8. Sınıf Matematik Ders Kitabı Cevapları Koza Yayınları Sayfa 63
Merhaba sevgili öğrencilerim! Bugün elimize geçen bu harika matematik sorularını birlikte çözeceğiz. Kareköklü ifadelerle ilgili bolca alıştırma yapacağız. Hazırsanız başlayalım!
6. Bir bidonda 6√27 L kolonya vardı. Bidondaki kolonyanın bir kısmı her biri 2√3 L kolonya alan 6 bidona boşaltıldı. Büyük bidonda geriye kaç litre kolonya kaldığını hesaplayınız.
Bu soruda ilk olarak elimizdeki toplam kolonya miktarını bulmamız gerekiyor. Sonra bu kolonyadan ne kadarının kullanıldığını hesaplayıp başlangıçtan çıkaracağız.
Adım 1: Başlangıçtaki toplam kolonya miktarını hesaplayalım.
Elimizde 6√27 L kolonya var. √27’yi sadeleştirelim. 27, 9 x 3 olduğu için √27 = √(9 x 3) = √9 x √3 = 3√3 olur.
Yani başlangıçtaki kolonya miktarı:
6 * (3√3) = 18√3 L
Adım 2: Kullanılan kolonya miktarını hesaplayalım.
Her biri 2√3 L olan 6 bidona kolonya boşaltılmış.
Kullanılan kolonya miktarı = 6 bidon * 2√3 L/bidon = 12√3 L
Adım 3: Geriye kalan kolonya miktarını hesaplayalım.
Başlangıçtaki miktardan kullanılan miktarı çıkaracağız.
Geriye kalan kolonya = 18√3 L – 12√3 L = 6√3 L
Sonuç: Büyük bidonda geriye 6√3 L kolonya kalmıştır.
7. Aşağıdaki işlemleri yapınız.
a. 3√5 . √5
Bu işlemde katsayıları kendi aralarında, karekök içindeki sayıları kendi aralarında çarpacağız.
Adım 1: Katsayıları çarpalım.
3 * 1 = 3
Adım 2: Karekök içindeki sayıları çarpalım.
√5 * √5 = √25 = 5
Adım 3: Elde ettiğimiz sonuçları birleştirelim.
3 * 5 = 15
Sonuç: 3√5 . √5 = 15
b. 4√7 . 2√7
Yine katsayıları kendi aralarında, kök içlerini kendi aralarında çarpıyoruz.
Adım 1: Katsayıları çarpalım.
4 * 2 = 8
Adım 2: Karekök içindeki sayıları çarpalım.
√7 * √7 = √49 = 7
Adım 3: Sonuçları birleştirelim.
8 * 7 = 56
Sonuç: 4√7 . 2√7 = 56
c. 6√3 . 3√5
Bu sefer kök içleri farklı. Katsayıları çarpıp kök içlerini de çarpacağız.
Adım 1: Katsayıları çarpalım.
6 * 3 = 18
Adım 2: Karekök içindeki sayıları çarpalım.
√3 * √5 = √15
Adım 3: Sonuçları birleştirelim.
18√15
Sonuç: 6√3 . 3√5 = 18√15
d. √20 . √98
Kök içindeki sayıları çarpıp sonra sadeleştirebiliriz veya önce sadeleştirip sonra çarpabiliriz. Önce sadeleştirmeyi deneyelim.
Adım 1: √20’yi sadeleştirelim.
√20 = √(4 * 5) = √4 * √5 = 2√5
Adım 2: √98’i sadeleştirelim.
√98 = √(49 * 2) = √49 * √2 = 7√2
Adım 3: Sadeleştirilmiş ifadeleri çarpalım.
(2√5) * (7√2) = (2 * 7) * (√5 * √2) = 14√10
Sonuç: √20 . √98 = 14√10
e. (-3√108) . (-√24)
İki negatif sayının çarpımı pozitiftir. Katsayıları ve kök içlerini çarpacağız.
Adım 1: İşareti belirleyelim.
(-) * (-) = (+)
Adım 2: Katsayıları çarpalım.
3 * 1 = 3
Adım 3: Karekök içindeki sayıları çarpalım.
√108 * √24 = √ (108 * 24)
Şimdi 108 ve 24’ün çarpımını yapalım: 108 * 24 = 2592.
Yani √2592.
Adım 4: √2592’yi sadeleştirelim.
2592’yi asal çarpanlarına ayırarak veya büyük tam kareleri bularak sadeleştirebiliriz.
2592 = 1296 * 2. 1296, 36’nın karesidir (36 * 36 = 1296).
Yani √2592 = √ (1296 * 2) = √1296 * √2 = 36√2.
Adım 5: Katsayı ile sadeleştirilmiş kökü birleştirelim.
3 * (36√2) = 108√2
Sonuç: (-3√108) . (-√24) = 108√2
8. Aşağıdaki işlemleri yapınız.
a. √18 ÷ √2
Bölme işleminde kök içindeki sayıları birbirine böleriz.
Adım 1: Kök içindeki sayıları bölelim.
√18 / √2 = √(18 / 2) = √9
Adım 2: Sonucu bulalım.
√9 = 3
Sonuç: √18 ÷ √2 = 3
b. (-√50) ÷ √200
Bu soruda işaretlere dikkat edelim. Negatif sayının pozitife bölümü negatiftir.
Adım 1: İşareti belirleyelim.
(-) / (+) = (-)
Adım 2: Kök içindeki sayıları bölelim.
√50 / √200 = √(50 / 200) = √(1/4)
Adım 3: Karekökü alalım.
√(1/4) = √1 / √4 = 1/2
Adım 4: İşareti de ekleyerek sonucu yazalım.
-1/2
Sonuç: (-√50) ÷ √200 = -1/2
c. (-√80) ÷ (-√20)
İki negatif sayının bölümü pozitiftir.
Adım 1: İşareti belirleyelim.
(-) / (-) = (+)
Adım 2: Kök içindeki sayıları bölelim.
√80 / √20 = √(80 / 20) = √4
Adım 3: Sonucu bulalım.
√4 = 2
Sonuç: (-√80) ÷ (-√20) = 2
d. √124 ÷ √31
Adım 1: Kök içindeki sayıları bölelim.
√124 / √31 = √(124 / 31)
124’ün 31’e bölümü 4’tür (31 * 4 = 124).
Yani √(124 / 31) = √4
Adım 2: Sonucu bulalım.
√4 = 2
Sonuç: √124 ÷ √31 = 2
e. 8√121 ÷ √44
Adım 1: Karekökleri sadeleştirelim.
√121 = 11
√44 = √(4 * 11) = √4 * √11 = 2√11
Adım 2: Sadeleştirilmiş ifadeleri kullanarak bölme işlemini yapalım.
(8 * 11) / (2√11) = 88 / (2√11)
Adım 3: Sadeleştirelim.
88 / 2 = 44. Yani ifade 44 / √11 olur.
Adım 4: Paydayı rasyonel yapmak için √11 ile genişletelim.
(44 / √11) * (√11 / √11) = (44√11) / 11
Adım 5: Sadeleştirelim.
44 / 11 = 4.
Yani sonuç 4√11.
Sonuç: 8√121 ÷ √44 = 4√11
9. Aşağıdaki işlemleri yapınız.
a. (4/5)√10 . (3/5)√2
Katsayıları kendi aralarında, kök içlerini kendi aralarında çarpacağız.
Adım 1: Katsayıları çarpalım.
(4/5) * (3/5) = (4*3) / (5*5) = 12/25
Adım 2: Karekök içindeki sayıları çarpalım.
√10 * √2 = √20
Adım 3: İfadeyi birleştirelim.
(12/25) * √20
Adım 4: √20’yi sadeleştirelim.
√20 = √(4*5) = 2√5
Adım 5: Son ifadeyi yazalım.
(12/25) * (2√5) = (12 * 2√5) / 25 = 24√5 / 25
Sonuç: (4/5)√10 . (3/5)√2 = 24√5 / 25
b. (6√5 / 3√7) . (-2√5 / √35)
Bu soruda önce çarpma işlemini yapacağız. Katsayıları kendi aralarında, kökleri kendi aralarında çarpıp sadeleştireceğiz.
Adım 1: Katsayıları çarpalım.
(6/3) * (-2/1) = 2 * (-2) = -4
Adım 2: Karekökleri çarpalım.
(√5 / √7) * (√5 / √35) = (√5 * √5) / (√7 * √35) = 5 / √(7 * 35)
7 * 35 = 7 * (7 * 5) = 49 * 5.
Yani √(7 * 35) = √(49 * 5) = √49 * √5 = 7√5.
Adım 3: Elde edilenleri birleştirelim.
-4 * (5 / 7√5) = -20 / (7√5)
Adım 4: Paydayı rasyonel yapmak için √5 ile genişletelim.
(-20 / 7√5) * (√5 / √5) = (-20√5) / (7 * 5) = (-20√5) / 35
Adım 5: Sadeleştirelim.
-20 ve 35, 5’e bölünebilir.
-20 / 5 = -4
35 / 5 = 7
Yani sonuç -4√5 / 7.
Sonuç: (6√5 / 3√7) . (-2√5 / √35) = -4√5 / 7
c. ((3√2)/8 . (3√8)/4) . (1/√150)
Önce parantez içindeki çarpma işlemini yapacağız.
Adım 1: Parantez içindeki katsayıları çarpalım.
(3/8) * (3/4) = 9/32
Adım 2: Parantez içindeki kökleri çarpalım.
√2 * √8 = √16 = 4
Adım 3: Parantez içindeki işlemi tamamlayalım.
(9/32) * 4 = 36/32. Bunu sadeleştirebiliriz. 36 ve 32, 4’e bölünür.
36/4 = 9
32/4 = 8
Yani parantez içi sonuç 9/8 olur.
Adım 4: Şimdi bu sonucu 1/√150 ile çarpalım.
(9/8) * (1/√150) = 9 / (8√150)
Adım 5: √150’yi sadeleştirelim.
√150 = √(25 * 6) = √25 * √6 = 5√6
Adım 6: Yerine koyalım.
9 / (8 * 5√6) = 9 / (40√6)
Adım 7: Paydayı rasyonel yapmak için √6 ile genişletelim.
(9 / 40√6) * (√6 / √6) = (9√6) / (40 * 6) = (9√6) / 240
Adım 8: Sadeleştirelim.
9 ve 240, 3’e bölünebilir.
9/3 = 3
240/3 = 80
Yani sonuç 3√6 / 80.
Sonuç: ((3√2)/8 . (3√8)/4) . (1/√150) = 3√6 / 80
ç. (2√75 . √125) / 6√5
Önce pay kısmındaki çarpma işlemini yapalım.
Adım 1: Pay kısmındaki kökleri sadeleştirelim.
√75 = √(25 * 3) = 5√3
√125 = √(25 * 5) = 5√5
Adım 2: Pay kısmındaki çarpma işlemini yapalım.
2 * (5√3) * (5√5) = (2 * 5 * 5) * (√3 * √5) = 50√15
Adım 3: Şimdi pay ve paydayı yazıp sadeleştirelim.
50√15 / 6√5
Adım 4: Katsayıları ve kökleri ayrı ayrı sadeleştirelim.
50/6 sadeleşir, ikisi de 2’ye bölünür: 25/3.
√15 / √5 = √(15/5) = √3.
Adım 5: Sonuçları birleştirelim.
(25/3) * √3 = 25√3 / 3
Sonuç: (2√75 . √125) / 6√5 = 25√3 / 3
d. (5√2 . √18 . √32) / 4√2
Önce pay kısmındaki çarpma işlemini yapalım.
Adım 1: Pay kısmındaki kökleri sadeleştirelim.
√18 = √(9 * 2) = 3√2
√32 = √(16 * 2) = 4√2
Adım 2: Pay kısmındaki çarpma işlemini yapalım.
5√2 * (3√2) * (4√2) = (5 * 3 * 4) * (√2 * √2 * √2)
= 60 * (2 * √2) = 120√2
Adım 3: Şimdi pay ve paydayı yazıp sadeleştirelim.
120√2 / 4√2
Adım 4: Sadeleştirelim.
√2’ler birbirini götürür.
120 / 4 = 30.
Sonuç: (5√2 . √18 . √32) / 4√2 = 30
e. (5√3 / √200) ÷ (2√48 / 3√98)
Bölme işlemini çarpma işlemine çevirip tersini alacağız.
Adım 1: İfadeyi çarpma olarak yazalım.
(5√3 / √200) * (3√98 / 2√48)
Adım 2: Kökleri sadeleştirelim.
√200 = √(100 * 2) = 10√2
√98 = √(49 * 2) = 7√2
√48 = √(16 * 3) = 4√3
Adım 3: Sadeleştirilmiş ifadeleri yerine koyalım.
(5√3 / 10√2) * (3 * 7√2 / 2 * 4√3)
= (5√3 / 10√2) * (21√2 / 8√3)
Adım 4: Sadeleştirmeleri yapalım.
√3’ler sadeleşir.
√2’ler sadeleşir.
5/10 sadeleşir, 1/2 olur.
21/8 sadeleşmez.
İfade şu hale gelir:
(1/2) * (21/8)
Adım 5: Çarpma işlemini yapalım.
1 * 21 = 21
2 * 8 = 16
Yani sonuç 21/16.
Sonuç: (5√3 / √200) ÷ (2√48 / 3√98) = 21/16
f. (4√6 / √18) ÷ (√21 / √28)
Bölme işlemini çarpma işlemine çevirelim.
Adım 1: İfadeyi çarpma olarak yazalım.
(4√6 / √18) * (√28 / √21)
Adım 2: Kökleri sadeleştirelim.
√18 = 3√2
√28 = 2√7
√21 = √3 * √7
Adım 3: Sadeleştirilmiş ifadeleri yerine koyalım.
(4√6 / 3√2) * (2√7 / √3√7)
Adım 4: Sadeleştirmeleri yapalım.
√7’ler sadeleşir.
(4√6 / 3√2) * (2 / √3)
Adım 5: Kökleri de birleştirelim.
√6 = √2 * √3
Yani ifade:
(4 * √2 * √3) / (3√2) * (2 / √3)
Adım 6: Sadeleştirmeleri yapalım.
√2’ler sadeleşir.
√3’ler sadeleşir.
Geriye kalanlar:
(4/3) * (2/1) = 8/3
Sonuç: (4√6 / √18) ÷ (√21 / √28) = 8/3
g. (√20 . √5 / √96) ÷ (√2 / 8√6)
Önce ilk kesri sadeleştirelim.
Adım 1: İlk kesrin payını çarpalım.
√20 * √5 = √100 = 10
Adım 2: İlk kesri yazalım.
10 / √96
Adım 3: √96’yı sadeleştirelim.
√96 = √(16 * 6) = 4√6
Adım 4: İlk kesir sadeleşmiş haliyle:
10 / (4√6) = 5 / (2√6)
Adım 5: Şimdi bölme işlemini çarpma işlemine çevirelim.
(5 / 2√6) * (8√6 / √2)
Adım 6: Sadeleştirmeleri yapalım.
√6’lar sadeleşir.
8/2 sadeleşir, 4 olur.
İfade şu hale gelir:
5 * (4 / √2) = 20 / √2
Adım 7: Paydayı rasyonel yapmak için √2 ile genişletelim.
(20 / √2) * (√2 / √2) = 20√2 / 2
Adım 8: Sadeleştirelim.
20/2 = 10.
Yani sonuç 10√2.
Sonuç: (√20 . √5 / √96) ÷ (√2 / 8√6) = 10√2
ğ. (15√3 . 3√12) / 3√2 ÷ (6√48 / √128)
Bu biraz uzun bir işlem, adım adım gidelim.
Adım 1: İlk kesrin payını sadeleştirelim.
√12 = √(4 * 3) = 2√3
Adım 2: İlk kesrin payındaki çarpma işlemini yapalım.
15√3 * 3 * (2√3) = (15 * 3 * 2) * (√3 * √3) = 90 * 3 = 270
Adım 3: İlk kesrin tamamını yazalım.
270 / 3√2
Adım 4: İlk kesri sadeleştirelim.
270 / 3 = 90.
Yani 90 / √2.
Adım 5: Şimdi ikinci kesri sadeleştirelim.
√48 = √(16 * 3) = 4√3
√128 = √(64 * 2) = 8√2
Adım 6: İkinci kesri yazalım.
(6 * 4√3) / (8√2) = 24√3 / 8√2
Adım 7: İkinci kesri sadeleştirelim.
24/8 = 3.
Yani 3√3 / √2.
Adım 8: Şimdi ilk kesri ikinci kesre böleceğiz (yani ikinci kesrin tersiyle çarpacağız).
(90 / √2) ÷ (3√3 / √2) = (90 / √2) * (√2 / 3√3)
Adım 9: Sadeleştirmeleri yapalım.
√2’ler sadeleşir.
90 / (3√3)
Adım 10: Sadeleştirelim.
90 / 3 = 30.
Yani 30 / √3.
Adım 11: Paydayı rasyonel yapmak için √3 ile genişletelim.
(30 / √3) * (√3 / √3) = 30√3 / 3
Adım 12: Sadeleştirelim.
30/3 = 10.
Yani sonuç 10√3.
Sonuç: (15√3 . 3√12) / 3√2 ÷ (6√48 / √128) = 10√3
h. (7√2 . 3√2) / √180 ÷ (√288 / 8√5)
Önce ilk kesri sadeleştirelim.
Adım 1: İlk kesrin payını çarpalım.
7√2 * 3√2 = (7 * 3) * (√2 * √2) = 21 * 2 = 42
Adım 2: İlk kesri yazalım.
42 / √180
Adım 3: √180’i sadeleştirelim.
√180 = √(36 * 5) = 6√5
Adım 4: İlk kesir sadeleşmiş haliyle:
42 / (6√5) = 7 / √5
Adım 5: Şimdi ikinci kesri sadeleştirelim.
√288 = √(144 * 2) = 12√2
Adım 6: İkinci kesri yazalım.
12√2 / 8√5
Adım 7: İkinci kesri sadeleştirelim.
12 ve 8, 4’e bölünür. 12/4 = 3, 8/4 = 2.
Yani 3√2 / 2√5.
Adım 8: Şimdi ilk kesri ikinci kesre böleceğiz.
(7 / √5) ÷ (3√2 / 2√5) = (7 / √5) * (2√5 / 3√2)
Adım 9: Sadeleştirmeleri yapalım.
√5’ler sadeleşir.
İfade şu hale gelir:
7 * (2 / 3√2) = 14 / 3√2
Adım 10: Paydayı rasyonel yapmak için √2 ile genişletelim.
(14 / 3√2) * (√2 / √2) = 14√2 / (3 * 2) = 14√2 / 6
Adım 11: Sadeleştirelim.
14 ve 6, 2’ye bölünür.
14/2 = 7
6/2 = 3
Yani sonuç 7√2 / 3.
Sonuç: (7√2 . 3√2) / √180 ÷ (√288 / 8√5) = 7√2 / 3
i. (√150 / √18 . √2) ÷ (√24 / √50)
Önce ilk kesri sadeleştirelim.
Adım 1: İlk kesrin payını ve paydasını sadeleştirelim.
√150 = 5√6
√18 = 3√2
Adım 2: İlk kesri yeniden yazalım.
(5√6) / (3√2 * √2) = (5√6) / (3 * 2) = 5√6 / 6
Adım 3: Şimdi ikinci kesri sadeleştirelim.
√24 = 2√6
√50 = 5√2
Adım 4: İkinci kesri yazalım.
2√6 / 5√2
Adım 5: Şimdi ilk kesri ikinci kesre böleceğiz.
(5√6 / 6) ÷ (2√6 / 5√2) = (5√6 / 6) * (5√2 / 2√6)
Adım 6: Sadeleştirmeleri yapalım.
√6’lar sadeleşir.
İfade şu hale gelir:
(5 / 6) * (5√2 / 2)
Adım 7: Çarpma işlemini yapalım.
5 * 5√2 = 25√2
6 * 2 = 12
Yani sonuç 25√2 / 12.
Sonuç: (√150 / √18 . √2) ÷ (√24 / √50) = 25√2 / 12
Umarım bu çözümler anlaşılır olmuştur. Kareköklü sayılarla bol bol pratik yaparak bu konuyu daha da kolaylaştırabiliriz! Bir sonraki dersimizde görüşmek üzere!