Merhaba çocuklar, ben sizin 8. Sınıf Matematik öğretmeniniz. Bugün geometrik cisimler ünitemizdeki silindir yüzey alanı ile ilgili bazı soruları birlikte çözeceğiz. Unutmayın, geometri aslında bir bulmaca gibidir. Doğru formülleri ve mantığı kullandığımızda her şey yerli yerine oturur. Hadi başlayalım!
Soru 3: Yanda verilen dik dairesel silindir biçimindeki teneke kutunun çapı 12 cm ve yüksekliği 18 cm’dir. Bu kutunun yapımında kaç santimetrekare teneke kullanıldığını bulunuz (π yerine 3,14 alınız.).
Çözüm:
Sevgili öğrenciler, bu soruda bizden teneke kutunun toplam yüzey alanını bulmamız isteniyor. Bir silindirin yüzey alanı, alt ve üst tabanlarındaki iki dairenin alanı ile yan yüzeyinin (yani o dikdörtgen şeklindeki kısmın) alanının toplamıdır.
Adım 1: Verilenleri not alalım ve yarıçapı bulalım.
- Çap (R) = 12 cm
- Yükseklik (h) = 18 cm
- π = 3,14
- Yarıçap (r), çapın yarısıdır. Yani, r = 12 / 2 = 6 cm.
Adım 2: Taban alanlarını hesaplayalım.
Silindirin alt ve üstünde iki tane daire var. Bir dairenin alanı πr² formülüyle bulunur. İki tane olduğu için bu sonucu 2 ile çarpacağız.
Tek Taban Alanı = π × r² = 3,14 × 6² = 3,14 × 36 = 113,04 cm²
İki Taban Alanı = 2 × 113,04 = 226,08 cm²
Adım 3: Yanal alanı hesaplayalım.
Silindirin yan yüzeyinin alanı, taban çevresi ile yüksekliğin çarpımına eşittir. Formülümüz 2πrh.
Yanal Alan = 2 × π × r × h = 2 × 3,14 × 6 × 18
Yanal Alan = 6,28 × 108 = 678,24 cm²
Adım 4: Toplam yüzey alanını bulalım.
Şimdi bulduğumuz taban alanları ile yanal alanı toplayarak kutu için ne kadar teneke gerektiğini bulabiliriz.
Toplam Alan = İki Taban Alanı + Yanal Alan
Toplam Alan = 226,08 + 678,24 = 904,32 cm²
Sonuç: Bu teneke kutunun yapımında 904,32 cm² teneke kullanılmıştır.
Soru 4: Dik dairesel silindir biçimindeki süt tankının yan yüzünün alanı 115 200 cm² ve uzunluğu 2,4 m’dir. Bu tankın yarıçapının kaç santimetre olduğunu bulunuz (π yerine 3 alınız.).
Çözüm:
Çocuklar, bu soruda dikkat etmemiz gereken önemli bir nokta var: birimler! Alan santimetrekare (cm²) cinsinden, ama uzunluk metre (m) cinsinden verilmiş. İşlem yapmadan önce birimleri aynı yapmalıyız.
Adım 1: Birimleri eşitleyelim.
Tankın uzunluğu, silindirin yüksekliği (h) demektir. Bunu santimetreye çevirelim.
h = 2,4 m = 2,4 × 100 = 240 cm
Adım 2: Yanal alan formülünü yazalım ve bildiklerimizi yerleştirelim.
Bize sadece yan yüzünün alanı verilmiş. Yanal alan formülü neydi? Yanal Alan = 2πrh.
- Yanal Alan = 115 200 cm²
- π = 3
- h = 240 cm
- r = ? (Bunu arıyoruz)
115 200 = 2 × 3 × r × 240
Adım 3: Denklemi çözelim ve yarıçapı (r) bulalım.
115 200 = 6 × r × 240
115 200 = 1440 × r
Yarıçapı (r) bulmak için eşitliğin her iki tarafını da 1440’a bölmemiz gerekir.
r = 115 200 / 1440
Sıfırları sadeleştirelim: r = 11 520 / 144
r = 80 cm
Sonuç: Süt tankının yarıçapı 80 cm‘dir.
Soru 5: Yanda verilen dik dairesel silindir biçimindeki peynir kutusunun yüzey alanı 462 cm² ve yarıçapı 7 cm’dir. Bu kutunun yüksekliğinin uzunluğunu bulunuz (π yerine 3 alınız.).
Çözüm:
Bu soruda bize toplam yüzey alanı verilmiş ve yüksekliği bulmamız isteniyor. Yine formüllerden yola çıkacağız.
Adım 1: Toplam yüzey alanı formülünü hatırlayalım.
Toplam Alan = Yanal Alan + 2 × Taban Alanı
Toplam Alan = (2πrh) + (2 × πr²)
Adım 2: Bildiğimiz değerleri kullanarak önce taban alanlarını hesaplayalım.
r = 7 cm ve π = 3 olarak verilmiş.
İki Taban Alanı = 2 × π × r² = 2 × 3 × 7² = 2 × 3 × 49 = 6 × 49 = 294 cm²
Adım 3: Yanal alanı bulalım.
Toplam alandan taban alanlarını çıkarırsak geriye sadece yanal alan kalır.
Yanal Alan = Toplam Alan – İki Taban Alanı
Yanal Alan = 462 – 294 = 168 cm²
Adım 4: Yanal alan formülünü kullanarak yüksekliği (h) bulalım.
Yanal Alan = 2πrh
168 = 2 × 3 × 7 × h
168 = 42 × h
h = 168 / 42
h = 4 cm
Sonuç: Peynir kutusunun yüksekliği 4 cm‘dir.
Soru 6: Yanda verilen yarım dik dairesel silindir biçimindeki deponun boyu 6 m ve çapı 3 m’dir. Bu deponun yüzeyi (kapı dâhil) boyanacaktır. Boyanacak yüzeyin kaç metrekare olduğunu bulunuz (π yerine 3 alınız.).
Çözüm:
Bu soru biraz farklı, çünkü karşımızda tam bir silindir yok, yarım bir silindir var. Boyanacak yüzeyleri hayal edelim: deponun kavisli çatısı, iki tane yarım daire şeklindeki ön ve arka duvarları ve bir de dikdörtgen şeklindeki zemini var.
Adım 1: Verilenleri yazalım ve yarıçapı bulalım.
- Çap = 3 m, o zaman yarıçap (r) = 3 / 2 = 1,5 m.
- Boy (yükseklik, h) = 6 m.
- π = 3.
Adım 2: Boyanacak yüzeyleri tek tek hesaplayalım.
a) Kavisli Yüzey (Yarım Yanal Alan): Tam silindirin yanal alanının yarısıdır. (2πrh) / 2 = πrh
Alan = 3 × 1,5 × 6 = 27 m²
b) Ön ve Arka Yüzeyler (İki Yarım Daire): İki tane yarım daire, bir tam daire eder. Alanı πr²’dir.
Alan = 3 × (1,5)² = 3 × 2,25 = 6,75 m²
c) Zemin (Dikdörtgen): Bu dikdörtgenin kenarları deponun boyu ve çapıdır.
Alan = Boy × Çap = 6 × 3 = 18 m²
Adım 3: Tüm alanları toplayalım.
Toplam Boyanacak Alan = Kavisli Yüzey + Ön/Arka Yüzeyler + Zemin
Toplam Alan = 27 + 6,75 + 18 = 51,75 m²
Sonuç: Boyanacak yüzeyin alanı 51,75 m²‘dir.
Soru 7: Kısa kenarı 6 cm ve uzun kenarı 15 cm olan dikdörtgensel bölge biçimindeki kartonun kısa ve uzun kenarları etrafında 360° döndürülmesi ile oluşacak cisimlerin yüzey alanları farkını bulunuz (π yerine 3 alınız.).
Çözüm:
Bir dikdörtgeni bir kenarı etrafında 360 derece döndürdüğümüzde bir silindir oluşur. Döndürdüğümüz kenar yükseklik, diğer kenar ise yarıçap olur. İki durumu da ayrı ayrı inceleyeceğiz.
Durum 1: Kısa kenar (6 cm) etrafında döndürme
- Yükseklik (h) = 6 cm (sabit kenar)
- Yarıçap (r) = 15 cm (dönen kenar)
- Alan₁ = (2πrh) + (2πr²) = (2×3×15×6) + (2×3×15²) = 540 + (6×225) = 540 + 1350 = 1890 cm²
Durum 2: Uzun kenar (15 cm) etrafında döndürme
- Yükseklik (h) = 15 cm (sabit kenar)
- Yarıçap (r) = 6 cm (dönen kenar)
- Alan₂ = (2πrh) + (2πr²) = (2×3×6×15) + (2×3×6²) = 540 + (6×36) = 540 + 216 = 756 cm²
Adım 3: Yüzey alanlarının farkını bulalım.
Fark = Alan₁ – Alan₂ = 1890 – 756 = 1134 cm²
Sonuç: Oluşacak cisimlerin yüzey alanları farkı 1134 cm²‘dir.
Soru 8: Yandaki pasta iki dik dairesel silindir biçiminde yapılmıştır. Alttaki parçanın yarıçapı 6 cm, yüksekliği 12 cm ve üstteki parçanın yarıçapı 4 cm ve yüksekliği 8 cm’dir. Bu pastanın yüzey alanının kaç santimetrekare olduğunu bulunuz (π yerine 3 alınız.).
Çözüm:
Bu soruda pastanın görünen yüzeylerini, yani krema sürülecek yerleri düşünmeliyiz. Bu, iki silindirin toplam alanından biraz farklıdır çünkü pastaların birleştiği yerler görünmez.
Adım 1: Görünen yüzeyleri listeleyelim.
- Büyük pastanın taban alanı (en alt).
- Büyük pastanın yanal alanı.
- Küçük pastanın yanal alanı.
- Küçük pastanın üst taban alanı.
- Büyük pastanın üstünde, küçük pastanın altında kalmayan halka şeklindeki alan.
Adım 2: Bu alanları tek tek hesaplayalım.
Büyük Pasta: r₁ = 6 cm, h₁ = 12 cm
Küçük Pasta: r₂ = 4 cm, h₂ = 8 cm
1. Büyük Pastanın Taban Alanı: πr₁² = 3 × 6² = 3 × 36 = 108 cm²
2. Büyük Pastanın Yanal Alanı: 2πr₁h₁ = 2 × 3 × 6 × 12 = 432 cm²
3. Küçük Pastanın Yanal Alanı: 2πr₂h₂ = 2 × 3 × 4 × 8 = 192 cm²
4. Küçük Pastanın Üst Taban Alanı: πr₂² = 3 × 4² = 3 × 16 = 48 cm²
5. Halka Şeklindeki Alan: (Büyük pastanın üst alanı) – (Küçük pastanın taban alanı) = πr₁² – πr₂² = 108 – 48 = 60 cm²
Adım 3: Tüm bu alanları toplayalım.
Toplam Yüzey Alanı = 108 + 432 + 192 + 48 + 60
Toplam Yüzey Alanı = 840 cm²
Sonuç: Pastanın yüzey alanı 840 cm²‘dir.