Merhaba sevgili öğrencim. Bugün seninle 8. Sınıf Matematik ders kitabındaki “Çarpanlar ve Katlar” ünitesine ait, sayfa 20’de yer alan Uygulama Basamakları bölümündeki soruları birlikte çözeceğiz. Bu sorular, sayıların EBOB (En Büyük Ortak Bölen) ve EKOK (En Küçük Ortak Kat) kavramlarını pekiştirmemiz ve aralarında asal sayıları keşfetmemiz için harika birer alıştırmadır. Hazırsan adım adım başlayalım.
Soru 1: 20 ile 30 ve 20 ile 27 sayılarının EBOB’unu bu sayıların bölenlerinden yararlanarak bulunuz.
Bu soruda bizden sayıları asal çarpanlarına ayırmamız değil, tüm pozitif bölenlerini (çarpanlarını) yazıp karşılaştırmamız isteniyor. Hadi yapalım.
Adım 1: 20 ve 30 sayılarının EBOB’unu bulalım.
Önce her iki sayının da bölenlerini tek tek yazalım:
- 20’nin Bölenleri: 1, 2, 4, 5, 10, 20
- 30’un Bölenleri: 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30
Şimdi bu listelerdeki ortak olan sayıları belirleyelim:
Ortak Bölenler: 1, 2, 5, 10
Bu ortak bölenlerin en büyüğü (EBOB) hangisidir?
Sonuç: EBOB(20, 30) = 10
Adım 2: 20 ve 27 sayılarının EBOB’unu bulalım.
Yine bölenleri listeleyelim:
- 20’nin Bölenleri: 1, 2, 4, 5, 10, 20
- 27’nin Bölenleri: 1, 3, 9, 27
Şimdi ortak olanlara bakalım. Dikkatli bakarsan sadece tek bir ortak sayı göreceksin.
Ortak Bölenler: 1
Sonuç: EBOB(20, 27) = 1
İpucu: 1’den başka ortak böleni olmayan sayılara “aralarında asal sayılar” denir. Yani 20 ve 27 aralarında asaldır.
Soru 2: 20 ile 30 ve 20 ile 27’nin EKOK’unu bulunuz.
Burada sayıların en küçük ortak katını bulacağız. Bunun için bölen listesi (algoritması) yöntemini kullanabiliriz.
Adım 1: EKOK(20, 30) hesaplayalım.
Sayıları yan yana yazıp asal sayılara bölelim:
20 30 | 2
10 15 | 2
5 15 | 3
5 5 | 5
1 1
Çizginin sağındaki tüm sayıları çarparak EKOK’u buluruz:
EKOK(20, 30) = 2 x 2 x 3 x 5
EKOK(20, 30) = 4 x 3 x 5
EKOK(20, 30) = 12 x 5
Sonuç: EKOK(20, 30) = 60
Adım 2: EKOK(20, 27) hesaplayalım.
20 27 | 2
10 27 | 2 (27 bölünmediği için aynen iner)
5 27 | 3
5 9 | 3
5 3 | 3
5 1 | 5
1
Çizginin sağındaki sayıları çarpalım:
EKOK(20, 27) = 2 x 2 x 3 x 3 x 3 x 5
Bu işlemi daha kolay yapmak için üslü olarak gruplayalım: (2^2) x (3^3) x 5
EKOK(20, 27) = 4 x 27 x 5
EKOK(20, 27) = 20 x 27
Sonuç: EKOK(20, 27) = 540
Soru 3: 20 ile 30 ve 20 ile 27’nin çarpımını bulunuz.
Bu adımda sadece sayıları birbiriyle çarpacağız.
Adım 1: 20 ile 30’un çarpımı:
20 x 30 = 600
Adım 2: 20 ile 27’nin çarpımı:
20 x 27 = 540
Soru 4: Bulduğunuz çarpımlardan hangisinin, hangi sayıların EKOK’una eşit olduğunu söyleyiniz.
Şimdi yukarıda bulduğumuz sonuçları karşılaştıralım.
- 20 ile 30 için: EKOK = 60, Çarpım = 600 (Eşit değil)
- 20 ile 27 için: EKOK = 540, Çarpım = 540 (Eşit!)
Cevap: 20 ile 27 sayılarının çarpımı (540), yine bu sayıların EKOK’una (540) eşittir.
Soru 5: Çarpımları EKOK’una eşit olan sayıların EBOB’unun kaç olduğunu söyleyiniz.
Burada çok önemli bir kuralı keşfetmemiz isteniyor. 4. soruda 20 ve 27 sayılarının çarpımının EKOK’larına eşit olduğunu gördük. Peki, 1. soruda bu iki sayının EBOB’unu kaç bulmuştuk?
Adım 1: 1. sorudaki çözümümüze dönelim.
20 ve 27 sayılarının ortak bölenlerine baktığımızda en büyüğünün 1 olduğunu bulmuştuk.
Sonuç ve Açıklama: Çarpımları EKOK’una eşit olan sayıların (yani 20 ve 27’nin) EBOB’u 1‘dir.
Öğretmenden Not: Sevgili öğrencim, burada matematiğin altın kurallarından birini öğrendin. Eğer iki sayının EBOB’u 1 ise (yani bu sayılar aralarında asal ise), bu sayıların EKOK’u, sayıların birbiriyle çarpımına eşittir. Sayfadaki Örnek 8 de tam olarak bu “aralarında asal” olma durumunu anlatmaktadır.