8. Sınıf Matematik Ders Kitabı Cevapları Koza Yayınları Sayfa 42

Merhaba sevgili öğrencilerim, 8. sınıf matematik dersimiz için hazırlanan bu harika alıştırmalara hep birlikte göz atalım. Üslü ifadeler konusunda bilgilerimizi tazeleyeceğimiz bu soruları adım adım çözeceğiz. Hazırsanız başlayalım!

1. Aşağıdaki sayıları 10’un tam sayı kuvvetlerinden yararlanarak iki biçimde gösteriniz.

Bu soruda bizden istenen, verilen sayıları hem bilimsel gösterim hem de 10’un tam sayı kuvveti şeklinde ifade etmektir. Bilimsel gösterimde sayıyı 1 ile 10 arasında bir sayı ile 10’un bir kuvveti şeklinde yazarız.

a) 321 000 000

Adım 1: Sayıyı 1 ile 10 arasında bir sayı elde edene kadar virgülü sola kaydırırız.
321 000 000,0
32 100 000,0 (1 basamak sola kaydırdık)
3 210 000,0 (2 basamak sola kaydırdık)
321 000,0 (3 basamak sola kaydırdık)
32 100,0 (4 basamak sola kaydırdık)
3 210,0 (5 basamak sola kaydırdık)
321,0 (6 basamak sola kaydırdık)
32,1000000 (7 basamak sola kaydırdık)
3,21000000 (8 basamak sola kaydırdık)

Adım 2: Virgülü kaç basamak sola kaydırdıysak, 10’un kuvveti o kadar olur.
Bu durumda sayımız 3,21 olur ve 10’un kuvveti 8 olur.

Sonuç: $3,21 times 10^8$

Adım 3: Şimdi de sayıyı 10’un tam sayı kuvveti şeklinde yazalım. Bu, sayının kaç tane sıfır içerdiğiyle ilgilidir. 321 000 000 sayısında 8 tane sıfır vardır.

Sonuç: $321 times 10^6$ (Bu gösterimde sayının katsayısı 1 ile 10 arasında olmak zorunda değildir.) veya $3210 times 10^5$ şeklinde de yazılabilir. Ancak en yaygın kullanım, katsayının 1 ile 10 arasında olduğu bilimsel gösterimdir.

b) 1 903 000 000

Adım 1: Sayıyı 1 ile 10 arasında bir sayı elde edene kadar virgülü sola kaydırırız.
1 903 000 000,0
190 300 000,0 (1 basamak sola kaydırdık)
19 030 000,0 (2 basamak sola kaydırdık)
1 903 000,0 (3 basamak sola kaydırdık)
190 300,0 (4 basamak sola kaydırdık)
19 030,0 (5 basamak sola kaydırdık)
1 903,0 (6 basamak sola kaydırdık)
190,3000000 (7 basamak sola kaydırdık)
19,03000000 (8 basamak sola kaydırdık)
1,903000000 (9 basamak sola kaydırdık)

Adım 2: Virgülü kaç basamak sola kaydırdıysak, 10’un kuvveti o kadar olur.
Bu durumda sayımız 1,903 olur ve 10’un kuvveti 9 olur.

Sonuç: $1,903 times 10^9$

Adım 3: Sayıyı 10’un tam sayı kuvveti şeklinde yazalım. 1 903 000 000 sayısında 9 tane sıfır vardır.

Sonuç: $1903 times 10^6$

c) 0,000009

Adım 1: Bu sayıda virgülü sağa kaydırarak 1 ile 10 arasında bir sayı elde etmeye çalışırız.
0,000009
00,00009 (1 basamak sağa kaydırdık)
000,0009 (2 basamak sağa kaydırdık)
0000,009 (3 basamak sağa kaydırdık)
00000,09 (4 basamak sağa kaydırdık)
000000,9 (5 basamak sağa kaydırdık)
0000009, (6 basamak sağa kaydırdık)

Adım 2: Virgülü kaç basamak sağa kaydırdıysak, 10’un kuvveti o kadar negatif olur.
Bu durumda sayımız 9 olur ve 10’un kuvveti -6 olur.

Sonuç: $9 times 10^{-6}$

Adım 3: Sayıyı 10’un tam sayı kuvveti şeklinde de ifade edebiliriz. Bu sayı zaten 1’den küçük olduğu için 10’un negatif kuvveti şeklinde ifade etmek daha uygundur.

d) 0,00071

Adım 1: Virgülü sağa kaydırarak 1 ile 10 arasında bir sayı elde etmeye çalışırız.
0,00071
00,0071 (1 basamak sağa kaydırdık)
000,071 (2 basamak sağa kaydırdık)
0000,71 (3 basamak sağa kaydırdık)
00007,1 (4 basamak sağa kaydırdık)

Adım 2: Virgülü kaç basamak sağa kaydırdıysak, 10’un kuvveti o kadar negatif olur.
Bu durumda sayımız 7,1 olur ve 10’un kuvveti -4 olur.

Sonuç: $7,1 times 10^{-4}$

Adım 3: Bu sayıyı da 10’un tam sayı kuvveti şeklinde ifade edebiliriz.

Sonuç: $71 times 10^{-5}$

2. Bir yolcu uçağı, bir yılda 427 800 km yol almıştır. Bu uçağın bir yılda aldığı yolu bilimsel gösterim biçiminde yazınız.

Bu soruda bizden istenen, verilen mesafeyi bilimsel gösterimle ifade etmektir.

Adım 1: Sayıyı 1 ile 10 arasında bir sayı elde edene kadar virgülü sola kaydırırız.
427 800,0
42 780,0 (1 basamak sola kaydırdık)
4 278,0 (2 basamak sola kaydırdık)
427,800 (3 basamak sola kaydırdık)
42,7800 (4 basamak sola kaydırdık)
4,27800 (5 basamak sola kaydırdık)

Adım 2: Virgülü kaç basamak sola kaydırdıysak, 10’un kuvveti o kadar olur.
Bu durumda sayımız 4,278 olur ve 10’un kuvveti 5 olur.

Sonuç: $4,278 times 10^5$ km

3. Aşağıdaki sayıların bilimsel gösterimini yazınız.

Bu soruda bizden verilen sayıları bilimsel gösterimle ifade etmemiz isteniyor.

a) 46 000

Adım 1: Sayıyı 1 ile 10 arasında bir sayı elde edene kadar virgülü sola kaydırırız.
46 000,0
4 600,0 (1 basamak sola kaydırdık)
460,0 (2 basamak sola kaydırdık)
46,000 (3 basamak sola kaydırdık)
4,6000 (4 basamak sola kaydırdık)

Adım 2: Virgülü kaç basamak sola kaydırdıysak, 10’un kuvveti o kadar olur.
Bu durumda sayımız 4,6 olur ve 10’un kuvveti 4 olur.

Sonuç: $4,6 times 10^4$

b) 4 003 000

Adım 1: Sayıyı 1 ile 10 arasında bir sayı elde edene kadar virgülü sola kaydırırız.
4 003 000,0
400 300,0 (1 basamak sola kaydırdık)
40 030,0 (2 basamak sola kaydırdık)
4 003,0 (3 basamak sola kaydırdık)
400,3000 (4 basamak sola kaydırdık)
40,03000 (5 basamak sola kaydırdık)
4,003000 (6 basamak sola kaydırdık)

Adım 2: Virgülü kaç basamak sola kaydırdıysak, 10’un kuvveti o kadar olur.
Bu durumda sayımız 4,003 olur ve 10’un kuvveti 6 olur.

Sonuç: $4,003 times 10^6$

c) 0,0001

Adım 1: Virgülü sağa kaydırarak 1 ile 10 arasında bir sayı elde etmeye çalışırız.
0,0001
00,001 (1 basamak sağa kaydırdık)
000,1 (2 basamak sağa kaydırdık)
0001, (3 basamak sağa kaydırdık)

Adım 2: Virgülü kaç basamak sağa kaydırdıysak, 10’un kuvveti o kadar negatif olur.
Bu durumda sayımız 1 olur ve 10’un kuvveti -4 olur.

Sonuç: $1 times 10^{-4}$

d) 0,0000099

Adım 1: Virgülü sağa kaydırarak 1 ile 10 arasında bir sayı elde etmeye çalışırız.
0,0000099
00,000099 (1 basamak sağa kaydırdık)
000,00099 (2 basamak sağa kaydırdık)
0000,0099 (3 basamak sağa kaydırdık)
00000,099 (4 basamak sağa kaydırdık)
000000,99 (5 basamak sağa kaydırdık)
0000009,9 (6 basamak sağa kaydırdık)

Adım 2: Virgülü kaç basamak sağa kaydırdıysak, 10’un kuvveti o kadar negatif olur.
Bu durumda sayımız 9,9 olur ve 10’un kuvveti -6 olur.

Sonuç: $9,9 times 10^{-6}$

e) 0,000000000504

Adım 1: Virgülü sağa kaydırarak 1 ile 10 arasında bir sayı elde etmeye çalışırız.
0,000000000504
00,00000000504 (1 basamak sağa kaydırdık)
…
Virgülü 504 sayısının arkasına getirmek için 10 basamak sağa kaydırmamız gerekir.
000000000504, (10 basamak sağa kaydırdık)

Adım 2: Virgülü kaç basamak sağa kaydırdıysak, 10’un kuvveti o kadar negatif olur.
Bu durumda sayımız 5,04 olur ve 10’un kuvveti -10 olur.

Sonuç: $5,04 times 10^{-10}$

4. $A = frac{3^6 times 81}{3^5}$ ve $B = frac{9 times 3^4}{3 times 27}$ sayıları veriliyor. A sayısının, B sayısının kaç katı olduğunu bulunuz.

Bu soruda önce A ve B sayılarını hesaplayıp sadeleştireceğiz, sonra da A’nın B’nin kaç katı olduğunu bulacağız.

Adım 1: A sayısını hesaplayalım.
$A = frac{3^6 times 81}{3^5}$
81’i 3’ün kuvveti şeklinde yazalım: $81 = 3^4$
$A = frac{3^6 times 3^4}{3^5}$
Üslü sayılarda çarpma işleminde tabanlar aynıysa üsler toplanır: $3^6 times 3^4 = 3^{6+4} = 3^{10}$
$A = frac{3^{10}}{3^5}$
Üslü sayılarda bölme işleminde tabanlar aynıysa üsler çıkarılır: $3^{10} / 3^5 = 3^{10-5} = 3^5$
$A = 3^5$
$A = 3 times 3 times 3 times 3 times 3 = 243$

Adım 2: B sayısını hesaplayalım.
$B = frac{9 times 3^4}{3 times 27}$
9’u ve 27’yi 3’ün kuvveti şeklinde yazalım: $9 = 3^2$ ve $27 = 3^3$
$B = frac{3^2 times 3^4}{3^1 times 3^3}$
Pay kısmını hesaplayalım: $3^2 times 3^4 = 3^{2+4} = 3^6$
Payda kısmını hesaplayalım: $3^1 times 3^3 = 3^{1+3} = 3^4$
$B = frac{3^6}{3^4}$
Üslü sayılarda bölme işleminde tabanlar aynıysa üsler çıkarılır: $3^6 / 3^4 = 3^{6-4} = 3^2$
$B = 3^2$
$B = 3 times 3 = 9$

Adım 3: A sayısının B sayısının kaç katı olduğunu bulalım.
Bu, A’yı B’ye bölerek bulunur: $A / B$
$A / B = 243 / 9$

243
+ —
9

Adım 1: 24’ün içinde 9 kaç kere var? 2 kere.
$2 times 9 = 18$
24’ten 18’i çıkaralım: $24 – 18 = 6$

Adım 2: Yanına 3’ü indirelim. Sayımız 63 oldu.
63’ün içinde 9 kaç kere var? 7 kere.
$7 times 9 = 63$
63’ten 63’ü çıkaralım: $63 – 63 = 0$

Sonuç: $243 / 9 = 27$
Yani A sayısı, B sayısının 27 katıdır.

Sonuç: 27

5. $x = 5^2$, $y = 5^{-4}$ ve $n = 5^5$ sayıları veriliyor. Buna göre aşağıda verilen işlemlerin sonuçlarını üslü ifade biçiminde bulunuz.

Bu soruda verilen üslü ifadeleri kullanarak işlemleri yapacağız. Üslü sayılarda çarpma ve bölme kurallarını hatırlayalım: Tabanlar aynıysa çarparken üsler toplanır, bölerken üsler çıkarılır.

a) $frac{x^2 cdot y}{n^2}$

Adım 1: Verilen değerleri yerine yazalım.
$x = 5^2$, $y = 5^{-4}$, $n = 5^5$
$x^2 = (5^2)^2$. Üslü sayının üssü alınırken üsler çarpılır: $5^{2 times 2} = 5^4$
$n^2 = (5^5)^2$. Üslü sayının üssü alınırken üsler çarpılır: $5^{5 times 2} = 5^{10}$

Adım 2: İfadeyi yeniden yazalım.
$frac{x^2 cdot y}{n^2} = frac{5^4 cdot 5^{-4}}{5^{10}}$

Adım 3: Pay kısmındaki çarpma işlemini yapalım. Tabanlar aynı olduğu için üsleri toplarız.
$5^4 cdot 5^{-4} = 5^{4 + (-4)} = 5^0$
Herhangi bir sayının 0’ıncı kuvveti 1’dir. Yani $5^0 = 1$.

Adım 4: Bölme işlemini yapalım.
$frac{5^0}{5^{10}} = frac{1}{5^{10}}$
Bu ifadeyi 5’in kuvveti olarak yazmak istersek, negatif üs kuralını kullanırız: $5^{-10}$

Sonuç: $5^{-10}$

b) $frac{x cdot y^3}{n}$

Adım 1: Verilen değerleri yerine yazalım.
$x = 5^2$, $y = 5^{-4}$, $n = 5^5$
$y^3 = (5^{-4})^3$. Üslü sayının üssü alınırken üsler çarpılır: $5^{-4 times 3} = 5^{-12}$

Adım 2: İfadeyi yeniden yazalım.
$frac{x cdot y^3}{n} = frac{5^2 cdot 5^{-12}}{5^5}$

Adım 3: Pay kısmındaki çarpma işlemini yapalım. Tabanlar aynı olduğu için üsleri toplarız.
$5^2 cdot 5^{-12} = 5^{2 + (-12)} = 5^{-10}$

Adım 4: Bölme işlemini yapalım.
$frac{5^{-10}}{5^5}$
Üslü sayılarda bölme işleminde tabanlar aynıysa üsler çıkarılır: $5^{-10 – 5} = 5^{-15}$

Sonuç: $5^{-15}$

c) $frac{x cdot y}{y^2 cdot n}$

Adım 1: Verilen değerleri yerine yazalım.
$x = 5^2$, $y = 5^{-4}$, $n = 5^5$
$y^2 = (5^{-4})^2$. Üslü sayının üssü alınırken üsler çarpılır: $5^{-4 times 2} = 5^{-8}$

Adım 2: İfadeyi yeniden yazalım.
$frac{x cdot y}{y^2 cdot n} = frac{5^2 cdot 5^{-4}}{5^{-8} cdot 5^5}$

Adım 3: Pay kısmındaki çarpma işlemini yapalım.
$5^2 cdot 5^{-4} = 5^{2 + (-4)} = 5^{-2}$

Adım 4: Payda kısmındaki çarpma işlemini yapalım.
$5^{-8} cdot 5^5 = 5^{-8 + 5} = 5^{-3}$

Adım 5: Bölme işlemini yapalım.
$frac{5^{-2}}{5^{-3}}$
Üslü sayılarda bölme işleminde tabanlar aynıysa üsler çıkarılır: $5^{-2 – (-3)} = 5^{-2 + 3} = 5^1$

Sonuç: $5^1$ veya sadece 5

6. Aşağıdaki işlemleri yapınız. Bulduğunuz sonuçları bilimsel gösterim biçiminde yazınız.

Bu soruda verilen toplama, çıkarma, çarpma ve bölme işlemlerini yapacağız ve sonuçları bilimsel gösterimle ifade edeceğiz.

a) $3,6 times 10^9 + 1,4 times 10^9$

Bu bir toplama işlemidir ve tabanlar ile üsler aynı olduğu için katsayıları toplayabiliriz.

Adım 1: Katsayıları toplayalım.
$3,6 + 1,4$

3,6
+ 1,4
—–
5,0

Adım 2: Sonucu 10’un aynı kuvveti ile yazalım.
$5,0 times 10^9$

Sonuç: $5 times 10^9$

b) $9,3 times 10^4 + 5,2 times 10^5$

Bu toplama işleminde 10’un kuvvetleri farklı. Bu yüzden toplama yapabilmek için kuvvetleri eşitlememiz gerekiyor. Bir sayıyı büyütürken (virgülü sola kaydırırken) kuvveti azaltırız, küçültürken (virgülü sağa kaydırırken) kuvveti artırırız. Küçük olan kuvvete (10^4) eşitleyelim.

Adım 1: $5,2 times 10^5$ sayısını $10^4$ kuvvetine getirelim.
$5,2 times 10^5 = 52 times 10^4$ (Virgülü bir basamak sağa kaydırdık, kuvveti 1 artırdık – bu hata, kuvveti 1 azaltmamız lazım)
Doğrusu: $5,2 times 10^5 = 0,52 times 10^6$ veya $52 times 10^4$ (Bu yanlış oldu)
Doğrusu: $5,2 times 10^5 = 52 times 10^4$ (Yanlış oldu, virgülü sağa kaydırınca kuvvet küçülür)
Doğrusu: $5,2 times 10^5 = 52 times 10^4$ olamaz.
$5,2 times 10^5 = 52 times 10^4$ (Yanlış oldu. Virgülü sağa kaydırınca kuvvet küçülür)
$5,2 times 10^5 = 0,52 times 10^6$ (Bu da doğru değil)

Doğrusunu yapalım:
$5,2 times 10^5$. Biz bunu $10^4$ şeklinde yazmak istiyoruz. Yani kuvveti 1 azaltacağız. Kuvveti 1 azaltırsak, sayıyı 10 ile çarpmamız gerekir.
$5,2 times 10^5 = (5,2 times 10) times 10^4 = 52 times 10^4$

Adım 2: Şimdi toplama işlemini yapalım.
$9,3 times 10^4 + 52 times 10^4$
Katsayıları toplayalım:
$9,3 + 52$

9,3
+ 52,0
—–
61,3

Adım 3: Sonucu 10’un aynı kuvveti ile yazalım.
$61,3 times 10^4$

Adım 4: Sonucu bilimsel gösterimle ifade edelim. 61,3 sayısı 1 ile 10 arasında değil. Virgülü bir basamak sola kaydırıp kuvveti 1 artırmamız gerekiyor.
$61,3 times 10^4 = 6,13 times 10^5$

Sonuç: $6,13 times 10^5$

c) $24 times 10^{-7} – 1,2 times 10^{-8}$

Bu çıkarma işleminde de 10’un kuvvetleri farklı. Kuvvetleri eşitlememiz gerekiyor. Küçük olan kuvvete ($10^{-8}$) eşitleyelim.

Adım 1: $24 times 10^{-7}$ sayısını $10^{-8}$ kuvvetine getirelim.
Kuvveti 1 azaltmak için sayıyı 10 ile çarpmamız gerekir.
$24 times 10^{-7} = (24 times 10) times 10^{-8} = 240 times 10^{-8}$

Adım 2: Şimdi çıkarma işlemini yapalım.
$240 times 10^{-8} – 1,2 times 10^{-8}$
Katsayıları çıkaralım:
$240 – 1,2$

240,0
– 1,2
——-
238,8

Adım 3: Sonucu 10’un aynı kuvveti ile yazalım.
$238,8 times 10^{-8}$

Adım 4: Sonucu bilimsel gösterimle ifade edelim. 238,8 sayısı 1 ile 10 arasında değil. Virgülü iki basamak sola kaydırıp kuvveti 2 artırmamız gerekiyor.
$238,8 times 10^{-8} = 2,388 times 10^{-8+2} = 2,388 times 10^{-6}$

Sonuç: $2,388 times 10^{-6}$

ç) $frac{25,6 times 10^{-5}}{0,16 times 10^9}$

Bu bir bölme işlemidir. Önce katsayıları, sonra 10’un kuvvetlerini bölelim.

Adım 1: Katsayıları bölelim: $25,6 / 0,16$
Bu bölme işlemini kolaylaştırmak için virgüllerden kurtulalım. Pay ve paydayı 100 ile çarparak virgülleri sağa kaydırabiliriz.
$frac{25,6 times 100}{0,16 times 100} = frac{2560}{16}$

160
+ —-
2560
– 16
—–
96
– 96
—–
00
– 0
—–
0

$2560 / 16 = 160$

Adım 2: 10’un kuvvetlerini bölelim: $10^{-5} / 10^9$
Üslü sayılarda bölme işleminde tabanlar aynıysa üsler çıkarılır: $10^{-5 – 9} = 10^{-14}$

Adım 3: Bölme işleminin sonucunu birleştirelim.
$160 times 10^{-14}$

Adım 4: Sonucu bilimsel gösterimle ifade edelim. 160 sayısı 1 ile 10 arasında değil. Virgülü iki basamak sola kaydırıp kuvveti 2 artırmamız gerekiyor.
$160 times 10^{-14} = 1,60 times 10^{-14+2} = 1,6 times 10^{-12}$

Sonuç: $1,6 times 10^{-12}$

d) $frac{4,9 times 10^{11}}{0,007 times 10^5} div frac{35 times 10^{-3}}{0,05 times 10^8}$

Bu işlem iki bölmeden oluşuyor. Önce her bir kesri ayrı ayrı hesaplayalım, sonra da bölme işlemini yapalım.

Adım 1: İlk kesri hesaplayalım: $frac{4,9 times 10^{11}}{0,007 times 10^5}$
Katsayıları bölelim: $4,9 / 0,007$
Virgüllerden kurtulmak için pay ve paydayı 1000 ile çarpalım.
$frac{4,9 times 1000}{0,007 times 1000} = frac{4900}{7}$
$4900 / 7 = 700$

10’un kuvvetlerini bölelim: $10^{11} / 10^5$
$10^{11-5} = 10^6$

İlk kesrin sonucu: $700 times 10^6$

Adım 2: İkinci kesri hesaplayalım: $frac{35 times 10^{-3}}{0,05 times 10^8}$
Katsayıları bölelim: $35 / 0,05$
Virgüllerden kurtulmak için pay ve paydayı 100 ile çarpalım.
$frac{35 times 100}{0,05 times 100} = frac{3500}{5}$
$3500 / 5 = 700$

10’un kuvvetlerini bölelim: $10^{-3} / 10^8$
$10^{-3 – 8} = 10^{-11}$

İkinci kesrin sonucu: $700 times 10^{-11}$

Adım 3: Şimdi iki sonucu birbirine bölelim.
$(700 times 10^6) div (700 times 10^{-11})$

Adım 4: Katsayıları bölelim: $700 / 700 = 1$
Adım 5: 10’un kuvvetlerini bölelim: $10^6 / 10^{-11}$
$10^{6 – (-11)} = 10^{6 + 11} = 10^{17}$

Adım 6: Sonucu birleştirelim.
$1 times 10^{17}$

Adım 7: Sonucu bilimsel gösterimle ifade edelim. Zaten bilimsel gösterim formatında.

Sonuç: $1 times 10^{17}$

Umarım bu çözümlerimiz anlaşılır olmuştur. Anlamadığınız yerleri lütfen çekinmeden sorun! Başarılar dilerim!