Merhaba sevgili öğrencilerim! Bugün elimize geçen bu harika matematik sorularını birlikte çözeceğiz. Kareköklü ifadelerle ilgili bolca alıştırma yapacağız. Hazırsanız başlayalım!
6. Bir bidonda 6√27 L kolonya vardı. Bidondaki kolonyanın bir kısmı her biri 2√3 L kolonya alan 6 bidona boşaltıldı. Büyük bidonda geriye kaç litre kolonya kaldığını hesaplayınız.
Bu soruda ilk olarak elimizdeki toplam kolonya miktarını bulmamız gerekiyor. Sonra bu kolonyadan ne kadarının kullanıldığını hesaplayıp başlangıçtan çıkaracağız.
Adım 1: Başlangıçtaki toplam kolonya miktarını hesaplayalım.
Elimizde 6√27 L kolonya var. √27’yi sadeleştirelim. 27, 9 x 3 olduğu için √27 = √(9 x 3) = √9 x √3 = 3√3 olur.
Yani başlangıçtaki kolonya miktarı:
6 * (3√3) = 18√3 L
Adım 2: Kullanılan kolonya miktarını hesaplayalım.
Her biri 2√3 L olan 6 bidona kolonya boşaltılmış.
Kullanılan kolonya miktarı = 6 bidon * 2√3 L/bidon = 12√3 L
Adım 3: Geriye kalan kolonya miktarını hesaplayalım.
Başlangıçtaki miktardan kullanılan miktarı çıkaracağız.
Geriye kalan kolonya = 18√3 L – 12√3 L = 6√3 L
Sonuç: Büyük bidonda geriye 6√3 L kolonya kalmıştır.
7. Aşağıdaki işlemleri yapınız.
a. 3√5 . √5
Bu işlemde katsayıları kendi aralarında, karekök içindeki sayıları kendi aralarında çarpacağız.
Adım 1: Katsayıları çarpalım.
3 * 1 = 3
Adım 2: Karekök içindeki sayıları çarpalım.
√5 * √5 = √25 = 5
Adım 3: Elde ettiğimiz sonuçları birleştirelim.
3 * 5 = 15
Sonuç: 3√5 . √5 = 15
b. 4√7 . 2√7
Yine katsayıları kendi aralarında, kök içlerini kendi aralarında çarpıyoruz.
Adım 1: Katsayıları çarpalım.
4 * 2 = 8
Adım 2: Karekök içindeki sayıları çarpalım.
√7 * √7 = √49 = 7
Adım 3: Sonuçları birleştirelim.
8 * 7 = 56
Sonuç: 4√7 . 2√7 = 56
c. 6√3 . 3√5
Bu sefer kök içleri farklı. Katsayıları çarpıp kök içlerini de çarpacağız.
Adım 1: Katsayıları çarpalım.
6 * 3 = 18
Adım 2: Karekök içindeki sayıları çarpalım.
√3 * √5 = √15
Adım 3: Sonuçları birleştirelim.
18√15
Sonuç: 6√3 . 3√5 = 18√15
d. √20 . √98
Kök içindeki sayıları çarpıp sonra sadeleştirebiliriz veya önce sadeleştirip sonra çarpabiliriz. Önce sadeleştirmeyi deneyelim.
Adım 1: √20’yi sadeleştirelim.
√20 = √(4 * 5) = √4 * √5 = 2√5
Adım 2: √98’i sadeleştirelim.
√98 = √(49 * 2) = √49 * √2 = 7√2
Adım 3: Sadeleştirilmiş ifadeleri çarpalım.
(2√5) * (7√2) = (2 * 7) * (√5 * √2) = 14√10
Sonuç: √20 . √98 = 14√10
e. (-3√108) . (-√24)
İki negatif sayının çarpımı pozitiftir. Katsayıları ve kök içlerini çarpacağız.
Adım 1: İşareti belirleyelim.
(-) * (-) = (+)
Adım 2: Katsayıları çarpalım.
3 * 1 = 3
Adım 3: Karekök içindeki sayıları çarpalım.
√108 * √24 = √ (108 * 24)
Şimdi 108 ve 24’ün çarpımını yapalım: 108 * 24 = 2592.
Yani √2592.
Adım 4: √2592’yi sadeleştirelim.
2592’yi asal çarpanlarına ayırarak veya büyük tam kareleri bularak sadeleştirebiliriz.
2592 = 1296 * 2. 1296, 36’nın karesidir (36 * 36 = 1296).
Yani √2592 = √ (1296 * 2) = √1296 * √2 = 36√2.
Adım 5: Katsayı ile sadeleştirilmiş kökü birleştirelim.
3 * (36√2) = 108√2
Sonuç: (-3√108) . (-√24) = 108√2
8. Aşağıdaki işlemleri yapınız.
a. √18 ÷ √2
Bölme işleminde kök içindeki sayıları birbirine böleriz.
Adım 1: Kök içindeki sayıları bölelim.
√18 / √2 = √(18 / 2) = √9
Adım 2: Sonucu bulalım.
√9 = 3
Sonuç: √18 ÷ √2 = 3
b. (-√50) ÷ √200
Bu soruda işaretlere dikkat edelim. Negatif sayının pozitife bölümü negatiftir.
Adım 1: İşareti belirleyelim.
(-) / (+) = (-)
Adım 2: Kök içindeki sayıları bölelim.
√50 / √200 = √(50 / 200) = √(1/4)
Adım 3: Karekökü alalım.
√(1/4) = √1 / √4 = 1/2
Adım 4: İşareti de ekleyerek sonucu yazalım.
-1/2
Sonuç: (-√50) ÷ √200 = -1/2
c. (-√80) ÷ (-√20)
İki negatif sayının bölümü pozitiftir.
Adım 1: İşareti belirleyelim.
(-) / (-) = (+)
Adım 2: Kök içindeki sayıları bölelim.
√80 / √20 = √(80 / 20) = √4
Adım 3: Sonucu bulalım.
√4 = 2
Sonuç: (-√80) ÷ (-√20) = 2
d. √124 ÷ √31
Adım 1: Kök içindeki sayıları bölelim.
√124 / √31 = √(124 / 31)
124’ün 31’e bölümü 4’tür (31 * 4 = 124).
Yani √(124 / 31) = √4
Adım 2: Sonucu bulalım.
√4 = 2
Sonuç: √124 ÷ √31 = 2
e. 8√121 ÷ √44
Adım 1: Karekökleri sadeleştirelim.
√121 = 11
√44 = √(4 * 11) = √4 * √11 = 2√11
Adım 2: Sadeleştirilmiş ifadeleri kullanarak bölme işlemini yapalım.
(8 * 11) / (2√11) = 88 / (2√11)
Adım 3: Sadeleştirelim.
88 / 2 = 44. Yani ifade 44 / √11 olur.
Adım 4: Paydayı rasyonel yapmak için √11 ile genişletelim.
(44 / √11) * (√11 / √11) = (44√11) / 11
Adım 5: Sadeleştirelim.
44 / 11 = 4.
Yani sonuç 4√11.
Sonuç: 8√121 ÷ √44 = 4√11
9. Aşağıdaki işlemleri yapınız.
a. (4/5)√10 . (3/5)√2
Katsayıları kendi aralarında, kök içlerini kendi aralarında çarpacağız.
Adım 1: Katsayıları çarpalım.
(4/5) * (3/5) = (4*3) / (5*5) = 12/25
Adım 2: Karekök içindeki sayıları çarpalım.
√10 * √2 = √20
Adım 3: İfadeyi birleştirelim.
(12/25) * √20
Adım 4: √20’yi sadeleştirelim.
√20 = √(4*5) = 2√5
Adım 5: Son ifadeyi yazalım.
(12/25) * (2√5) = (12 * 2√5) / 25 = 24√5 / 25
Sonuç: (4/5)√10 . (3/5)√2 = 24√5 / 25
b. (6√5 / 3√7) . (-2√5 / √35)
Bu soruda önce çarpma işlemini yapacağız. Katsayıları kendi aralarında, kökleri kendi aralarında çarpıp sadeleştireceğiz.
Adım 1: Katsayıları çarpalım.
(6/3) * (-2/1) = 2 * (-2) = -4
Adım 2: Karekökleri çarpalım.
(√5 / √7) * (√5 / √35) = (√5 * √5) / (√7 * √35) = 5 / √(7 * 35)
7 * 35 = 7 * (7 * 5) = 49 * 5.
Yani √(7 * 35) = √(49 * 5) = √49 * √5 = 7√5.
Adım 3: Elde edilenleri birleştirelim.
-4 * (5 / 7√5) = -20 / (7√5)
Adım 4: Paydayı rasyonel yapmak için √5 ile genişletelim.
(-20 / 7√5) * (√5 / √5) = (-20√5) / (7 * 5) = (-20√5) / 35
Adım 5: Sadeleştirelim.
-20 ve 35, 5’e bölünebilir.
-20 / 5 = -4
35 / 5 = 7
Yani sonuç -4√5 / 7.
Sonuç: (6√5 / 3√7) . (-2√5 / √35) = -4√5 / 7
c. ((3√2)/8 . (3√8)/4) . (1/√150)
Önce parantez içindeki çarpma işlemini yapacağız.
Adım 1: Parantez içindeki katsayıları çarpalım.
(3/8) * (3/4) = 9/32
Adım 2: Parantez içindeki kökleri çarpalım.
√2 * √8 = √16 = 4
Adım 3: Parantez içindeki işlemi tamamlayalım.
(9/32) * 4 = 36/32. Bunu sadeleştirebiliriz. 36 ve 32, 4’e bölünür.
36/4 = 9
32/4 = 8
Yani parantez içi sonuç 9/8 olur.
Adım 4: Şimdi bu sonucu 1/√150 ile çarpalım.
(9/8) * (1/√150) = 9 / (8√150)
Adım 5: √150’yi sadeleştirelim.
√150 = √(25 * 6) = √25 * √6 = 5√6
Adım 6: Yerine koyalım.
9 / (8 * 5√6) = 9 / (40√6)
Adım 7: Paydayı rasyonel yapmak için √6 ile genişletelim.
(9 / 40√6) * (√6 / √6) = (9√6) / (40 * 6) = (9√6) / 240
Adım 8: Sadeleştirelim.
9 ve 240, 3’e bölünebilir.
9/3 = 3
240/3 = 80
Yani sonuç 3√6 / 80.
Sonuç: ((3√2)/8 . (3√8)/4) . (1/√150) = 3√6 / 80
ç. (2√75 . √125) / 6√5
Önce pay kısmındaki çarpma işlemini yapalım.
Adım 1: Pay kısmındaki kökleri sadeleştirelim.
√75 = √(25 * 3) = 5√3
√125 = √(25 * 5) = 5√5
Adım 2: Pay kısmındaki çarpma işlemini yapalım.
2 * (5√3) * (5√5) = (2 * 5 * 5) * (√3 * √5) = 50√15
Adım 3: Şimdi pay ve paydayı yazıp sadeleştirelim.
50√15 / 6√5
Adım 4: Katsayıları ve kökleri ayrı ayrı sadeleştirelim.
50/6 sadeleşir, ikisi de 2’ye bölünür: 25/3.
√15 / √5 = √(15/5) = √3.
Adım 5: Sonuçları birleştirelim.
(25/3) * √3 = 25√3 / 3
Sonuç: (2√75 . √125) / 6√5 = 25√3 / 3
d. (5√2 . √18 . √32) / 4√2
Önce pay kısmındaki çarpma işlemini yapalım.
Adım 1: Pay kısmındaki kökleri sadeleştirelim.
√18 = √(9 * 2) = 3√2
√32 = √(16 * 2) = 4√2
Adım 2: Pay kısmındaki çarpma işlemini yapalım.
5√2 * (3√2) * (4√2) = (5 * 3 * 4) * (√2 * √2 * √2)
= 60 * (2 * √2) = 120√2
Adım 3: Şimdi pay ve paydayı yazıp sadeleştirelim.
120√2 / 4√2
Adım 4: Sadeleştirelim.
√2’ler birbirini götürür.
120 / 4 = 30.
Sonuç: (5√2 . √18 . √32) / 4√2 = 30
e. (5√3 / √200) ÷ (2√48 / 3√98)
Bölme işlemini çarpma işlemine çevirip tersini alacağız.
Adım 1: İfadeyi çarpma olarak yazalım.
(5√3 / √200) * (3√98 / 2√48)
Adım 2: Kökleri sadeleştirelim.
√200 = √(100 * 2) = 10√2
√98 = √(49 * 2) = 7√2
√48 = √(16 * 3) = 4√3
Adım 3: Sadeleştirilmiş ifadeleri yerine koyalım.
(5√3 / 10√2) * (3 * 7√2 / 2 * 4√3)
= (5√3 / 10√2) * (21√2 / 8√3)
Adım 4: Sadeleştirmeleri yapalım.
√3’ler sadeleşir.
√2’ler sadeleşir.
5/10 sadeleşir, 1/2 olur.
21/8 sadeleşmez.
İfade şu hale gelir:
(1/2) * (21/8)
Adım 5: Çarpma işlemini yapalım.
1 * 21 = 21
2 * 8 = 16
Yani sonuç 21/16.
Sonuç: (5√3 / √200) ÷ (2√48 / 3√98) = 21/16
f. (4√6 / √18) ÷ (√21 / √28)
Bölme işlemini çarpma işlemine çevirelim.
Adım 1: İfadeyi çarpma olarak yazalım.
(4√6 / √18) * (√28 / √21)
Adım 2: Kökleri sadeleştirelim.
√18 = 3√2
√28 = 2√7
√21 = √3 * √7
Adım 3: Sadeleştirilmiş ifadeleri yerine koyalım.
(4√6 / 3√2) * (2√7 / √3√7)
Adım 4: Sadeleştirmeleri yapalım.
√7’ler sadeleşir.
(4√6 / 3√2) * (2 / √3)
Adım 5: Kökleri de birleştirelim.
√6 = √2 * √3
Yani ifade:
(4 * √2 * √3) / (3√2) * (2 / √3)
Adım 6: Sadeleştirmeleri yapalım.
√2’ler sadeleşir.
√3’ler sadeleşir.
Geriye kalanlar:
(4/3) * (2/1) = 8/3
Sonuç: (4√6 / √18) ÷ (√21 / √28) = 8/3
g. (√20 . √5 / √96) ÷ (√2 / 8√6)
Önce ilk kesri sadeleştirelim.
Adım 1: İlk kesrin payını çarpalım.
√20 * √5 = √100 = 10
Adım 2: İlk kesri yazalım.
10 / √96
Adım 3: √96’yı sadeleştirelim.
√96 = √(16 * 6) = 4√6
Adım 4: İlk kesir sadeleşmiş haliyle:
10 / (4√6) = 5 / (2√6)
Adım 5: Şimdi bölme işlemini çarpma işlemine çevirelim.
(5 / 2√6) * (8√6 / √2)
Adım 6: Sadeleştirmeleri yapalım.
√6’lar sadeleşir.
8/2 sadeleşir, 4 olur.
İfade şu hale gelir:
5 * (4 / √2) = 20 / √2
Adım 7: Paydayı rasyonel yapmak için √2 ile genişletelim.
(20 / √2) * (√2 / √2) = 20√2 / 2
Adım 8: Sadeleştirelim.
20/2 = 10.
Yani sonuç 10√2.
Sonuç: (√20 . √5 / √96) ÷ (√2 / 8√6) = 10√2
ğ. (15√3 . 3√12) / 3√2 ÷ (6√48 / √128)
Bu biraz uzun bir işlem, adım adım gidelim.
Adım 1: İlk kesrin payını sadeleştirelim.
√12 = √(4 * 3) = 2√3
Adım 2: İlk kesrin payındaki çarpma işlemini yapalım.
15√3 * 3 * (2√3) = (15 * 3 * 2) * (√3 * √3) = 90 * 3 = 270
Adım 3: İlk kesrin tamamını yazalım.
270 / 3√2
Adım 4: İlk kesri sadeleştirelim.
270 / 3 = 90.
Yani 90 / √2.
Adım 5: Şimdi ikinci kesri sadeleştirelim.
√48 = √(16 * 3) = 4√3
√128 = √(64 * 2) = 8√2
Adım 6: İkinci kesri yazalım.
(6 * 4√3) / (8√2) = 24√3 / 8√2
Adım 7: İkinci kesri sadeleştirelim.
24/8 = 3.
Yani 3√3 / √2.
Adım 8: Şimdi ilk kesri ikinci kesre böleceğiz (yani ikinci kesrin tersiyle çarpacağız).
(90 / √2) ÷ (3√3 / √2) = (90 / √2) * (√2 / 3√3)
Adım 9: Sadeleştirmeleri yapalım.
√2’ler sadeleşir.
90 / (3√3)
Adım 10: Sadeleştirelim.
90 / 3 = 30.
Yani 30 / √3.
Adım 11: Paydayı rasyonel yapmak için √3 ile genişletelim.
(30 / √3) * (√3 / √3) = 30√3 / 3
Adım 12: Sadeleştirelim.
30/3 = 10.
Yani sonuç 10√3.
Sonuç: (15√3 . 3√12) / 3√2 ÷ (6√48 / √128) = 10√3
h. (7√2 . 3√2) / √180 ÷ (√288 / 8√5)
Önce ilk kesri sadeleştirelim.
Adım 1: İlk kesrin payını çarpalım.
7√2 * 3√2 = (7 * 3) * (√2 * √2) = 21 * 2 = 42
Adım 2: İlk kesri yazalım.
42 / √180
Adım 3: √180’i sadeleştirelim.
√180 = √(36 * 5) = 6√5
Adım 4: İlk kesir sadeleşmiş haliyle:
42 / (6√5) = 7 / √5
Adım 5: Şimdi ikinci kesri sadeleştirelim.
√288 = √(144 * 2) = 12√2
Adım 6: İkinci kesri yazalım.
12√2 / 8√5
Adım 7: İkinci kesri sadeleştirelim.
12 ve 8, 4’e bölünür. 12/4 = 3, 8/4 = 2.
Yani 3√2 / 2√5.
Adım 8: Şimdi ilk kesri ikinci kesre böleceğiz.
(7 / √5) ÷ (3√2 / 2√5) = (7 / √5) * (2√5 / 3√2)
Adım 9: Sadeleştirmeleri yapalım.
√5’ler sadeleşir.
İfade şu hale gelir:
7 * (2 / 3√2) = 14 / 3√2
Adım 10: Paydayı rasyonel yapmak için √2 ile genişletelim.
(14 / 3√2) * (√2 / √2) = 14√2 / (3 * 2) = 14√2 / 6
Adım 11: Sadeleştirelim.
14 ve 6, 2’ye bölünür.
14/2 = 7
6/2 = 3
Yani sonuç 7√2 / 3.
Sonuç: (7√2 . 3√2) / √180 ÷ (√288 / 8√5) = 7√2 / 3
i. (√150 / √18 . √2) ÷ (√24 / √50)
Önce ilk kesri sadeleştirelim.
Adım 1: İlk kesrin payını ve paydasını sadeleştirelim.
√150 = 5√6
√18 = 3√2
Adım 2: İlk kesri yeniden yazalım.
(5√6) / (3√2 * √2) = (5√6) / (3 * 2) = 5√6 / 6
Adım 3: Şimdi ikinci kesri sadeleştirelim.
√24 = 2√6
√50 = 5√2
Adım 4: İkinci kesri yazalım.
2√6 / 5√2
Adım 5: Şimdi ilk kesri ikinci kesre böleceğiz.
(5√6 / 6) ÷ (2√6 / 5√2) = (5√6 / 6) * (5√2 / 2√6)
Adım 6: Sadeleştirmeleri yapalım.
√6’lar sadeleşir.
İfade şu hale gelir:
(5 / 6) * (5√2 / 2)
Adım 7: Çarpma işlemini yapalım.
5 * 5√2 = 25√2
6 * 2 = 12
Yani sonuç 25√2 / 12.
Sonuç: (√150 / √18 . √2) ÷ (√24 / √50) = 25√2 / 12
Umarım bu çözümler anlaşılır olmuştur. Kareköklü sayılarla bol bol pratik yaparak bu konuyu daha da kolaylaştırabiliriz! Bir sonraki dersimizde görüşmek üzere!