8. Sınıf Matematik Ders Kitabı Cevapları Koza Yayınları Sayfa 70

Merhaba sevgili öğrencim, bugün seninle kareköklü ifadelerde çarpma işlemini ve sonucun ne zaman bir doğal sayı olduğunu inceleyeceğiz. Görselde yer alan etkinlikleri ve soruları senin için adım adım, anlaşılır bir şekilde çözeceğim. Hazırsan başlayalım!

SORU 1: Merve’nin Doğum Günü Problemi

Merve, doğum gününü 2020 yılı Haziran ayının ikinci haftasında ailesiyle kutlamıştır. İkinci haftadaki günlere karşılık gelen sayıların karekökleri ile $sqrt{10}$ sayısı çarpıldığında sonucu doğal sayı olarak veren gün, Merve’nin doğum günüdür. Merve’nin doğum gününün tarihini söyleyiniz.

ÇÖZÜM:

Bu soruyu çözmek için takvimi dikkatlice incelemeli ve verilen matematiksel kuralı uygulamalıyız.

Adım 1: Haziran Ayının İkinci Haftasını Belirleyelim

Takvime baktığımızda haftalar pazartesi günü ile başlar.

• 1. Hafta: 1 Haziran – 7 Haziran arasıdır.
• 2. Hafta: 8 Haziran – 14 Haziran arasıdır.

Yani Merve’nin doğum günü şu sayılardan biri olabilir: 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14.

Adım 2: Kuralı Uygulayalım

Soruda bizden istenen kural şudur: Günün karekökünü alacağız ($sqrt{text{gün}}$) ve bunu $sqrt{10}$ ile çarpacağız. Sonucun bir Doğal Sayı olmasını istiyoruz.

Şimdi ikinci haftadaki günleri tek tek deneyelim:

• Gün 8 için: $sqrt{8} cdot sqrt{10} = sqrt{80}$ eder. 80 tam kare bir sayı değildir, kök dışına tam çıkamaz ($4sqrt{5}$). Doğal sayı değildir.
• Gün 9 için: $sqrt{9} cdot sqrt{10} = 3 cdot sqrt{10} = 3sqrt{10}$ eder. Kökten kurtulamadık. Doğal sayı değildir.
• Gün 10 için: $sqrt{10} cdot sqrt{10} = sqrt{100}$ eder. 100 sayısı 10’un karesidir. Yani dışarıya 10 olarak çıkar. 10 bir doğal sayıdır.

Aradığımız günü bulduk! Diğer günlere bakmamıza gerek kalmadı ama öğrenmen için neden olmadıklarını hızlıca görelim: $sqrt{11} cdot sqrt{10} = sqrt{110}$, $sqrt{12} cdot sqrt{10} = sqrt{120}$… Bu sayıların hiçbiri kök dışına tam sayı olarak çıkamaz.

SONUÇ:

Merve’nin doğum günü, işlemin sonucunu doğal sayı yapan gündür. Bu da ayın 10’una denk gelmektedir.

Tarih: 10 Haziran 2020

SORU 2: Uygulama Basamakları Etkinliği

$sqrt{8}$ sayısını; $sqrt{0}, sqrt{1}, sqrt{8}, 2sqrt{8}, sqrt{10}, sqrt{frac{1}{8}}$ ve $sqrt{frac{1}{4}}$ sayıları ile çarpınız. Yaptığınız çarpma işlemlerinden hangilerinin çarpımının bir doğal sayı olduğunu belirleyiniz.

ÇÖZÜM:

Burada $sqrt{8}$ sayısını verilen her bir sayıyla tek tek çarpacağız. Unutma, sonucun doğal sayı olması için köklü ifadenin tamamen yok olması veya sonucun 0 olması gerekir.

İşlemleri yapmadan önce $sqrt{8}$ sayısını düzenleyelim: $sqrt{8} = sqrt{4 cdot 2} = 2sqrt{2}$’dir. Yani sonucun doğal sayı olması için çarpacağımız sayıda da $sqrt{2}$’li bir çarpan olmalı ki kökler birbirini götürsün (veya sayı 0 olmalı).

Adım 1: Çarpma İşlemlerini Yapalım

• 1. Sayı ($sqrt{0}$):
  
  $sqrt{8} cdot sqrt{0} = sqrt{8} cdot 0 = mathbf{0}$
  
  Sonuç 0’dır ve 0 bir doğal sayıdır.
• 2. Sayı ($sqrt{1}$):
  
  $sqrt{8} cdot sqrt{1} = sqrt{8} cdot 1 = sqrt{8} = 2sqrt{2}$
  
  Sonuç köklüdür, doğal sayı değildir.
• 3. Sayı ($sqrt{8}$):
  
  $sqrt{8} cdot sqrt{8} = sqrt{64} = mathbf{8}$
  
  Aynı köklü sayıların çarpımı kökü kaldırır. Sonuç 8’dir ve bir doğal sayıdır.
• 4. Sayı ($2sqrt{8}$):
  
  $sqrt{8} cdot 2sqrt{8} = 2 cdot (sqrt{8} cdot sqrt{8}) = 2 cdot 8 = mathbf{16}$
  
  Sonuç 16’dır ve bir doğal sayıdır.
• 5. Sayı ($sqrt{10}$):
  
  $sqrt{8} cdot sqrt{10} = sqrt{80} = sqrt{16 cdot 5} = 4sqrt{5}$
  
  Kök dışına tam çıkamadı. Doğal sayı değildir.
• 6. Sayı ($sqrt{frac{1}{8}}$):
  
  $sqrt{8} cdot sqrt{frac{1}{8}} = sqrt{8 cdot frac{1}{8}} = sqrt{frac{8}{8}} = sqrt{1} = mathbf{1}$
  
  Sonuç 1’dir ve bir doğal sayıdır.
• 7. Sayı ($sqrt{frac{1}{4}}$):
  
  $sqrt{8} cdot sqrt{frac{1}{4}} = sqrt{8 cdot frac{1}{4}} = sqrt{frac{8}{4}} = sqrt{2}$
  
  Sonuç $sqrt{2}$’dir. Kök dışına çıkamaz. Doğal sayı değildir.

SONUÇ:

Çarpım sonucunda doğal sayı elde ettiğimiz sayılar şunlardır:

$sqrt{0}, sqrt{8}, 2sqrt{8}$ ve $sqrt{frac{1}{8}}$

Öğretmen Notu: Gördüğün gibi, bir kareköklü ifadeyi doğal sayı yapmak için genellikle onu kendisiyle, katlarıyla veya kök içindeki sayıyı tam kareye tamamlayan ifadelerle çarpmamız gerekir.