK’unu bulalım.
- 3 ve 5 aralarında asaldır, bu yüzden EKOK’ları çarpımlarıdır.
- EKOK(3, 5) = 3 x 5 = 15
Adım 2: Bilye sayısı 15’in katlarından 2 fazla olmalı. 100 ile 110 arasındaki 15’in katını bulalım.
15’in katları: 15, 30, 45, 60, 75, 90, 105, 120…
100 ile 110 arasında olan kat 105‘tir.
Adım 3: Artan 2 bilyeyi ekleyelim.
105
+ 2
—–
107
Sonuç: Kavanozdaki bilye sayısı 107’dir.
13. Bir bahçeden toplanan 345 kg yeşil elma ve 570 kg kırmızı elma birbirine karıştırılmadan, hiç artmayacak şekilde eşit ve en büyük hacimli kasalar konulmuştur. Buna göre,
a. Bir kasaya kaç kilogram elma konulmuştur?
b. Bu iş için toplam kaç kasa kullanılmıştır?
Çözüm:
Elmaları kasalara “bölüştürüyoruz”, “eşit” ve “en büyük” hacimli olmasını istiyoruz. Bu klasik bir EBOB sorusudur.
Adım 1: 345 ve 570 sayılarının EBOB’unu bulalım.
- Her iki sayı da 5’e bölünür (sonları 0 ve 5 olduğu için).
- 345 / 5 = 69
- 570 / 5 = 114
- Şimdi 69 ve 114 sayılarına bakalım. Rakamları toplamı 3’ün katı olduğu için her ikisi de 3’e bölünür.
- 69 / 3 = 23
- 114 / 3 = 38
- 23 asaldır, 38 ile ortak böleni yoktur.
- EBOB(345, 570) = 5 x 3 = 15
a. Şıkkının Çözümü:
Bulduğumuz EBOB değeri bir kasanın alacağı elma miktarıdır.
Cevap a: Bir kasaya 15 kilogram elma konulmuştur.
b. Şıkkının Çözümü:
Kaç kasa gerektiğini bulmak için elma miktarlarını kasa kapasitesine (15’e) bölelim.
- Yeşil elmalar için: 345 / 15 = 23 kasa (Yukarıda sadeleştirirken bulmuştuk)
- Kırmızı elmalar için: 570 / 15 = 38 kasa (Bunu da yukarıda bulmuştuk)
Toplam kasa sayısını bulmak için toplayalım:
23
+ 38
—-
61
Cevap b: Bu iş için toplam 61 kasa kullanılmıştır.
Umarım çözümler anlaşılır olmuştur. Başarılar dilerim!