Merhaba sevgili öğrencim! Bugün seninle Doğrusal Denklemler konusunu pekiştireceğimiz harika iki etkinliği inceleyeceğiz. Matematikte gerçek hayat problemlerini denklemlere dökmek çok önemlidir. Hadi gel, adım adım bu soruları çözelim.
1. Soru: Otobüs Bileti Problemi
Bir otobüs şirketi Ankara ile İstanbul arasında seyahat eden her yolcu için 50 TL ücret almaktadır. Yolcu sayısı ile alınan ücret arasındaki ilişkiye ait denklemi söyleyiniz. Bu denklemdeki yolcu sayısı ile elde edilecek para miktarı aynı oranda mı artmaktadır? Bu denklemin doğrusal bir denklem olup olmadığını açıklayınız.
Çözüm:
Bu soruyu çözmek için önce değişkenlerimizi belirleyelim ve aralarındaki ilişkiyi kuralım.
- Adım 1: Değişkenleri Belirleyelim
Yolcu sayısı değişebildiği için buna x diyelim.
Toplanan para miktarı yolcu sayısına bağlı olduğu için buna da y diyelim. - Adım 2: İlişkiyi Kuralım
1 yolcu için: 1 x 50 = 50 TL
2 yolcu için: 2 x 50 = 100 TL
3 yolcu için: 3 x 50 = 150 TL
Bu durumda, toplam para (y), yolcu sayısının (x) tam 50 katıdır. - Adım 3: Denklemi Yazalım
Elde ettiğimiz ilişkiye göre denklemimiz şöyledir:
y = 50x - Adım 4: Artış Oranını Yorumlayalım
Soruda “aynı oranda mı artmaktadır?” diye sorulmuş. Evet, yolcu sayısı 2 katına çıkarsa (örneğin 1’den 2’ye), kazanılan para da 2 katına çıkar (50’den 100’e). Aralarında doğru orantı vardır. Biri artarken diğeri de sabit bir oranla artmaktadır. - Adım 5: Doğrusal Denklem Analizi
Bu denklem doğrusal bir denklemdir. Çünkü denklemin grafiğini çizersek düz bir çizgi (doğru) elde ederiz. Değişkenlerin kuvvetleri (üsleri) 1’dir (x¹ ve y¹). Ayrıca bu denklem, orijinden (0,0 noktasından) geçen doğrusal bir ilişkiyi ifade eder.
2. Soru: Musluk ve Su Miktarı Problemi (Tablo Analizi)
Tablodan yararlanarak zaman ile akan su miktarı arasındaki ilişkinin denklemini yazınız. Bu denklemin grafiğini kareli kâğıdınızda çizgi grafiği oluşturarak gösteriniz. Grafiğe göre denklemin nasıl bir denklem olduğunu söyleyiniz. Grafiğin eksenleri kesip kesmediğini söyleyiniz.
Çözüm:
Tabloyu dikkatlice incelediğimizde Saat (y) ve Akan Su Miktarı (x) olarak verilmiş. Ayrıca sıralı ikililer (x, y) şeklinde gösterilmiş.
- Adım 1: Tablodaki İlişkiyi Bulalım
Tablo satırlarına bakalım:
1. Satır: Saat (y) = 1 iken, Su (x) = 1/2
2. Satır: Saat (y) = 2 iken, Su (x) = 1
3. Satır: Saat (y) = 3 iken, Su (x) = 3/2Burada dikkat edersen; Saat değeri (y), her zaman Su miktarının (x) 2 katıdır.
Örneğin: Su 1 iken Saat 2 olmuş (1 x 2 = 2). - Adım 2: Denklemi Yazalım
Bulduğumuz bu ilişkiyi matematik diline dökersek:
Saat = 2 tane (Su Miktarı)
y = 2x
(veya x = y/2 şeklinde de ifade edilebilir ama genelde y = ax formatını tercih ederiz). - Adım 3: Grafiği Nasıl Çizeceğiz?
Kareli kâğıdında şu adımları izlemelisin:
1. Yatay ekseni (x ekseni) “Su Miktarı”, dikey ekseni (y ekseni) “Saat” olarak adlandır.
2. Tablodaki (x, y) noktalarını işaretle: (0.5, 1), (1, 2), (1.5, 3).
3. Cetvelini al ve bu noktalardan geçen düz bir çizgi çiz.
4. Çizginin başlangıç noktası (0,0) yani orijin olacaktır, çünkü zaman 0 iken akan su da 0’dır. - Adım 4: Denklemin Türü
Grafiğe baktığında dümdüz bir çizgi göreceksin. Bu, doğrusal bir denklemdir. Değişkenler arasında sabit bir değişim oranı vardır. - Adım 5: Eksenleri Kesme Durumu
Çizdiğin grafik, yatay ve dikey eksenlerin kesiştiği nokta olan orijinden (0,0) geçer. Başlangıç noktası burasıdır. Başka bir noktada eksenleri kesmez. Yani bu grafik, orijinden geçen bir doğrudur.
Umarım bu açıklamalar konuyu daha iyi anlamana yardımcı olmuştur. Başarılar dilerim!