Merhaba sevgili öğrencilerim, ben sizin 6. Sınıf Matematik öğretmeniniz.
Bugün birlikte, matematiğin günlük hayatta nasıl karşımıza çıktığını gösteren güzel bir problemi, “Gerçek Yaşam Problemleri” sorusunu çözeceğiz. Soruyu çözmeye başlamadan önce bir konuya dikkat çekmek istiyorum. Görseldeki soruda Göktuğ ve Tuncay’ın yediği pizzaların kaç dilime ayrıldığı veya kaç dilim yedikleri bize söylenmemiş. Bu nedenle, soruyu çözebilmek için birlikte bir örnek durum oluşturalım ve sorumuzu bu duruma göre cevaplayalım. Hazır mısınız? Haydi başlayalım!
Örnek Durumumuz:
- 1. Pizza: 8 eş dilime ayrılmış olsun ve Göktuğ bu pizzadan kalan 3 dilimi yemiş olsun.
- 2. Pizza: 6 eş dilime ayrılmış olsun ve Tuncay da bu pizzadan kalan 2 dilimi yemiş olsun.
Şimdi tüm soruları bu örnek üzerinden adım adım cevaplayalım.
c) Göktuğ 1. pizzadan, Tuncay ise 2. pizzadan kalan dilimleri yemiştir. Buna göre;
1) Göktuğ ve Tuncay’ın yedikleri pizza miktarlarını kesirle ifade ederek toplam yedikleri pizza miktarını gösteren sayı cümlesini yazınız.
Sevgili çocuklar, bu soruda bizden istenen şey, yedikleri pizza miktarlarını kesir olarak yazıp toplama işlemi şeklinde göstermemiz.
Adım 1: Göktuğ’un yediği pizzayı kesirle ifade edelim.
Göktuğ, 8 dilime ayrılmış pizzanın 3 dilimini yemişti. Bunu kesir olarak 3/8 (sekizde üç) şeklinde ifade ederiz.
Adım 2: Tuncay’ın yediği pizzayı kesirle ifade edelim.
Tuncay, 6 dilime ayrılmış pizzanın 2 dilimini yemişti. Bunu da kesir olarak 2/6 (altıda iki) şeklinde ifade ederiz.
Adım 3: Toplam pizza miktarını gösteren sayı cümlesini yazalım.
İkisinin toplam ne kadar pizza yediğini bulmak için bu iki kesri toplamamız gerekir. İşte sayı cümlemiz:
3/8 + 2/6 = ?
Biliyorsunuz, kesirlerde toplama yapabilmek için paydaların eşit olması gerekir. 8 ve 6’yı en yakın 24’te eşitleyebiliriz.
- 3/8 kesrini 3 ile genişletirsek: 9/24 olur.
- 2/6 kesrini 4 ile genişletirsek: 8/24 olur.
Şimdi toplayabiliriz: 9/24 + 8/24 = 17/24
Sonuç olarak, istenen sayı cümlesi şudur: 3/8 + 2/6 = 17/24
2) Göktuğ ve Tuncay’ın yedikleri pizza miktarlarına denk olan kesirleri kullanarak toplam yedikleri pizza miktarını kesirle ifade eden eş değer sayı cümleleri yazabilir misiniz? Fikirlerinizi nedenleriyle yazıp, arkadaşlarınızla paylaşarak tartışınız.
Elbette yazabiliriz! Denk kesirler, bir kesrin pay ve paydasını aynı sayıyla çarpıp genişleterek veya aynı sayıya bölüp sadeleştirerek elde ettiğimiz, değeri aynı olan kesirlerdir.
Adım 1: Yedikleri kesirlere denk yeni kesirler bulalım.
Göktuğ’un yediği 3/8 kesrini 2 ile genişletelim. Yeni kesrimiz 6/16 olur.
Tuncay’ın yediği 2/6 kesrini ise 2 ile sadeleştirelim. Yeni kesrimiz 1/3 olur.
Adım 2: Yeni denk kesirlerle eş değer bir sayı cümlesi oluşturalım.
Şimdi bu yeni kesirlerle bir toplama işlemi yazalım:
6/16 + 1/3 = ?
Adım 3: Sonucun aynı olup olmadığını kontrol edelim.
Yine paydaları eşitlememiz gerekiyor. 16 ve 3’ü 48’de eşitleyebiliriz.
- 6/16 kesrini 3 ile genişletirsek: 18/48 olur.
- 1/3 kesrini 16 ile genişletirsek: 16/48 olur.
Şimdi toplayalım: 18/48 + 16/48 = 34/48. Bu kesri de 2 ile sadeleştirirsek 17/24 buluruz.
Gördüğünüz gibi, ilk soruda bulduğumuz sonuçla aynı!
Sonuç olarak, bir kesir yerine ona denk olan başka bir kesri kullandığımızda işlemin sonucu değişmez. Bu yüzden sonsuz sayıda farklı eş değer sayı cümlesi yazabiliriz.
c) Göktuğ ve Tuncay’ın toplam yedikleri pizza miktarının bir pizzanın kaçta kaçı olduğunu bulabilir misiniz? Yedikleri toplam pizza miktarını bulabilmek için 1 ve 2. pizzadaki dilimlerin büyüklüklerinin eş olup olmama durumunun gerekliliği ile ilgili neler söylersiniz? Fikirlerinizi nedenleriyle yazıp, arkadaşlarınızla paylaşarak tartışınız.
Bu çok güzel ve üzerinde düşünmemiz gereken bir soru. Hadi iki parça halinde cevaplayalım.
1. Toplam yedikleri miktar bir pizzanın kaçta kaçıdır?
Evet, bulabiliriz. İlk soruda yaptığımız toplama işlemi sonucunda 17/24 bulmuştuk. Bu sonuç bize, Göktuğ ve Tuncay’ın toplamda yedikleri pizzanın, bir bütün pizzanın 24’te 17’si kadar olduğunu söyler.
Ancak burada çok önemli bir şartımız var: Bu toplama işleminin anlamlı olabilmesi için 1. pizzanın ve 2. pizzanın aynı büyüklükte olduğunu varsaymamız gerekir. Yani, ikisi de “orta boy” pizza gibi düşünmeliyiz. Biri küçük, biri büyük olsaydı, kesirleri bu şekilde toplayıp tek bir pizzanın parçası olarak ifade edemezdik.
2. Dilimlerin büyüklükleri eş olmalı mı?
İşte burası en kritik nokta!
- Bir pizzanın kendi içindeki dilimler kesinlikle eş olmalıdır. Yani Göktuğ’un yediği 8 dilimli pizzanın 8 dilimi de birbiriyle aynı büyüklükte olmalı ki “3/8” diyebilelim.
- Ancak, 1. pizzanın bir dilimi (1/8’lik parça) ile 2. pizzanın bir diliminin (1/6’lık parça) birbirine eş olması gerekmez. Zaten aynı pizzayı 8’e ve 6’ya böldüğümüzde dilim boyutları farklı olur.
Peki, farklı büyüklükteki dilimleri nasıl topluyoruz? İşte matematiğin güzelliği burada! Payda eşitleyerek aslında yaptığımız şey, farklı büyüklükteki bu dilimleri, ikisini de ölçebileceğimiz ortak ve daha küçük hayali dilimlere (örneğimizde 1/24’lük dilimlere) dönüştürmektir. Böylece elmaları armutlarla değil, aynı türden meyveleri toplamış gibi oluruz.
Kısacası, toplama işlemini yapabilmek için pizzaların bütünlerinin aynı boyutta olması gerekir, ama farklı pizzalardaki dilimlerin aynı boyutta olması gerekmez.
Umarım anlaşılmıştır çocuklar. Matematik, düşününce ne kadar mantıklı, değil mi?